国民经济建设生产投资等关系的数学建模与分析.docx

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国民经济建设生产投资等关系的数学建模与分析

国民经济建设、生产、投资等关系的数学建模与分析

【摘要】

对于国民经济建设、生产、投资等关系的数学建模问题，由于涉及较广，所以在本文中，我们特别针对GDP、CPI、M1等指标间存在的一元或者多元关系进行了讨论，得知各指标间都具有线性、非线性相关关系和一元线性、非线性回归关系。

然后建立数学模型对这些关系统一进行分析。

针对问题一，模型中首先通过借助matlab画出散点图观察各指标间相关关系，然后利用相关函数公式，借助Excel软件算出各个指标变量之间的相关系数和偏相关系数。

对于问题二、三、四，我们在线性相关的基础上，先找出各指标变量的回归关系，然后建立一元线性或者非线性回归模型，分析其变量间存在的不确定关系，找出回归系数，确立曲线方程，再对某些指标进行预测评估。

之后利用显著性检验方法来验证我们的结果。

本文充分利用数理统计分析和回归分析等数学知识来对问题进行分析，然后借助matlab、Excel等软件模拟的方法对数据进行处理，其间也运用了最小二乘法来对变量参数进行估计，最后对模型的优缺点进行了评价并给出了改进的方案。

关键词：

相关系数回归分析Excel最小二乘法matlab数据拟合

1.问题重述

B题请查阅相关文献资料、各统计局网站、各网络数据库等资源，收集近年来的中国GDP、CPI、M0、M1、M2、进出口量、工业生产总值、农业生产总值、居民非商品支出、波罗的海散干货指数、黄金价格、大中城市房价、汇率、利率等指标数据。

