苏教高中数学必修4课件第1章13131三角函数的周期性.docx
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苏教高中数学必修4课件第1章13131三角函数的周期性
三角函数
1.3
三角函数的图象和性质
1・3.1三角函数的周期性
［情景导入］自然界中存在着许多周而复始的现象，
如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹賽振动,圆周运动等•从正弦函数、余弦函数的定义可知，角«的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sina,cosa的值也具有周而复始的变化规律
函数吗？
其周期分别为多少？
你能给周期函数下一个定义吗？
［学习目标］1•理解周期函数的最小正周期的童义,
会求简单函数的最小正周期.2•理解正弦函数，余弦函数的周期性的意义.
1.对于函数/（兀），如果存在一个非零常数T,使得当兀取定义域内的每一个值时，都有f（x+r）=fa）,那么函数沧）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的厘
期.对于一个周期函数/⑴，如果在它所有的周期中存在
一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f⑵的最小正
2.正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kit（kWZ且
旦都是它们的周期，它们的最小正周期都是药.
3.正切函数J=tanx也是周期函数，并且最小正周
期是巫
4.一般地，对于函数y=Asin（（yx+（p）Ry=Acos（（yx
+0（其中A,伽卩为常数，且AHO,e>0）的周期T=w・
一、最小正周期
对于函数/㈡，如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个X值,都满足f（x+T）=f（x）,那么函数/（兀）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.
根据上述定义，我们有:
正弦函数是周期函数,2航（MZ且好0）都是它的周
期，最小正周期是2九
余弦函数是周期函数,2炯底Z且30）都是它的周期，最小正周期是2九
说明：
⑴周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f（x）=c（c为常数，xER）,所有非零实数T都是它的周期，而最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
⑵如果不加特别说明，教材中提到的周期，一般都是指最小正周期.
（3）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求，如果只是对某些兀有/（x+T）=/«,那么T就不是沧）的周期.
（4）周期函数的周期不唯一.例如2kn（kEZ,RHO）都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上证明:
设T是函数念）的周期,
二函数y-Af（（ox+（p啲周期函数j=Asin（wx+^）及函数j=Acos（wx+^）（其中
A,伽卩为常数，且AHO,。
＞0）的周期T=—.
若函数y=/a）的周期为几则函数y=Af（（ox+（/）啲
周期为書淇中A'如0为常数，且AH。
，曲0）・
求三角函数的周期的常用方法有：
⑴定义法；
（2）利用上面公式；⑶根据函数的图象.
题型1利用周期函数的定义或公式求周期［典例1］求下列函数的最小正周期:
（l）j=3cosx,xER；
（2）j=sin3x,xER；
（3）j=2cos|2x—,xERe
2n.
解：
⑴因为3cos（x+27T）=3cosx,
所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为
（2）因为sin3x+=sin（3x+2n）=sin3x,
所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为
（3）因为2cos2（x+n）・?
=2cos2x-
所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为
魄律方法认识周期函数的定义,关键要认识到fix+T）=/（x）
中，T是相对于自变■x而言的，突出x+T的函数值与
X的函数值相等，T才是函数的周期•本题也可利用函数
y=Asin（（yx+卩）及函数y=Acos（（yx+卩）（其中A,a）理为常数，且AHO,a）＞0）的最小正周期"著求之.
［变式训练］求下列函数的周期:
（1笊兀）=cos2x+sin2r；
（2）f（x）=Isinxl+Icosxl.
解:
（l/（x+7T）=COS2（x+?
r）+sin2（x+n）=cos（2x+
2n）+sin（2x+2n）=cos2x+sin2x-f（x）,
所以/⑴的周期为
/\
（21/x+j
n
2丿
所以/a）的周期为歩
（\n
cos
+
=Icosxl+Isinxl
题型2证明函数的周期性
［典例2］求证：
若对于非零常数加和任意的工，等式沧+加尸胃［［成立，则何为周期函数・
_1+门兀）
1+
F口£l+f（x+m）l-f（x）
证明：
沧+2加）==
1订（兀5）1+/（^）
1■
IV（x）
门兀）
所以/⑴是以4加为周期的周期函数.
由周期函数的定义“函数何满足/（X）=/（«+
r）（«>0）,则/'⑵是周期为a的周期函数”得:
1.若函数沧）满足-/（X）=/（«+x）,MJ1=2«；
2•若/（x+«）=…-—（Ax）HO）恒成立，则T=2a；
门工）
3.若f（x+a）=
/（x）
/（x）
+1
（f（x）^l）,JlljT=2a.
［变式训练］设沧）是定义在R上的偶函数，且尸
沧）的图象关于直线兀=1对称，证明丿=«兀）是周期函数.
证明：
因为『=/（对的图象关于直线兀=i对称.
所以/⑵=/（2-x）,xeR<
Xy=/（x）为偶函数,
所以/（-兀）=/W.
因此/（-X）=/（2-x）,xeR,
以・兀代换兀，则有沧）=/（2+兀），
故y=在R上是周期函数，且2是它的周期.
题型3函数周期性的应用
函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题,一
般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是先将所求函数值转化为已知，再进行求解.
［变式训练］若函数y=/（巧是R上周期为5的奇函
数，且满足何=1,/
（2）=2,则/（3）-/（4）=
解析：
因为/⑵是r上的奇函数，且周期为5,
所以/⑶・/（4）=/（-2）-/（-1）=・/
（2）+/
（1）,
X/（l）=l,/
（2）=2,
所以/（3）-/（4）=-2+1=-1.
答案：
一1
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