四边形复习讲义精讲.docx
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四边形复习讲义精讲
四边形复习讲义
考试目标要求：
1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.
2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的
关系；了解四边形的不稳定性.
3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.
4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.
5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.
6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.
知识考点梳理
知识点一、多边形的有关概念和性质
1.多边形的定义：
在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.多边形的性质：
（1）多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于
（2）•180°；
（2）推论：
多边形的外角和是360°；
（3）对角线条数公式：
n边形的对角线有条；
（4）正多边形定义：
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
知识点二、四边形的有关概念和性质
1.四边形的定义：
同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
2.四边形的性质：
（1）定理：
四边形的内角和是360°；
（2）推论：
四边形的外角和是360°.
知识点三、平行四边形
1.平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
3.平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.面积公式：
（a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高）.
知识点四、矩形
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质:
矩形具有平行四边形的所有性质；
（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都相等，且都是直角；
（3）矩形的对角线互相平分且相等.
3.矩形的判定方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形.
4.面积公式：
（a、b是矩形的边长）.
知识点五、菱形
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
菱形具有平行四边形的所有性质；
（1）菱形的对边平行，四条边都相等；
（2）菱形的对角相等；
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；
（2）四条边都相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4.面积公式：
（a是平行四边形的边长，h是这条边上的高）或（m、n是菱形的两条对角线长）.
知识点六、正方形
1.正方形的定义：
有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.
2.正方形的性质:
正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；
（1）正方形的对边平行，四条边都相等；
（2）正方形的四个角都是直角；
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；
3.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.
4.面积公式：
2（a是边长）或b2（b正方形的对角线长）.
平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系:
知识点七、梯形
1.梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
（1）互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.
（2）不平行的两边叫做梯形的腰.
（3）梯形的四个角都叫做底角.
2.直角梯形：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
3.等腰梯形：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
4.等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形的两腰相等；
（2）等腰梯形同一底上的两个底角相等.
（3）等腰梯形的对角线相等.
5.等腰梯形的判定方法：
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）；
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形中位线：
连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
7.面积公式：
（）h（a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高）.
知识点八、平面图形的镶嵌
1.平面图形的镶嵌的定义：
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.
2.平面图形镶嵌的条件：
（1）同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：
周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里
只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
（2）n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；
②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数
倍.
四、规律方法指导
1.数形结合思想
多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题.
2.分类讨论思想
根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论.
3.化归与转化思想
要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：
多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等.
4.注意观察、分析、总结
在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过辅助线将图形适当变化，使条件集中，以便应用条件达到解题的目的，由繁变简，一般与特殊之间的转化.
5.四边形知识点间的联系
经典例题透析
考点一、多边形及镶嵌
1．若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是.
考点：
本题考查n边形的内角和公式：
（2）•180°和多边形的外角和是360°.
解析：
设正多边形边数为n，由题意得：
（2）•180°=360°×3，解得8，∴这个多边形的边数是八边.
2．下列正多边形中，能够铺满地面的是（）
A、正五边形 B、正六边形 C、正七边形 D、正八边形
考点：
镶嵌的条件：
周角是这种正多边形的一个内角的整倍数.
思路点拔：
在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
答案：
B
3．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是（）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.三角形
思路点拔：
n边形的对角线从一个顶点共引（3）条对角线.
解析：
根据题意列式为3=3，∴6.故选C.
4.一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是度，他求的是边形的内角和.
思路点拔：
一个多边形的内角和能被180°整除，本题内角和1125°除以180°后有余数，则少的内角应和这个余数互补.
解析：
设这个多边形边数为n，少算的内角度数为x，
由题意得：
（2）•180°=1125°+x°，∴
∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得9.应填135、九.
总结升华：
多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.
举一反三：
【变式1】如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角的度数为135°，那么这个多边形的边数为（）
A.6 B.7 C.8 D.以上答案都不对
思路点拔：
在本题可利用外角去求边数，每个外角为45°，外角和是360°，有几个外角就有几条边.
解析：
∵多边形的每个内角度数为135°，∴每个外角为45°
又∵多边形外角和为360°，∴边数=360°÷45°=8，故选C.
【变式2】多边形的内角和随着边数的增加而，边数增加一条时，它的内角和增加度.
解析：
多边形每增加一边，内角和就增加180°.
答案：
增加、180.
考点二、平行四边形
5.平行四边形的周长为40，两邻边的比为2：
3，则这一组邻边长分别为.
考点：
平行四边形的边的性质.
思路点拔：
掌握平行四边形的对边相等.
解析：
∵□中，，，周长为40
∴20，又∵：
2：
3，
令2k，3k，∴2320，解得4，
∴这一组邻边长分别为8和12.
6.已知O是□的对角线交点，24，38，14，那么△的周长等于.