请选取全部或部分指标进行如下数学建模与分析：

1、考虑指标间的相关关系，如简单相关、复相关、偏相关、典型相关关系等。

2、分析哪些是可作为解释变量，哪些可作为依赖变量，建立统计模型阐述影响这些依赖变量的因素，并对模型进行检验。

3、对其中某些指标如GDP、房价、黄金价格等进行预测建模和未来走势分析。

4、若将GDP、CPI、房价等多个指标作为因变量，请建立多因变量和多影响因素的模型，分析其影响的大小，并对未来进行预测分析。

5、讨论模型的优缺点，对模型的合理性作出科学评价。

详细指标（由于资料有限这里选取GDP、CPI、M0、M1、M2、业生产总值、农业生产总值、黄金价格、大中城市房价、汇率、利率）见下：

（1）中国近年国内收入总值（GDP）情况

时间（年）

GDP（亿元）

时间（年）

GDP（亿元）

2012

519470.1

2005

184937.37

2011

473104.05

2004

159878.34

2010

401512.8

2003

135822.76

2009

340902.81

2002

120332.69

2008

314045.43

2001

109655.17

2007

265810.31

2000

99214.55

2006

216314.43

表1

（2）中国近年消费物价指数（CPI）情况

时间（年）

CPI（亿元）

时间（年）

CPI（亿元）

2012

579.7

2005

464

2011

565

2004

455.8

2010

536.1

2003

438.7

2009

519

2002

433.5

2008

522.7

2001

437

2007

493.6

2000

434

2006

471

表2

（3）中国近年M0、M1、M2情况

时间（年）

M2

M1

M0

2012

974159.46

308672.99

54659.81

2011

851590.9

289847.7

50748.46

2010

725851.8

266621.5

44628.17

2009

606225.01

220001.51

38245.9

2008

475166.6

166217.13

34218.96

2007

403442.21

152560.08

30375.23

2006

345603.59

126035.13

27072.62

2005

298755.7

107278.8

24031.7

2004

254107

95969.7

21468.3

2003

221222.8

84118.57

19745.9

2002

185006.97

70881.79

17278.03

2001

158301.9

59871.59

15688.8

2000

134610.3

53147.2

14652.7

表3

（4）工业生产总值

时间（年）

2012

2011

2010

2009

2008

2007

2006

工业增值

199670.66

188470.15

160722.23

135239.95

130260.24

110534.88

91310.94

时间（年）

2005

2004

2003

2002

2001

2000

工业增值

77230.78

65210.03

54945.53

47431.31

43580.62

40033.59

表4

（5）农业生产总值

时间（年）

2012

2011

2010

2009

2008

2007

2006

农业生产总值

46940.46

41988.64

36941.11

30777.48

28044.15

24658.17

21522.28

时间（年）

2005

2004

2003

2002

2001

2000

农业生产总值

19613.37

18138.36

14870.11

14931.54

14462.79

13873.59

表5

（6）大中城市（这里只以北京为例）房价情况

月份

价格

月份

价格

月份

价格

月份

价格

Jan-08

11605

Jan-09

11739

Jan-10

18322

Jan-11

22972

Feb-08

13077

Feb-09

12092

Feb-10

18322

Feb-11

23491

Mar-08

13523

Mar-09

12069

Mar-10

18322

Mar-11

24074

Apr-08

13190

Apr-09

12105

Apr-10

18322

Apr-11

24588

May-08

13178

May-09

12545

May-10

18322

May-11

25333

Jun-08

13084

Jun-09

12572

Jun-10

18322

Jun-11

24689

Jul-08

13481

Jul-09

13111

Jul-10

18322

Jul-11

25210

Aug-08

12876

Aug-09

13704

Aug-10

18322

Aug-11

23649

Sep-08

12941

Sep-09

15260

Sep-10

18322

Sep-11

25686

Oct-08

12712

Oct-09

15753

Oct-10

18322

Oct-11

22708

Nov-08

12308

Nov-09

16025

Nov-10

18322

Nov-11

23736

Dec-08

12592

Dec-09

17742

Dec-10

18322

Dec-11

22857

月份

价格

月份

价格

月份

价格

Jan-12

23760

Jan-13

34741

Jan-14

44542

Feb-12

23474

Feb-13

35947

Feb-14

45799

Mar-12

23050

Mar-13

36715

Mar-14

46677

Apr-12

25625

Apr-13

38220

Apr-14

46638

May-12

26400

May-13

38063

May-14

47028

Jun-12

28374

Jun-13

40163

Jun-14

Jul-12

27381

Jul-13

40656

Jul-14

Aug-12

28382

Aug-13

41278

Aug-14

Sep-12

30631

Sep-13

41761

Sep-14

Oct-12

31955

Oct-13

40291

Oct-14

Nov-12

32769

Nov-13

41840

Nov-14

Dec-12

33417

Dec-13

42656

Dec-14

表6

（7）汇率

时间（年）

人民币对美元汇率（美元=100）（元）

人民币对日元汇率（日元=100）（元）

人民币对港元汇率（港元=100）（元）

人民币对欧元汇率（欧元=100）（元）

2012

631.25

7.9

81.38

810.67

2011

645.88

8.11

82.97

900.11

2010

