工程光学 郁道银版 习题解答一题不落第十二章光的衍射1doc.docx
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工程光学郁道银版习题解答一题不落第十二章光的衍射1doc
工程光学郁道银版习题解答（一题不落）第十二章_光的衍射1
第十二章光的衍射
1．波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会
聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求
（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；
（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：
（1）零强度点有sin（1,2,3....................）annθλ==±±±∴中央亮纹的角半宽度为0a
λθ∆=
∴亮纹半宽度29
003*********00.010.02510
rffmaλ
θ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯
（2）第一亮纹，有1sin4.493aπ
αθλ
=
⋅=9
13
4.4934.493500100.02863.140.02510radaλθπ--⨯⨯∴=
==⨯⨯2
1150100.02860.014314.3rfmmmθ-∴=⋅=⨯⨯==
同理224.6rmm=
（3）衍射光强2
0sinIIαα⎛⎫
=⎪⎝⎭
，其中sinaπαθλ=当sinanθλ=时为暗纹，tgαα=为亮纹∴对应级数α0I
I
001
14.4930.04718
27.7250.01694.........
2．平行光斜入射到单缝上，证明：
（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为
2
0sin[（sinsin）]（sinsin）aiIIaiπθλπθλ⎧⎫
-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭
式中，0I是中央亮纹中心强度；a是缝宽；θ是衍射角，i是入射角（见图12-50）
（2）中央亮纹的角半宽度为cosai
λ
θ∆=
证明：
（1））即可
（2）令
（sinsina
iπθπλ
==±∴对于中央亮斑sinsinia
λ
θ-=
3．在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。
问细丝直径是多少？
解：
设直径为a，则有
fda
λ
=
93
632.8100.03
0.01261.510
f
ammdλ--⨯⨯===⨯4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和
b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2
a
b=
时，
（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；
（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
同样，圆屏使P点振幅减小（）（）12
2'bJkbEpbckbθπθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
因此圆环在P点产生的振幅为
图12-50习题3图图12-51习题6图
（）（）22112'abaJkabJkbEEEckakbθθπθθ⎡⎤
=-=-⎢⎥⎣⎦
∴P点强度为
（）（）2
22112224'aJkabJkbIEckakbθθπθθ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦
对于衍射场中心，0θ=有
（）（）2
2
2
4
4222
2
2
222204'4'22442abababIcccabππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
当2
a
b=
时，
（1）（）2
2
2
242224904'28416abaIccacaπ⎛⎫⎛⎫=-=-=
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭∴
（）（）09
016
aII=
（2）第一暗纹有
（）（）
22110aJkabJkbkakbθθθθ
-=（）11122aaJkaaJkθθ⎛⎫
=⎪⎝⎭
查表可有3.144kaθ=
3.1443.1440.512kaaa
λλ
θπ∴=
=⋅=
4．
（1）一束直径为2mm的氦氖激光（632.8nmλ=）自地面射向月球，已知地面和月
球相距3
3.7610km⨯，问在月球上得到的光斑有多大？
（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？
将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？
解：
（1）圆孔衍射角半宽度为0.61a
λ
θ=∴传到月球上时光斑直径为
98
3
0.610.61632.8102223.7610290.3110
Dllkmaλθ--⨯⨯=⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯
（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。
直径
980.610.61632.810'2'223.7610145.2'2
Dllmaλθ-⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯=
5．若望远镜能分辨角距离为7
310rad-⨯的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？
同时为
了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？
解：
97
0.610.61550102
2.243102
Dmλ
θ
--⨯⨯⨯=
==⨯
人眼分辨率为4
1'2.910rad-≈⨯
∴放大率4
7
2.910900310M--⨯≥
⨯
6．若要使照相机感光胶片能分辨2mμ的线距，
（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当
时线；
（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？
（光波波长为550nm）
解：
（1）胶片分辨率为3
1
500210
N-=
=⨯线/毫米
（2）1.220.341490
DNNdλ=⋅=
7．一台显微镜的数值孔径为0.85，问
（1）它用于波长400nmλ=时的最小分辨距离是
多少？
（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？
（3）显微镜的放大率应设计成多大？
（设人眼的最小分辨率为'
1）。
解：
（1）9
60.610.61400100.2910sin0.85
mnuλε--⨯⨯=
==⨯
（2）提高1.45
'1.70.85
ε=
=（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为
42
2502502.9107.2510emmmmεα--=⋅=⨯⨯=⨯
∴放大率至少为
23
7.2510425'0.29101.7
emmMmmεε--⨯===⨯⨯
8．在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nmλ=，透镜焦距50fcm=，观
察到两相邻亮条纹之间的距离1.5emm=，并且第四级亮纹缺级。
试求
（1）双缝的缝距和缝宽；
（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。
解：
（1）双缝衍射亮纹条件为sin,0,1,2..............dmmθλ==±±取微分有cosdmθθλ⋅∆=∆
令1m∆=，且cos1θ≈，则d
λ
θ∆
又
effd
λ
θ=∆⋅=
⋅
93
3
632.8100.50.21101.510
f
dm
eλ---⨯⨯∴===⨯⨯
（2）衍射极小位置为sinanθλ=
1,2............0,1,2............ad
nmnm
∴==±±=±±取1,4nm==
0.054
d
amm∴=
=（3）对于第一级亮纹有sindθλ=±
即2sin2dπδθπλ
==±
又4da=
sin4
aλ
θ∴=±
sin4
aππαθλ∴=
=±∴第一级亮纹的相对强度2
2
2102sinsinsin240.81sin2
4
IIπδαδ
πα⎛⎫⎛
⎫
⎪⎪
⎛⎫===
⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭
同理
32
00
0.4,0.09IIII==
9．在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm，折射率为1.5的玻璃片。
设双缝间距为1.5mμ，
缝宽为0.5mμ，用波长500nm的平行光垂直入射。
试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。
解：
衍射图样不变，干涉位置变为（）0sindnndmθλ+-=
10．一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为
500nm。
问
（1）它产生的波长632.8nmλ=的单色光的1级和2级谱线的半宽度是
多少？
（2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？
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