中考几何辅助线精典模型word版.docx
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中考几何辅助线精典模型word版
中点模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交
【模型2】遇多个中点,构造中位线
1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连
【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,/ABC=60°,G是DF的中点,连接GC、GE.
（1）如图1,当点E在BC边上时,假设AB=10,BF=4,求GE的长；
（2）如图2,当点F在AB的延长线上时,线段GE、GC有怎样的数量和位置关系,写出你的猜测,并给予证实；
（3）如图3,当点F在CB的延长线上时,
（2）问中的关系还成立吗？
写出你的猜测,并给予证实.
【解答】
（1）延长EG交CD于点H
易证实△CHG^ACEG,那么GE=iV3
DHC
ABJ
（2）延长CG交AB于点I,
易证实△BCE^AFIE,那么^CEI是等边三角形,GE
DC
1、AIBF
（3）
DC
JF
【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是E=/BAF.
（1）求证：
CE=CF;
（2）假设/ABC=120°,点G是线段AF的中点,连接
.e—
类似的为什么要延长
CG呢,可以延长EGQ
吗？
=73GC,且GEXGC
々什么是证实△BCEC04FIE你理解吗？
、）
厂厂你能写出解题思二号*路和过程吗?
3C、CD上一点,连接DE、EF,且AE=AF,/DAE
DG、EG,求证：
DG^EG.
AD
BEC
【解答】
（1）证实△ABE^AADF即可；
（2）延长DG与AB相交于点H,连接HE,证实△HBE^AEFD即可
【例3】如图,在凹四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD的中点,BA交EF延长线于G点,CD交EF于H点,求证：
/BGE=ZCHE.
【解答】
取BD中点可证,如下图:
B
C
角平分线模型
【模型1】构造轴对称
【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形
【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE平分/BAD交BC边于E,EFXAE交边CD于F点,交AD边于H,延长BA至ijG点,使AG=CF,连接GF.假设BC=7,DF=3,EH=3AE,那么GF的长为.
【解答】
延长FE、AB交于点I,易得CE=CF,BA=BE,设CE=x,贝UBA=CD=3+x,BE=7-x,3+x=7-x,x=2,AB=BE=5,AE=710,作AJXBC,连接AC,求得GF=AC=312
手拉手模型
【条件】OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD
【结论】△OAC^^OBD,ZAEB=ZAOB=ZCOD〔即都是旋转角〕；OE平分/AED
【例5】〔2021重庆市A卷〕如图,正方形
导角核心图形：
八字形
CD上,且DE
2CE,连接BE.过点
C作CFXBE,垂足是F,连接OF,那么OF的长为
AD
ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,
【答案】6/55
【例6】如图,
△ABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD,BC于点D,点E在AC边上,连接BE,
AGXBE
于F,交BC于点G,求/DFG.
【答案】45
A
G是AD延长线
假设BH=8,那么FG
【例71〔2021重庆B卷〕如图,在边长为6#的正方形ABCD中,E是AB边上一点,一点,BE=DG,连接EG,CF,EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH.
【答案】5.2
邻边相等对角互补模型
【模型1】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180
【结论】AC平分/BCD
A
【模型2】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°
【结论】①/ACB=/ACD=45°;②BC+CD=j2AC
［例8］如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G为CD中点,DE=DG,56,8£于5,贝UDF为
A
B
［例9］如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点B作BNLAM,垂足为N,O是对角线AC、BD的交点,连结ON,那么ON的长为.
【例10］如图,正方形ABCD的面积为64,那么DG的长为.
△BCE是等边三角形,
F是CE的中点,AE、BF交于点G,
【答案】473+4
模型又来了!
半角模型
【模型1】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,/EAF=
1BBAD,点E在直线BC上,点F在直线CD上2
【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系
【模型2】
【条件】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足/EAF=45°,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.
【结论】①BE+DF=EF;②SabeSadfSaef；③AH=AB;④Cecf2AB;⑤BM2+DN2
=MN2;⑥△ANMs^dNFs^BEMs^AEFs^BNAs^DAM〔由AO:
AH=AO:
AB=1:
应可得到
△ANM和AAEF相似比为1:
应〕⑦SamnS四边形mnfe；AOMADF;△AONs^ABE;⑨△AEN
为等腰直角三角形,/AEN=45°,AAFM为等腰直角三角形,/AFM=45°;⑩A、M、F、D四点共圆,A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.