考点：
平行四边形的对角线互相平分.
解析：
□中，12，19，14
∴△的周长19+12+14=45.
7.如图，是□的对角线，点E、F在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是.
考点：
平行四边形的判定.
思路点拔：
本题可以利用平行四边形的判定中的一组对边平行且相等；也可以利用对角线互相平分来判定等.答案不唯一.
条件一：
增加的条件为∠∠.
证明：
∵∠∠，∴∥，∠∠
∵□中，，∥，∴∠∠
∴△≌△，∴
∴四边形是平行四边形.
条件二：
增加的条件为.
解法一：
可利用证明△≌△，△≌△，得，
∴四边形是平行四边形.
解法二：
连结交于O
□中，，
∵，∴，得
∴四边形是平行四边形.
总结升华：
借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点.
举一反三：
【变式1】在平行四边形中，两条对角线、相交于点O，如右图，
与△面积相等的三角形有（）个.
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：
两条对角线分成的四个小三角形面积都相等，等底等高.
∴与△面积相等的三角形有△、△、△.故选C
【变式2】如图，△中∠90°，点D、E分别是，的中点，点F在的延长线上，且∠∠A.
求证：
四边形是平行四边形.
考点：
本题要求会综合运用所学的知识证明结论：
（1）三角形的中位线性质；
（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（3）两组对边分别平行的四边形是平行四形.
证明：
∵D、E分别是，的中点，∴是△的中位线
∴，∥即∥
∵△中∠90°，E是的中点，∴
∴，∴∠∠
∵∠∠A，∴∠∠，∴∥
∴四边形是平行四边形.
考点三、矩形
8．如图，矩形的两条对角线相交于O，∠60°，8，则矩形对角线的长.
考点：
矩形的性质.
思路点拔：
掌握矩形的对角线相等,会用一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
解析：
在矩形中，，，
∴，∵∠60°，∴△是等边三角形
∴8，∴216，故应填16.
9.如右图，把一张矩形纸片沿对折，使C点落在E处且与相交于点O.写出一组相等的线段.（不包括和）.
思路点拔：
理解折叠前后图形的变化，△≌△，也可证出△≌△，找出对应量相等.
解析：
或、、等
总结升华：
矩形在平行四边形的基础上进一步特殊化，结合矩形的对角线平分且相等，会运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质.
举一反三：
【变式1】四边形的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是（）
，，∠90°
，，
C.∠∠90°，∠∠180°
D.∠∠，∠∠90°
思路点拔：
本题应结合图形去解决，掌握矩形的判定方法.
解析：
A选项由，判定是□，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；B选项由，判定是□，再利用对角线相等的平行四边形是矩形；D选项由∠∠，∠∠判定是□，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；而C选项却不能判定,举反例如直角梯形.故选C.
【变式2】矩形一个角的平分线分矩形一边成2和3，则这个矩形的面积为.
考点：
矩形的面积公式
思路点拔：
在没有图形的题中，画图时应考虑全面，本题体现了分类的思想，被分的两部分长度不确定
解析：
如图
（1）若3，2，则矩形边长分别3和5，面积为152
如图
（2）若2，3，则矩形边长分别2和5，面积为102
则这个矩形面积就为102和152.
考点四、菱形
10．在菱形中，对角线、交于点O，、的长分别为5厘米、10厘米，则菱形的面积为厘米2.
考点：
菱形面积.
思路点拔：
菱形的对角线互相垂直，面积公式有两个：
（1）底乘高；
（2）对角线乘积的一半.
解：
菱形的面积=××5×10=252.
11．能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
考点：
菱形的判定
解析：
A选项可判定为矩形；B选项不能判定是平行四边形，∴也不能判定是菱形；C选项只能判定是平行四边形；D选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等.故选D.
总结升华：
菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化，菱形的对角线互相垂直，把菱形分成四个全等的直角三角形，常利用这一性质求线段和角，以及菱形的面积.
举一反三：
【变式1】已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两个邻角度数分别为（）
A.45°，135° B.60°，120° C.90°，90° D.30°，150°
思路点拔：
菱形的一条对角线与边长相等，则构成等边三角形，从而求出菱形的内角度数.
答案：
B
【变式2】如图，已知平分∠，∥，∥，5.
（1）判断四边形的形状?
（2）它的周长是多少?
考点：
菱形的判定
思路点拔：
利用一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法证明.
证明：
（1）∵平分∠，∴∠∠
∵∥，∥
∴四边形是平行四边形，∠∠
∴∠∠，∴
∴平行四边形是菱形.
（2）∵平行四边形是菱形，5
∴菱形的周长=44×5=20.
【变式3】如图，菱形的边长为2，∠45°，则点B的坐标为.
思路点拔：
利用数形结合的思想，可先求A点坐标，再向右平移2个单位.
