中考几何辅助线精典模型word版.docx

1、中考几何辅助线精典模型word版中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交【模型2】遇多个中点,构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形 ABCD和正三角形 BEF中,/ ABC = 60, G是DF的中点,连接 GC、GE.(1)如图1,当点E在BC边上时,假设 AB=10, BF = 4,求GE的长；(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段 GE、GC有怎样的数量和位置关系,写出你的猜测,并给 予证实；(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,(2)问中的关系还成立吗？写出你的猜测,并给予证实.【解答】(1)延长EG交CD于点H

2、易证实 CHGACEG,那么 GE = iV3D H CA B J(2)延长CG交AB于点I,易证实 BCEA FIE,那么 CEI是等边三角形,GED C1、 A I B F(3)D CJ F【例2】如图,在菱形 ABCD中,点E、F分别是E =/ BAF.(1)求证：CE=CF;(2)假设/ ABC=120,点G是线段AF的中点,连接.e类似的为什么要延长CG呢,可以延长EG Q吗？=73 GC,且 GEXGC,什么是证实 BCE C 04FIE你理解吗？ 、 )厂厂你能写出解题思 二 号* 路和过程吗?3C、CD 上一点,连接 DE、EF,且 AE=AF, / DAEDG、EG,求证：D

3、GEG.A DB E C【解答】(1)证实 ABEA ADF 即可；(2)延长DG与AB相交于点 H,连接HE,证实 HBEA EFD即可【例3】如图,在凹四边形 ABCD中,AB=CD, E、F分别为BC、AD的中点,BA交EF延长线于G点, CD 交 EF 于 H 点,求证：/ BGE=Z CHE.【解答】取BD中点可证,如下图:BC角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图,平行四边形 ABCD中,AE平分/ BAD交BC边于E, EFXAE交边CD于F点,交AD边 于H ,延长BA至ij G点,使 AG=CF,连接GF.假设BC=7, DF = 3

4、, EH = 3AE,那么GF的长为.【解答】延长 FE、AB 交于点 I ,易得 CE = CF, BA= BE,设 CE= x,贝U BA=CD = 3+x, BE=7-x, 3+x=7-x, x=2, AB=BE=5, AE = 710,作 AJXBC,连接 AC,求得 GF = AC=312手拉手模型【条件】OA=OB, OC=OD, /AOB = /COD【结论】 OACOBD, Z AEB = Z AOB = Z COD 即都是旋转角；OE平分/ AED【例5】2021重庆市A卷如图,正方形导角核心图形：八字形CD上,且DE2CE ,连接BE.过点C作CFXBE,垂足是F,连接OF

5、,那么OF的长为A DABCD的边长为6,点O是对角线 AC、BD的交点,【答案】6/5 5【例6】如图, ABC 中,/ BAC= 90, AB = AC, AD,BC 于点 D,点 E 在 AC 边上,连接 BE,AGXBE于F,交BC于点G,求/ DFG .【答案】45AG是AD延长线假设 BH= 8,那么 FG【例71 2021重庆B卷如图,在边长为 6#的正方形ABCD中,E是AB边上一点, 一点,BE = DG,连接EG, CF,EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH.【答案】5 .2邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】 如图,四边形 ABCD 中,AB=AD, Z BA

6、D + Z BCD = Z ABC + Z ADC= 180【结论】AC平分/ BCDA【模型2】【条件】 如图,四边形 ABCD中,AB=AD, Z BAD = Z BCD = 90【结论】 / ACB = /ACD = 45; BC+CD=j2AC例8如图,矩形 ABCD中,AB=6, AD = 5, G为CD中点,DE=DG, 56,8于5,贝U DF为AB例9如图,正方形 ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM = 1 ,连接AM,过点B作BNLAM, 垂足为N, O是对角线AC、BD的交点,连结 ON,那么ON的长为.【例10如图,正方形 ABCD的面积为64, 那么DG的长为.

7、 BCE是等边三角形,F是CE的中点,AE、BF交于点G,【答案】473+4模型又来了!半角模型【模型1】【条件】 如图,四边形 ABCD 中,AB=AD, Z BAD + Z BCD = Z ABC + Z ADC=180, / EAF =1 B BAD, 点E在直线 BC上,点F在直线 CD上 2【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系【模型2】【条件】 如图,在正方形 ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足/ EAF = 45, AE、 AF分别与对角线 BD交于点M、N.【结论】 BE + DF = EF; Sabe S adf S aef ； AH = AB; C ecf

8、 2AB; BM2+DN2= MN2; ANMsdNFs BEMsAEFs BNAs DAM 由 AO: AH=AO: AB=1: 应 可得到 ANM 和 AAEF 相似比为 1:应 S amn S四边形 mnfe ；AOM ADF ; AONs ABE; AEN为等腰直角三角形,/ AEN = 45, AAFM为等腰直角三角形,/ AFM =45;A、M、F、D四点共圆, A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.【模型2变形】【条件】在正方形 ABCD中,E、F分别是CB、DC延长线上的点,且满足/ EAF = 45【结论】BE + EF=DF【模型2变形】【条件】在正方形 AB

