人教A版选修22模块综合测评一.docx
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人教A版选修22模块综合测评一
高中数学学习材料
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模块综合测评
（一） 选修2－2（A卷）
（时间：
90分钟 满分：
120分）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，共50分．
1．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（ ）
①因为指数函数y＝ax（a＞1）是增函数；②所以y＝2x是增函数；③而y＝2x是指数函数．
A．① B．②
C．①②D．③
答案：
D
2．函数f（x）＝x2在区间[－1,3]上的平均变化率是（ ）
A．4B．2
C.D.
解析：
因为f（x）＝x2，∴＝＝＝2.
答案：
B
3．下列各函数的导数：
①（）′＝x；②（ax）′＝a2lnx；③（sin2x）′＝cos2x；④′＝.其中正确的有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：
（）′＝（x）′＝x，①正确；（ax）′＝axlna，②错误；（sin2x）′＝2cos2x，③错误；′＝＝，④错误．
答案：
B
4．函数y＝＋sinx的图象大致是（ ）
A
B
C
D
解析：
由y′＝＋cosx与x＞0时，y＝＋sinx＞0可知原函数图象大致为C.
答案：
C
5．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：
“当f（k）＞k2成立时，总可推出f（k＋1）＞（k＋1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若f
（1）≤1成立，则f（9）≤81成立
B．若f
（2）≤4成立，则f
（1）＞1成立
C．若f（3）＞9成立，则当k≥1时，均有f（k）＞k2成立
D．若f（3）＞16成立，则当k≥3时，均有f（k）＞k2成立
答案：
D
6．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－（1－i）在复平面上的对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，
∴z＝3＋4i－5－（1－i）＝（3－5－1）＋（4＋1）i＝－3＋5i.
∴复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.
答案：
B
7．设函数f（x）＝（x3－1）2，下列结论中正确的是（ ）
A．x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝0是极大值点
B．x＝1及x＝0均是f（x）的极大值点
C．x＝1是函数f（x）的极小值点，函数f（x）无极大值
D．函数f（x）无极值
解析：
f′（x）＝2（x3－1）·3x2，令f′（x）＝0，解得：
x＝0或x＝1，判断单调性可知选C.
答案：
C
8．定义A*B，B*C，D*C，D*B分别对应如图中的图形
①
②
③
④
那么如下图中的图形，
（1）
（2）
（3）
（4）
可以表示A*D，A*C的分别是（ ）
A．
（1），
（2）B．
（2），（3）
C．
（2），（4）D．
（1），（4）
答案：
C
9．积分
dx＝（ ）
A.πa2B.πa2
C．πa2D．2πa2
解析：
定积分
dx表示的是关于半个圆的面积，圆心为原点，半径为a，因此答案为B.
答案：
B
10．f0（x）＝cosx，f1（x）＝f′0（x），f2（x）＝f′1（x），…，fn＋1（x）＝f′n（x），n∈N，则f2007（x）为（ ）
A．sinxB．－sinx
C．cosxD．－cosx
解析：
因为（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，故先求
f1（x）＝－sinx，f2（x）＝－cosx，f3（x）＝sinx，
f4（x）＝cosx，
∴4是周期，则f2007（x）＝f3（x）＝sinx.
答案：
A
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题__________．
解析：
平行线类比为平行面．
答案：
夹在两平行平面间的平行线段相等
12．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：
y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．
解析：
∵y′＝3x2－10.
设切点P（x0，y0）
（x0＜0，y0＞0），则点P处切线斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2（x0＜0）．
∴P（－2,15）．
答案：
（－2,15）
13．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为__________．
解析：
答案：
2ln2
14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，若f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（x）＝ax·g（x）（a＞0且a≠1）及＋＝，则a的值为__________．
解析：
∵′＝，
又∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
′＝＜0.
∴为减函数．
∴0＜a＜1.
∵＋＝，
∴a＋a－1＝.
解得a＝.
答案：
三、解答题：
本大题共4小题，满分50分．
15．（12分）设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：
z＝＝＝＝＝1－i，4分
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，
得（1－i）2＋a（1－i）＋b＝1＋i，
即（a＋b）－（a＋2）i＝1＋i，8分
所以
所以12分
16．（12分）观察下表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15.
…
问：
（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2012是第几行的第几个数？
解：
（1）此表n行的第1个数为2n－1，第n行共有2n－1个数，依次构成公差为1的等差数列.4分
由等差数列的通项公式，此表第n行的最后一个数是2n－1＋（2n－1－1）×1＝2n－1.6分
（2）由等差数列的求和公式，此表第n行的各个数之和为＝22n－2＋22n－3－2n－2或2n－1×2n－1＋×1＝22n－2＋22n－3－2n－2.
8分
（3）设2012在此数表的第n行．
则2n－1≤2012≤2n－1，可得n＝11.
故2012在此数表的第11行.10分
设2012是此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为210，
因此，2012是第11行的第989个数.12分
17．（12分）已知函数f（x）＝x－＋1－alnx，a＞0.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＝3，求f（x）在区间[1，e2]上的值域，其中e＝2.71828…是自然对数的底数．
解：
（1）f（x）的定义域是（0，＋∞），
导函数f′（x）＝1＋－＝.
2分
设g（x）＝x2－ax＋2，二次方程g（x）＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′（x）＞0.
此时f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数.4分
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝有f′（x）＝0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0.
此时f（x）也是（0，＋∞）上的单调递增函数．
6分
③当Δ＞0即a＞2时，方程g（x）＝0有两个不同的实根，
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
此时f（x）在上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.9分
（2）当a＝3时，方程g（x）＝0有两个不同的实根x1＝1，x2＝2.
由
（1）知，在（1，e2）内，当x＝2时f（x）取得极值，f
（1）＝0，f
（2）＝2－3ln2，
f（e2）＝e2－2e－2－5.
因为f
（2）＜f
（1）＜f（e2），
所以f（x）在区间[1，e2]上的值域为[2－3ln2，e2－2e－2－5].12分
18．（14分）设函数f（x）＝lnx－ax2－bx.
（1）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）＝f（x）＋ax2＋bx＋（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＝0，b＝－1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
解：
（1）依题意知，f（x）的定义域为（0，＋∞）．
1分
当a＝b＝时，f（x）＝lnx－x2－x，
f′（x）＝－x－＝，
令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝－2（舍去）．
3分
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1，＋∞）.5分
（2）F（x）＝lnx＋，x∈（0,3]，
则有k＝F′（x0）＝≤在（0,3]上恒成立.7分
所以a≥max，
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值.9分
所以a≥.10分
（3）当a＝0，b＝－1时，f（x）＝lnx＋x，
由f（x）＝mx，得lnx＋x＝mx，
又x＞0，∴m＝1＋.11分
要使方程f（x）＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解．
只需m＝1＋有唯一实数解，
令g（x）＝1＋（x＞0），∴g′（x）＝，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e.
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．
g
（1）＝1，g（e2）＝1＋＝1＋，g（e）＝1＋，
13分
∴m＝1＋或1≤m＜1＋.14分
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