676.95

7.73

87.13

897.25

2009

683.1

7.3

88.12

952.7

2008

694.51

6.74

89.19

1022.27

2007

760.4

6.46

97.46

1041.75

2006

797.18

6.86

102.62

1001.9

2005

819.17

7.45

105.3

1019.53

2004

827.68

7.66

106.23

1029.54

2003

827.7

7.15

106.24

936.13

表7

（8）利率

①存款利率

单位：

年利率%

调整时间

活期

3个月

半年

一年

二年

三年

五年

2002年2月21日

0.72

1.71

1.89

1.98

2.25

2.52

2.79

2004年10月29日

0.72

1.71

2.07

2.25

2.70

3.24

3.60

2006年8月19日

0.72

1.80

2.25

2.52

3.06

3.69

4.14

2007年3月18日

0.72

1.98

2.43

2.79

3.33

3.96

4.41

2008年10月9日

0.72

3.15

3.51

3.87

4.41

5.13

5.58

2008年12月23日

0.36

1.71

1.98

2.25

2.79

3.33

3.60

2009年12月23日

0.36

1.71

1.98

2.25

2.79

3.33

3.60

2010年10月20日

0.36

1.91

2.20

2.50

3.25

3.85

4.20

2011年7月7日

0.5

3.1

3.3

3.5

4.4

5.00

5.5

2012年6月8日

0.4

2.85

3.05

3.25

4.1

4.65

5.1

表8.1中国商业存款利率

②贷款利率

调整时间

六个月以内（含六个月）

六个月至一年（含一年）

一至三年（含三年）

三至五年（含五年）

五年以上

2002.02.21

5.04

5.31

5.49

5.58

5.76

2004.10.29

5.22

5.58

5.76

5.85

6.12

2006.04.28

5.40

5.85

6.03

6.12

6.39

2007.08.22

6.21

7.02

7.20

7.38

7.56

2007.12.21

6.57

7.47

7.56

7.74

7.83

2008.10.30

6.03

6.66

6.75

7.02

7.20

2008.12.23

4.86

5.31

5.40

5.76

5.94

2010.10.20

5.10

5.56

5.60

5.96

6.14

2011.04.06

5.85

6.31

6.40

6.65

6.80

2012.06.08

5.85

6.31

6.4

6.65

6.8

表8.2中国商业贷款利率

2.问题分析

本文主要研究国民经济建设、生产、投资等关系，在第一个问题上，由于涉及太多对象和数据，为了既简洁又准确的得到指标间的关系，我们选择探讨指标间的简单相关、复相关、偏相关、三种关系。

首先，GDP是指国内生产总值，范围最广，所以我们会研究GDP与其他相关指标的简单相关关系和复相关关系。

其次，M0、M1、M2之间关系比较明确，有M0=流通中现金,M1=M0加上单位在银行的活期存款,M2=M1加上在银行的定期存款和城乡居民个人在银行的各项储蓄存款以及证券客户保证金，所以这里我们不再进一步研究他们三者之间的相关关系，最后，汇率和利率这两者之间，在一般情况下，前者波动会引起后者波动，同样后者变化也会引起前者变化，关系具有特殊性，为了更好的反应它们之间的关系，我们会具体研究它们之间的偏相关关系。

针对第二个问题，我们决定用回归分析来解决，因为回归分析能够很详细的处理变量和变量间的关系，它是通过对总体变量中的样本数据，去寻找隐藏在数据背后的关系，并且能够很好的检验结果的准确性。

对于第三个问题，由于影响GDP的因素太多，根本无法精确的计算预测，具有灰色性，因此采用指数增长模型去发掘其内在规律。

对于房价，黄金价格，可以采用时间序列分析和线性分析对其预测。

第四个问题，由于有多个因变量，因此可以用回归模型中的多元回归分析模型来解决。

最后再讨论各个模型的优缺点，并且作出评价

3.模型假设

[1]假设在研究GDP增长模型时一切外界因素保持稳定，GDP保持正常增长；

[2]假设在研究房价时外界因素保持和往时一样，不会出现太大波动；

[3]假设在研究黄金价格时外界因素保持和往时一样，不会出现太大波动；

[4]假设在研究汇率和利率的偏相关关系贷款或者存款利率不会出现太大波动；

4.符号说明

Y2000-2012年的GDP值

X12000-2012年的CPI值

X202000-2012年的M0值

X212000-2012年的M1值

X222000-2012年的M2值

X32000-2012年的工业生产总值

X42000-2012年的农业生产总值

ρXiYY和Xi之间的相关系数

ρXiYjXi和Xj之间的相关系数

RY，XiXjY同Xi，Xj之间的多元相关系数

X52002-2012年的汇率值

X612002-2012年的存款利率值

X622002-2012年的贷款利率值

RX5，X61汇率率和存款利率之间的偏相关系数

RX5，X62汇率率和贷款利率之间的偏相关系数

β0^β1^最小二乘法估计

y^回归方程因变量

tt分布系数

5.模型的建立和求解

5．1变量的一元和多元相关关系

5.1．1指标间的简单相关关系问题

GDP是指国内生产总值，范围最广，所以我们会研究GDP与其他相关指标的简单相关关系和复相关关系。

首先研究两个变量的简单相关关系，通过表1，2,3,4,5有

GDP值，Y=[99214.55109655.17120332.69135822.76159878.34184937.37216314.43265810.31314045.43340902.81401512.8473104.05519470.1]

CPI值，X1=[434437433.5438.7455.8464471493.6522.7519536.1565579.7]

M0值，X20=[14652.715688.817278.0319745.921468.324031.727072.6230375.2334218.9638245.9744628.1750748.4654659.81]

M1值，X21=[53147.259871.5970881.7984118.5795969.7107278.8126035.13152560.08166217.13220001.51266621.5289847.7308672.99]

M2值，X22=[134610.3158301.9185006.97221222.8254107298755.7345603.59403442.21475166.6606225.01725851.8851590.9974159.46]

工业生产总值，X3=[40033.5943580.6247431.3154945.5365210.0377230.7891310.94110534.88130260.24135239.95160722.23188470.15199670.66]

