学年数列三角函数部分月考试题及答案题.docx
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学年数列三角函数部分月考试题及答案题
尼尔基第一中学高二年级第一次月考试题
理科数学
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在△ABC中，a＝，b＝1，B＝30°，则A＝（ ）
A．60° B．30°
C．120°D．60°或120°
2．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）
A．它的首项是－2，公差是3B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2D．它的首项是3，公差是－2
3．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形（ ）
A．无解B．只有一解
C．有两解D．解的个数不确定
4．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（ ）
A．45B．50
C．75D．60
5．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于（ ）
A．30°B．60°或120°
C．60°D．120°
6．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为（ ）
A．12B．13
C．12或13D．14
7．在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．2B.
C．2或4D.或2
8．在等比数列{an}中，若a1＝1，q＝2，则a＋a＋…＋a＝（ ）
A．（2n－1）2B.（2n－1）
C．4n－1D.（4n－1）
9．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶4∶5，则a∶b∶c等于（ ）
A．3∶4∶5B．2∶∶（＋1）
C．1∶∶2D．2∶2∶（＋）
10．在正项等比数列{an}中，a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ ）
A．12B．10
C．8D．2＋log35
11．在△ABC中，bcosA＝acosB，则该三角形为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
12．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为（ ）
A．5B．6
C．7D．8
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是__________．
14．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝__________.
15．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于_____．
16．设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2006和a2007是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2008＋a2009＝__________.
三、解答题：
（本大题共6小题，满分70分．）
17．（10分）已知在△ABC中，A＝45°，a＝2cm，c＝cm，求角B，C及边b.
18．（12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列。
求这三个正数。
19．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA．
（1）确定角C的大小；
（2）若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
20.（12分）等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若Sn=242，求n.
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos（B－C）－1＝6cosBcosC.
（1）求cosA；
（2）若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
22．（本题满分14分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：
4Sn＝（an＋1）2（n＝1,2,3……），
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求{bn}的前n项和Tn；
尼尔基第一中学高二年级第一次月考试题
理科数学答案
1解析：
由＝知sinA＝，又a＞b，∴A＝60°或120°.
答案：
D
2解析：
⇒⇒a1＝－2，d＝3.
答案：
A
3解析：
由A＝130°，而a＜b，可知无解．
答案：
A
4[答案] B
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，
∴3（a2＋a12）＝150，即a2＋a12＝50，
∴a4＋a10＝a2＋a12＝50.
5解析：
由余弦定理可得a＝3，根据正弦定理有＝，故sinC＝，故C＝60°或120°.若C＝60°，则B＝90°＞C，而b＜c，不满足大边对大角，故C＝120°.
答案：
D
6解析：
∵a13＝0，∴n＝12或13，Sn最大．
答案：
C
7解析：
如图，AD＝AB·sinB＝＜2，故△ABC有两解：
S△ABC＝BC·AD＝，
S△ABC′＝BC′·AD＝2.
答案：
D
8解析：
Sn＝＝（4n－1）．
答案：
D
9解析：
∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝45°，B＝60°，C＝75°.
∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶∶（＋1）．
答案：
B
10解析：
∵a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log2（a5a6）5＝log395＝10.
答案：
B
11解析：
∵b＝2RsinB，a＝2RsinA，
∴sinBcosA＝sinAcosB，
∴sin（A－B）＝0，
∴A－B＝0或A－B＝π（舍去），∴A＝B.
∴三角形ABC为等腰三角形．
答案：
C
12解析：
a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，
即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，①
又cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc.②
又S△ABC＝bc·sinA＝10，
∴bc＝40.③
由①②③可知a＝7.
答案：
C
13解析：
由正弦定理得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，
又∵BC＝10，∴AC＝20.
∴AB＝AC＝20，
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
答案：
50
14解析：
当n＝1时，a1＝S1＝1；当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝（n2－2n＋2）－[（n－1）2－2（n－1）＋2]＝2n－3.
又n＝1时，2n－3≠a1，
所以有an＝
答案：
15解析：
在△ABC中，由面积公式得S＝BC·AC·sinC＝×2·AC·sin60°＝AC＝，
∴AC＝2，再由余弦定理得：
AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC·cosC＝22＋22－2×2×2×＝4，
∴AB＝2.
答案：
2
16解析：
方程4x2－8x＋3＝0的两根是和，又q＞1，则a2006＝，a2007＝.
则q＝＝3.
所以a2008＋a2009＝q2（a2006＋a2007）＝18.
答案：
18
17解：
由正弦定理，得
sinC＝sinA＝×＝，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝180°－（A＋C）＝75°，
b＝·sinB＝×sin75°＝＋1（cm）；
当C＝120°时，B＝180°－（A＋C）＝15°，
b＝·sinB＝×sin15°＝－1（cm）．
∴b＝＋1cm，C＝60°，B＝75°，
或b＝－1cm，C＝120°，B＝15°.
18[解析]
（1）设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有（7－d）（18＋d）＝100，解得d＝2或d＝－13（舍去）．
三个数为3,5,7
19[解析]
（1）由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．
∵sinA≠0，∴sinC＝.
∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.
（2）∵C＝，△ABC面积为，
∴absin＝，即ab＝6.①
∵c＝，∴由余弦定理得
a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②
由②变形得（a＋b）2＝3ab＋7.③
将①代入③得（a＋b）2＝25，故a＋b＝5.
20本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.0
解：
（Ⅰ）由得方程组
……4分解得所以
（Ⅱ）由得方程
……10分解得
21解：
（1）∵3（cosBcosC＋sinBsinC）－1＝6cosBcosC，
∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，
∴3cos（B＋C）＝－1，（4分）
∴cos（π－A）＝－，∴cosA＝.（6分）
（2）由
（1）得sinA＝，
由面积公式bcsinA＝2可得bc＝6，①
根据余弦定理得
cosA＝＝＝，
则b2＋c2＝13， ②（10分）
①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
（12分）
22．（本题满分14分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：
4Sn＝（an＋1）2（n＝1,2,3……），
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求{bn}的前n项和Tn；
[解析]
（1）∵4Sn＝（an＋1）2，①
∴4Sn－1＝（an－1＋1）2（n≥2），②
①－②得
4（Sn－Sn－1）＝（an＋1）2－（an－1＋1）2.
∴4an＝（an＋1）2－（an－1＋1）2.
化简得（an＋an－1）·（an－an－1－2）＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝2（n≥2）．
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝1＋（n－1）·2＝2n－1.
（2）bn＝＝＝（－）．
∴Tn＝
＝（1－）＝.
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