解析：
过A作⊥于D，
∵∠45°，2，∴，∴A（，）
∵2，∴B（2+，）.
考点五、正方形
12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是（）
A.四个角都是直角 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
思路点拔：
正方形是满足矩形和菱形的所有性质.∴正方形的对角线互相垂直，而矩形对角线则不一定互相垂直.
答案：
C.
13．如图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拔：
本题考查学生解题能力，容易将是对角线的情况忽略，而错误的选B.
解析：
如图，共有3个.
14．图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？
思路点拔：
本题利用正方形的边长相等，及矩形的对边相等，设某个正方形的边长为x，并用x表示矩形的对这得出相应的方程，求出矩形的长和宽.
解：
设右下方正方形的边长为，则左下方正方形的边长为+1，
左上方正方形的边长为+2，右上方正方形的边长为+3，
根据长方形的对边相等可列方程2++1=+2++3，解这个方程得=4，
∴长方形的长为13，宽为11.
总结升华：
正方形的性质很多，往往是在判定矩形或菱形的基础上再进一步判定正方形，∴做正方形的问题时，要考虑全面，有选择的运用正方形的知识解题.
举一反三：
【变式1】下列选项正确的是（）
A.四边相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.四角相等的四边形是正方形
考点：
正方形的判定方法.
思路点拔：
掌握正方形的判定方法要从边、角、对角线各方面考虑.
解析：
A、C选项能判定是菱形；D选项能判定是矩形；故应选B.
【变式2】正方形中，对角线长为16，P是上任意一点，则点P到、的距离之和等于.
思路点拔：
本题方法很多，
（1）可以利用三角形面积去求：
连接，△的面积等于△和△的面积之和；
（2）也可证明矩形，得，再证，从而得出结论.总之，P在上移动时，点P到、的距离之和总等于对角线长的一半.
解析：
8
【变式3】
（1）顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
（2）顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
（3）顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
（4）顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
考点：
中点四边形的判定由原四边形的对角线决定.
思路点拔：
规律：
顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是正方形.
答案：
（1）A
（2）C（3）B（4）D
考点六、梯形
15．等腰梯形中，，，，，则梯形的腰长是.
考点：
等腰梯形的性质.
思路点拔：
梯形常作的辅助线是作梯形的高，将梯形分成一个矩形和两个直角三角形；本题也可平移一腰，将梯形分成一个平行四边形和一个等边三角形.
解析：
过A作∥交于E
∵∥，∴5，，∴9-5=4
∵梯形是等腰梯形，∴，∴
∵∠60°，∴△是等边三角形
∴4，即梯形的腰长是4.
16.如图，在梯形中，∥，2，8，6，8，则此梯形的面积是（）
（A）24 （B）20 （C）16 （D）12
思路点拔：
梯形常作的辅助线还有就是平移对角线，将梯形分成一个三角形以及一个平行四边形.
解析：
过D作∥交延长线于E，可得，，∴10，
∴△的三边为6、8、10，∴△为直角三角形，
∵△和△等底等高，∴梯形的面积等于△的面积.
即梯形的面积=6×8×=24.
17．如图，在等腰梯形中，∥，，相交于点O.有下列四个结论：
①；②梯形是轴对称图形；③∠∠；④△≌△.
其中正确的是（）.
（A）①③④ （B）①②④ （C）①②③ （D）②③④
考点：
本题考查的是等腰梯形的性质.
答案：
C
总结升华：
解决梯形问题时，辅助线是常用的方法，除上述辅助线之外，还可以延长两腰交于一点，构成三角形；若已知一腰中点，可连结一顶点和这个中点，构成两个全等的三角形.
举一反三：
【变式1】已知梯形的上底长为3，中位线长为6，则下底长为.
考点：
梯形的中位线性质.
思路点拔：
梯形的中位线平行两底，且等于上、下底和的一半.
答案：
9.
【变式2】如图，梯形中，∥，E、F分别是、的中点，∠和∠互余，若4，10，则.
解析：
过E作∥，∥，交于M、N，可求10-4=6
∵∠和∠互余，可得△，再证是△斜边上的中线，
可求的长=×6=3.
【变式3】已知等腰梯形，∥，E为梯形内一点，且.求证：
.
思路点拔：
利用梯形的性质可证明三角形全等.
证明：
在等腰梯形中，，∠∠
∵，∴∠∠
∴∠∠∠∠，即∠∠
∴△≌△，∴.
中考题萃
1.（北京市）（4分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）
A.5 B.6 C.7 D.8
2.（赤峰市）（3分）分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其
中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④都可以
3.（湖北省襄樊市）（3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形
4.（衡阳市）（3分）如图，在平行四边形中，，为垂足，如果，那么
的度数是（）
A. B.
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