农业生产总值，X4=[13873.5914462.7914931.5414870.1118138.3619613.3721522.2824658.1728044.1530777.4836941.1141988.6446940.46]

（1）

结合以上数据，通过matlab和Excel软件，画出Y与X1、X20、X21、X22、X3、X4之间的散点图，见下：

容易看出，GDP值，即Y与各个变量，CPI,M0,M1,M2,工业生产总值，农业生产总值之间分布的散点图基本在一条直线附近，且都是递增线性关系，由此说明它们之间呈现线性正相关。

图5.1.1.1

（2）紧接着，我们把X1（CPI）作为因变量，讨论它与X20,X21,X22,X3,X4之间的相关关系，我们同样画出它们的散点图。

见左图：

同样，我们可以看出，CPI值，即X1与其他各个指标的散点图也在一条直线的附近，同样为递增关系，所以它们呈现出简单正相关的线性关系。

图5.1.1.2

（3）把X3（工业生产总值）作为因变量，讨论它与其他各个指标的关系，其散点图分布情况如下：

很明显，工业生产总值和其他各个变量之间还是呈线性正相关。

图5.1.1.3

（4）把X4（农业生产总值）作为因变量，讨论它与其他变量间的关系，如下图：

图5.1.1.4

从图上可以看出，农业生产总值也和其它变量呈线性正相关的线性关系。

总结：

任一指标作为因变量均与其他指标间存在确定的正相关线性关系

另外，我们又通过相关函数法确定相关系数来验证我们的结果，

利用Excel软件进行计算。

根据公式:

分别得出X与Y1Y20Y21Y22Y3Y4,Y1与Y1Y20Y21Y22Y3Y4,Y3与Y1Y20Y21Y22Y4,Y4与Y1Y20Y21Y22Y3之间的相关系数：

ρX1Y=0.99497888ρX20Y=0.998634944

ρX21Y=0.99257012ρX22Y=0.994882097

ρX3Y=0.99851256ρX4Y=0.99669855

ρX1X20=0.98986322ρX1X21=0.979541845

ρX1X22=0.982017739ρX1X3=0.996154187

ρX1X4=0.988543303

ρX3X1=0.996154187ρX3X20=0.997059395

ρX3X21=0.989683941ρX3X22=0.988933883

ρX3X4=0.991972805

ρX4X1=0.988543303ρX4X20=0.995761593

ρX4X21=0.991480786ρX4X22=0.997437609

ρX4X3=0.991972805

从以上数据可以看出，所有的相关系数都在[-1.1]范围内，并且全都大于0，所以全为正相关，和从散点图得出的结果一致。

因此，得出结论：

各指标间都存在简单的相关关系。

5.1.2指标间的多元相关关系问题

前面我们讨论了指标间的简单相关，但是也有更深层的关系，所以我们再通过多元相关分析来研究其复相关关系，这里我们以GDP为因变量Y，因为指标间两两相关系数都很接近1，所以我们只需要讨论三者间的相关程度，根据公式：

利用Excel计算得到结果：

RY,X1X20=0.99247248RY,X1X21=0.99012124

RY,X1X22=0.99321613RY,X1X3=0.991023135

RY,X1X4=0.994217212

RY,X20X21=0.98323164RY,X20X22=0.98237174

RY,X20X3=0.990212414RY,X20X24=0.99303011

RY,X21X22=0.981263124RY,X21X3=0.986632522

RY,X21X4=0.990012342

RY,X3X4=0.991251518

根据上述数据，可以看出，Y与任意者之间都存在复相关关系。

5.1.3汇率与利率的偏相关关系

由于汇率和利率关系比较特殊，在一般情况下，前者波动会引起后者波动，同样后者变化也会引起前者变化，利率又分为贷款利率和存款利率，在分析其关系时，我们往往可以假定贷款利率或者存款利率不变，利用偏相关关系来分析它们三者间的关系。

首先利用相关关系系数公式求出两两间的相关系数，再通过公式，计算利率同贷款利率和存款利率之间的关系，公式如下：

由于不同存款或贷款时间利率不同，所以可以分开讨论，则有（这里汇率我们选择人民币对美元汇率）：

六个月内：

ρX5X61=0.317815205ρX5X62=0.004064457ρX61X62=0.701454504

=0.3504

=0.0013

一年到三年：

ρX5X61