【模型2变形】
【条件】在正方形ABCD中,E、F分别是CB、DC延长线上的点,且满足/EAF=45
【结论】BE+EF=DF
【模型2变形】
【条件】在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD延长线上的点,且满足/EAF=45°
【结论】DF+EF=BE
【例11］如图,4ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,/BAC=/EDF=90°,ADEF的顶点E
与4ABC的斜边BC的中点重合,将^DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.假设AQ=12,BP=3,那么PG=.
BPBE
-=TT
CECQ
【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型
设AC=x,由△BPCs^CEQ得
c,/上上一
3/（x）=2x/（x+12）,解得x=12
设PG=y,由AG2+BP2=PG2得32+（12—3—x）2=x2,解得x=5
【例12】
G,连接
【解答】
如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE交于点CG与BD交于点H,假设CG=1,那么S四边形bcdq=.
一线三等角模型
【条件】/EDF=ZB=ZC,且DE=DF
【结论】△BDE^ACFD
A
BDC
【例13］如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3,GC=4,连接EF、
FG、GE恰好构成一个等边三角形,那么正方形的边为.
【解答】如图,构造一线三等角模型,△EFH^AFGI
那么BC=BF+CF=HF-BH+FI-CI=GI-BH+HE-CI=和
AD
HBFCI
弦图模型
正方形内或外互相垂直的四条线段新构成了同心的正方形
【例14】
如图,点E为正方形
ABCD边AB上一点,点
F在DE的延长线上,
G,/FAB的平分线交FG于点
DG=.
H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点
AF=AB,AC与FD交于点
I.假设AH=3AI,FH=2\f2,那么
I
D
A
B
【例15］如图,△ABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD,BC于点D,点E是AC中点,连接BE,作AGLBE于F,交BC于点G,连接EG,求证：
AG+EG=BE.
【解答】过点C作CH,AC交AG的延长线于点H,易证
H
最短路径模型
【两点之间线段最短】
1、将军饮马
A.
・B
T/1
\*1
P.
0
2、费马点
【两边之差小于第三边】
【例16］如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一
个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最小值.
【解答】600500J3,点线为最短.
【例17］如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于H,假设正方形的边长为2,那么线段DH长度的最小值为.
【解答】如图,取AB中点P,连接PH、
PD,易证PH>PD-PH即DH><5-1.
【例18］如下图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=4<2,E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,
△BEF沿直线EF翻折到△BEF,连接DB,DB最短为
【解答】4
哪个点是圆心？
应该将圆心与哪个点相连？
用谁减去谁呢？
【例19］如图1,DABCD中,AELBC于E,AE=AD,EGXAB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.
（1）假设BE=2EC,AB=J13,求AD的长；
（2）求证：
EG=BG+FC;
（3）如图2,假设AF=5<2,EF=2,点M是线段AG上一动点,连接ME,将^GME沿ME翻折到△GME,
连接DG,试求当DG取得最小值时GM的J
AD
BE图1FE
【解答】
（1）3
（2）如下图
AD
HF
（3）当DG最小时D、E、G三点共线
AD
4/
BEyC
F
A_DAD
eWcBeWc
到2F备用图F
、
y
0为什么这样做辅助线？
还后同他方法吗？
-L.._T-
为什么为什么为什么？
]（
自己去算吧！
！
！
J
T*~A.>
解得GMGNMN
3173
课后练习题
ABE,/AEB=90°,AC、BD交于O.已
【练习1】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形知AE、BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积.
【练习2】
1
问题1:
如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,/MBN—
2
/ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜测；
问题2:
如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,/ABC+/ADC=180°,点M,N分别在DA,CD延长
线,假设/MBN=1/ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎么样的关量关系？
写出你
2
的猜测,并给予证实.
图1图2
【解答】
问题一
方法一：
如下图
方法二：
如下图
问题二
方法一
方法
【练习3】：
如图1,正方形ABCD中,为对角线BD上一点,过E点作EFXBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
（1）求证：
EG=CG且EGLCG;
（2）将图1中4BEF绕B逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG,问
（1）中的结论是否仍然成立？
假设成立,请给出证实；假设不成立,请说明理由.
（3）将图1中4BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问
（1）中的结论是否仍然成立？
【解答】
（1）略
（2）方法一：
如下图
方法二：
如下图
方法
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