哥德巴赫猜想的最终证明.docx

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哥德巴赫猜想的最终证明

哥德巴赫猜想的最终证明

1742年6月7日,当时还是中学教师的哥德巴赫,写信给当时乔居俄国彼得堡的数学家欧拉一封信,问道:

“是否任何不小于6的偶数,均可表示为两个奇素之和?

”.20天后,欧拉复信写到:

“任何不小于6的偶数,都是两个奇素数之和.这一猜想,虽然我还不能证明它,但是我确信无疑地认为这是完全正确的定理.”这就是一直未被世人彻底解决的著名的哥德巴赫猜想,也称为哥德巴赫----欧拉猜想.

命题简述为:

（1）每个≥6的偶数都可表示为两个奇素数之和;

（2）每个≥9的奇数都可表示为三个奇素数之和.

在260多年的漫长岁月里,各国数学都为证明这个猜想绞尽脑汁,但最终未能彻底证明.只是对第一部分进行了大量验证,对第二部分间接地进行了证明.现在让我们采用一种全新的方法揭示出这个猜想的规律性,使这个定理得到最终证明.

   要证明这个定理实质是解决下列问题:

（1）奇素数如何表示?

（2）猜想的第一部分能否由奇素数的表示法得到证明?

   （3）第二部分是否是第一部分的推论?

   首先,让我们解决问题

（1）:

   奇素数定理:

p是一个奇素数,当且仅当,

      <1>p=3;

      <2>p=6k-1,且k≠6mn±（m-n）,m,n为任意正整数;

      <3>p=6k+1,且k≠6mn±（m+n）,m,n为任意正整数.

证明:

=>若p是奇素数,则p≥3,若p=3,必要性显然;p>3时,p是素数则p/3余1或余2,即余1或-1,所以p=3p1±1,又p为奇数,从而p1=2k,k为正整数,否则p为偶数.因而p=6k±1

当p=6k+1时,若存在正整数m,n使得k=6mn±（m+n）

则p=6[6mn±（m+n）]+1    

  =6m×6n±6（m+n）+1

  =（6m±1）（6n±1）

从而p为合数,矛盾.

即不存在正整数m,n使得k=6mn±（m+n）

当p=6k-1时,若存在正整数m,n使得k=6mn±（m-n）则

  p=6[6mn±（m-n）]-1

   =6m×6n±6（m-n）-1

   =（6m±1）（6n±1）

从而p为合数,矛盾.

即任意m,n使得k≠6mn±（m-n）

综合以上三方面可知必要性成立.

<=充分性.若p=3,充分性显然;若p=6k+1时,p=3×2k+1,则3ˉ︳p;又p=2k×3+1,则任意偶数2kˉ︳p;任一组正整数m,n,使得k=6mn±（m+n）不成立,即p=（6m±1）（6n±1）不成立,即（6m±1）ˉ︳p,                  （6n±1）ˉ︳p﹐  但1︱p,p︱p,

由奇﹑素数定义可知充分性成立;

同理可证若p=6k-1时充分性成立.

综上充分性得证.

由此定理可知:

除3以外的奇素数都满足p=6k+1（k≠6mn±（m+n））或p=6k-1（k≠6mn±（m-n））的形式.

其次,解决问题

（2）.    

任一偶数N≥6,则有且只有下列一种情况成立:

N=6k-2,N=6k,或N=6k+2.只要这三种情况下N都能表示为两个奇素数之和,则猜想成立.

证法1:

同余统计法

当N=6k-2时,对N可进行[k/2]个如下连续分解:

N=（6×1-1）+〔6×（k-1）-1〕     

    =（6×2-1）+〔6×（k-2）-1〕    

=（6×3-1）+〔6×（k-3）-1〕    

 =（6×4-1）+〔6×（k-4）-1〕    

 =（6×5-1）+〔6×（k-5）-1〕    

=（6×6-1）+〔6×（k-6）-1〕    

=（6×7-1）+〔6×（k-7）-1〕     

=（6×8-1）+〔6×（k-8）-1〕     

=（6×9-1）+〔6×（k-9）-1〕   

=（6×10-1）+〔6×（k-10）-1〕        

...          ...       

 =〔6×（k/2）-1〕+〔6×（k/2）-1〕  （k为偶数）         

=〔6×[k/2]-1〕+〔6×（[k/2]+1）-1〕（k为奇数）

这种形式的分解中有四种情况:

<1>素+合,<2>合+素,<3>合+合,<4>素+素.其中合数项6k-1=（6m-1）（6n+1）成对出现6m-1与6n+1,因而只考虑6m-1与i（

p|（i）表示素数p=6m-1整除（6i-1）,因为6m-1+m=i≤k必使6i-1为合数,则m≤[（k+1）/7],即这k个分解中的合数项全部是由1～[（k+1）/7]项中的素数衍生的.则:

5|<1><6><11><16>.....   <1（mod5）>

11|<2><13><24><35>..   ....<2（mod11）>

17|<3><20><37><54>..   ....<3（mod17）>

23|<4><27><50><73>..   ....<4（mod23）>

          ...........

（6[（k+1）/7]-1）|<[（k+1）/7]><7[（k+1）/7]-1>    ....＜［（k+1）/7］（mod（7[（k+1）/7]-1））＞

因而在前10个分解中,10个前项有9个素数项,而10个后项至少有3个素数项,因此素+素的分解至少有2个,即这种情况下猜想得证.

当N=6k时,有如下k种分解:

N=（6×1+1）+〔6×（k-1）-1〕    

=（6×2+1）+〔6×（k-2）-1〕        

......       .......       