9、CD中,E、F分别是BC、CD延长线上的点,且满足/ EAF=45【结论】DF + EF = BE【例11如图,4ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形, / BAC=/ EDF = 90 , ADEF的顶点E与4ABC的斜边BC的中点重合,将 DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段 DE与线段AB相交于点P, 射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.假设AQ=12, BP= 3,那么PG =.BP BE-=TTCE CQ【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型设 AC = x,由 BPCsCEQ 得c, /上 上 一3/ ( x) = 2 x/(x+12),解得 x=1

10、2设 PG = y,由 AG2+BP2=PG2 得 32+(12 3 x)2=x2,解得 x= 5【例12】G,连接【解答】如图,在菱形 ABCD中,AB=BD,点E、F在AB、AD上,且 AE=DF.连接BF与DE交于点 CG与BD交于点 H ,假设CG = 1 ,那么S四边形bcdq =.一线三等角模型【条件】/ EDF =ZB=ZC,且 DE = DF【结论】 BDEACFDAB D C【例13如图,正方形 ABCD中,点E、F、G分别为 AB、BC、CD边上的点,EB=3, GC = 4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,那么正方形的边为 .【解答】如图,构造一线三等角模型,

11、 EFHAFGI那么 BC=BF+CF = HF- BH+FI-CI =GI-BH + HE-CI =和A DH B F C I弦图模型正方形内或外互相垂直的四条线段 新构成了同心的正方形【例14】如图,点E为正方形ABCD边AB上一点,点F在DE的延长线上,G, / FAB的平分线交FG于点DG= .H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点AF = AB, AC与FD交于点I.假设 AH = 3AI, FH = 2f2,那么IDAB【例15如图, ABC中,/ BAC=90 , AB = AC, AD,BC于点D,点E是AC中点,连接 BE,作AG LBE于F,交BC于点G,连接EG,求证：

12、AG+EG=BE.【解答】过点 C作CH,AC交AG的延长线于点H ,易证H最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马A.BT /1 * 1 P.02、费马点【两边之差小于第三边】【例16如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台 H,设铺设公路 AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最 小值.【解答】600 500J3,点线为最短.【例17如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足 AE= DF ,连接CF交BD于G,连接 BE交AG于H,假设正方形的边长为 2,那么线段DH长度的最小值为

13、 .【解答】如图,取AB中点P,连接PH、PD,易证 PHPD- PH 即 DH 5 -1 .【例18如下图,在矩形 ABCD中,AB=4, AD = 42 , E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点, BEF沿直线EF翻折到 B EF ,连接DB , DB最短为【解答】4哪个点是圆心？应该将 圆心与哪个点相连？用 谁减去谁呢？【例19如图1, DABCD中,AELBC于E, AE=AD, EGXAB于G,延长 GE、DC交于点F,连接AF .(1)假设 BE= 2EC, AB= J13 ,求 AD 的长；(2)求证：EG=BG+FC;(3)如图2,假设AF = 52 , EF = 2,点M

14、是线段AG上一动点,连接ME ,将 GME沿ME翻折到 G ME ,连接DG ,试求当DG取得最小值时 GM的JA DB E 解得GM GN MN3 17 3课后练习题ABE, / AEB=90 , AC、BD 交于 O.已【练习1】如图,以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形 知AE、BE的长分别为3、5,求三角形 OBE的面积.【练习2】1问题1:如图1,在等腰梯形 ABCD中,AD / BC, AB=BC = CD,点M, N分别在 AD , CD上,/ MBN 2/ABC,试探究线段 MN, AM, CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测；问题2:如图2,在四边形 ABCD中

15、,AB=BC, / ABC + / ADC = 180 ,点 M, N分别在DA, CD延长线,假设/ MBN= 1 / ABC仍然成立,请你进一步探究线段 MN, AM, CN又有怎么样的关量关系？写出你2的猜测,并给予证实.图1 图2【解答】问题一方法一：如下图方法二：如下图问题二方法一方法【练习3】：如图1,正方形ABCD中,为对角线 BD上一点,过 E点作EFXBD交BC于F,连接 DF , G为DF中点,连接EG, CG .(1)求证：EG=CG 且 EGLCG;(2)将图1中4BEF绕B逆时针旋转45 ,如图2所示,取DF中点G,连接EG, CG,问(1)中的结 论是否仍然成立？假设成立,请给出证实；假设不成立,请说明理由.(3)将图1中4BEF绕B点旋转任意角度,如图 3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然 成立？【解答】(1)略(2)方法一：如下图方法二：如下图方法