苏教高中数学必修4课件第1章13131三角函数的周期性.docx

1、苏教高中数学必修4课件第1章13131三角函数的周期性三角函数1.3三角函数的图象和性质13.1三角函数的周期性情景导入自然界中存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹賽振动, 圆周运动等从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sin a , cos a 的值也具有周而复始的变化规律函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定 义吗？学习目标1 理解周期函数的最小正周期的童义,会求简单函数的最小正周期.2理解正弦函数，余弦函 数的周期性的意义.1.对于函数/（兀），如果存在一个非零常数T,使得 当兀取定义域内的每一个值时，都有f

2、（x+r）=fa）,那么 函数沧）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的厘期.对于一个周期函数/，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f的最小正2.正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kit（kWZ且旦都是它们的周期，它们的最小正周期都是药.3.正切函数J=tanx也是周期函数，并且最小正周期是巫4. 一般地，对于函数y =Asin（yx+（p）Ry =Acos（yx+0（其中A,伽卩为常数，且AHO, e0）的周期T=w一、最小正周期对于函数/，如果存在一个非零的常数T,使得定 义域内的每一个X值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数/(兀) 就叫作周期函数，非零

3、常数T叫作这个函数的周期.根据上述定义，我们有: 正弦函数是周期函数,2航(MZ且好0)都是它的周期，最小正周期是2九余弦函数是周期函数,2炯底Z且30）都是它的周 期，最小正周期是2九说明：周期函数不一定存在最小正周期，例如， 对于常数函数f（x）=c（c为常数，xER）,所有非零实数T 都是它的周期，而最小正数是不存在的，所以常数函数 没有最小正周期.如果不加特别说明，教材中提到的周期，一般都 是指最小正周期.(3)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每 一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求，如果只 是对某些兀有/(x+T)=/,那么T就不是沧)的周期.(4)周期函数的周期不唯一.

4、例如2kn(kEZ, RHO) 都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上 得到反映，也可以从代数上证明:设T是函数念)的周期,二函数y-Af（ox +（p啲周期 函数 j=Asin(wx+)及函数 j=Acos(wx+)(其中A,伽卩为常数，且AHO,。0）的周期T=.若函数y=/a）的周期为几则函数y=Af（ox+（/）啲周期为書淇中A如0为常数，且AH。，曲0）求三角函数的周期的常用方法有：定义法；（2）利用上面公式；根据函数的图象.题型1利用周期函数的定义或公式求周期 典例1求下列函数的最小正周期:(l)j=3cosx, xER；(2)j=sin3x, xER；(3)j=2cos

5、|2x, xERe2n.解：因为3cos(x + 27T) =3cos x ,所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为(2)因为 sin3 x + = sin(3x + 2n) = sin 3x ,所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为(3)因为 2cos 2 (x + n )? = 2cos 2x -所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为魄律方法 认识周期函数的定义,关键要认识到fix + T） =/（x）中，T是相对于自变 x而言的，突出x + T的函数值与X的函数值相等，T才是函数的周期本题也可利用函数y = Asin（yx + 卩）及函数y =Acos（yx +

6、卩）（其中A ,a）理为 常数，且AHO , a）0）的最小正周期著求之.变式训练求下列函数的周期:(1笊兀)=cos 2x+sin2r；(2)f(x)=Isin xl+Icos xl.解:(l/(x + 7T)= COS 2(x + ?r) + sin2(x + n) = cos(2x +2n) + sin(2x + 2n) = cos 2x + sin 2x-f(x),所以/的周期为/ (21/x + jn2丿所以/a）的周期为歩( ncos+=Icos xl + Isin xl题型2证明函数的周期性典例2求证：若对于非零常数加和任意的工，等 式沧+加尸胃成立，则何为周期函数_ 1+门兀)

7、1 +F 口 l+f(x + m) l-f(x)证明：沧+ 2加)= = 1 订(兀5 ) 1+/()1 IV(x)门兀）所以/是以4加为周期的周期函数.由周期函数的定义“函数何满足/(X)=/( +r)(0), 则/是周期为a的周期函数”得:1.若函数沧)满足-/(X)=/( +x) , MJ 1 = 2 ；2若/(x + ) =-(Ax)HO)恒成立，则 T = 2a ；门工)3 .若 f(x+a) =/(x)/(x)+ 1(f(x)l), JlljT = 2a.变式训练设沧）是定义在R上的偶函数，且尸沧）的图象关于直线兀=1对称，证明丿=兀）是周期函数.证明：因为=/（对的图象关于直线兀

8、=i对称.所以/=/(2 - x) , xeRXy =/（x）为偶函数,所以/(-兀)=/W .因此/(- X)=/(2 - x) ,xeR ,以兀代换兀，则有沧)=/(2+兀)，故y = 在R上是周期函数，且2是它的周期.题型3函数周期性的应用函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题,一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是先将所 求函数值转化为已知，再进行求解.变式训练若函数y=/(巧是R上周期为5的奇函数，且满足何=1, /(2)=2,则/(3)-/(4)= 解析：因为/是r上的奇函数，且周期为5,所以/(4) =/( - 2) -/(-1)=/(2) +/(1),X/(l) = l ,/(2) = 2,所以 /(3)-/(4)= -2 + 1= -1.答案：一1