=（6×[k/2]+1）+〔6×[k/2]-1〕        （k为偶数）          

=（6×[k/2]+1）+〔6×（[k/2]+1）-1〕   （k为奇数）     

若将前后项中的+1与-1颠倒顺序又会得到[k/2]个分解.     

 在前-后+的前10个分解中前项有1个合数,有9个素数,而后项最多有8个合数,因此前10个分解中至少有一个素+素分解.       

 即此情况下猜想成立.

当N=6k+2时,有如下［k／2］种分解:

N=（6×1+1）+〔6×（k-1）+1〕    

=（6×2+1）+〔6×（k-2）+1〕        

    ......       .......       

=（6×[k/2]+1）+〔6×[k/2]+1〕        （k为偶数）          

=（6×[k/2]+1）+〔6×（[k/2]+1）+1〕  （k为奇数）    

 在前13个分解中前项有3个合数有10个素数,而后项最多有9个合数,因此前13个分解中至少有1个素+素分解.       

即此情况下猜想成立.

证法2，用数学归纳法

当N=6k-2时，若k=20

N=  3 +6×19+1  ①

=6×1-1+6×19-1  ①

=6×2-1+6×18-1  ②

=6×3-1+6×17-1  ③

=6×4-1+6×16-1  ④

=6×5-1+6×15-1  ⑤

=6×6-1+6×14-1  ⑥

=6×7-1+6×13-1  ⑦

=6×8-1+6×12-1  ⑧

=6×9-1+6×11-1  ⑨

=6×10-1+6×10-1 ⑩

分解①④⑦⑨全为素+合，⑥为合+素，①②③⑤⑧⑩全为素+素，猜想成立；

假设k=I时猜想成立即:

N=6k-2

 =6×1-1+6（I-1）-1

=...+...

=素 + 素

=...+...

=合（i-1）+  素（I-i+1）

=素（i） +   合（I-i） 

=合（i+1） + 素（I-i-1）  

=...+ ...

  k=I+1时

N=6（I+1）-2

 =6×1-1+6（I+1）-1

=...+...

=素 + ...

=...+素

=合（i-1）+  ...

=素（i） +  素（I-i+1） 

=合（i+1） +合（I-i）

=...+ 素（I-i-1）

分解（i）为素+素

k=I+1时,N=素+素,

N=6k-2时猜想成立.

当N=6k+2时,，若k=20

N=  3+6×20-1  ①

=6×1+1+6×19+1  ①

=6×2+1+6×18+1  ②

=6×3+1+6×17+1  ③

=6×4+1+6×16+1  ④

=6×5+1+6×15+1  ⑤

=6×6+1+6×14+1  ⑥

=6×7+1+6×13+1  ⑦

=6×8+1+6×12+1  ⑧

=6×9+1+6×11+1  ⑨

=6×10+1+6×10+1 ⑩

分解①①⑤⑥全为素+合，④⑧⑨为合+素，②③⑦⑩全为素+素，猜想成立；

假设k=I时猜想成立即:

N=6k+2

 =6×1+1+6（k-1）+1

=...+...

=素 + 素

=...+...

=合（i-1）+  素（I-i+1）

=素（i） +   合（I-i） 

=合（i+1） + 素（I-i-1）  

=...+ ...

  k=I+1时

N=6（k+1）+2

 =6×1+1+6k+1

=...+...

=素 + ...

=...+素

=合（i-1）+  ...

=素（i） +  素（I-i+1） 

=合（i+1） +合（I-i）

=...+ 素（I-i-1）

分解（i）为素+素

k=I+1时,N=素+素,

N=6k+2时猜想成立.

当N=6k时,若k=20

N=6×1-1+6×19+1  ①

=6×2-1+6×18+1  ②

=6×3-1+6×17+1  ③

=6×4-1+6×16+1  ④

=6×5-1+6×15+1  ⑤

=6×6-1+6×14+1  ⑥

=6×7-1+6×13+1  ⑦

=6×8-1+6×12+1  ⑧

=6×9-1+6×11+1  ⑨

=6×10-1+6×10+1 ⑩

或

N=6×1+1+6×19-1 ①

=6×2+1+6×18-1 ②

=6×3+1+6×17-1 ③

=6×4+1+6×16-1 ④

=6×5+1+6×15-1 ⑤

=6×6+1+6×14-1 ⑥

=6×7+1+6×13-1  ⑦

=6×8+1+6×12-1  ⑧

=6×9+1+6×11-1  ⑨

=6×10+1+6×10-1  ⑩

素+素分解共12个,猜想成立,假定k=I时猜想成立，同理可证k=I+1时,N=6k=素+素,猜想成立

综上问题

（2）得到解决.

最后解决问题（3）.     

 设N≥9,且N为奇数,则N-1≥8且N-1为偶数,由

（2）知N-1=n1+n2,n1,n2为奇素数,从而n1≥5,或n2≥5,否则N-1=n1+n2<8,与题设矛盾.事实上,若n2=3,因N-1=n1+n2≥8,所以n1≥5;或n1=3,则 N-1≥8,从而n2≥5.       假定n1≥5,则n1+1≥6,由

（2）知n1+1=n3+n4,且n3,n4为奇素数,而N-1=n1+n2,所以           N=（n1+1）+n2=n2+n3+n4,n2,n3,n4为奇素数.   

 猜想的第二部分得到证明.

由以上证明可知哥德巴赫猜想成立.

      注：

“aˉ︳b”表示a不能整除b；“︱”表示整除；“［k／2］”表示≤k/2的最大整数，“a（modb）”表示“模b同余a类”。