13研究生数理统计习题部分解答.docx

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13研究生数理统计习题部分解答

12研究生数理统计习题部分解答

第六章抽样分布

1．

设（X1,X2,?

Xn）是来自总体N（?

2）的简单随机样本，X是样本均值，记

S121212122222?

（Xi?

X），S2?

（Xi?

X），S3?

（Xi?

）2，?

1i?

1ni?

1n?

1i?

112?

（Xi?

）2则服从自度n?

1的t分布的随机变量是T?

。

S42A.

S1n?

S2X?

S32n

S4n

[答案：

选B]

12当S?

（Xi?

X）2时，服从自度n?

1的t分布的随机变量应为?

1i?

1　　　T?

A、S1212X?

（Xi?

X）2?

S2，Tn?

1i?

1S1n?

1Sn?

1　　而不是T?

B、S2212n?

11nn?

1222?

（Xi?

X）?

（X?

X）?

ini?

1nn?

1i?

1n　　?

S2n?

1nSn?

Sn。

2．

设随机变量X,Y相互独立，均服从N（0,3）分布且X1,?

X9与Y1,?

Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U?

）分布。

2X1X9Y1Y922服从参数为的的分布]

解：

X,Y相互独立，均服从N（0,32）分布，又X1,?

X9与Y1,?

Y9分别来自总体

X,Y，可知X1,?

X9与Y1,?

Y9之间均相互独立，均服从分布N（0,32）

9Yi19?

Yi?

2因而?

Xi~N（0,9?

3），X?

Xi~N（0,1），~N（0,1），?

2（9），?

39i?

1i?

192919?

且X?

Xi与?

相互独立，

9i?

1i?

219?

Xi?

19i?

19i因而

19Xi?

19iYi23?

Yi?

19?

2iX1X9Y1Y922服从参数为9的t分布。

3．

2设（X1,X2,X3,X4）是取自正态总体X~N（0,2）的简单随机样本且Y?

，b?

布，其自度为。

　　同学习指导文件综例[答案：

时，统计量Y服从?

分

2112），b?

时，统计量Y服从?

分布，其自度为]20100统计量Y?

a（X1?

2X2）2?

b（3X3?

4X4）2?

[a（X1?

2X2）]2?

[b（3X3?

4X4）]2设Y1?

a（X1?

2X2）,Y2?

b（3X3?

4X4）即Y?

2i?

122X~N（0,2）可知Xi~N（0,22），i?

1,2,3,4，且

EY1?

E[a（X1?

2X2）]?

a（EX1?

2EX2）?

a（0?

0）?

EY2?

E[b（3X3?

4X4）]?

b（3EX3?

4EX4）?

b（3?

0）?

0DY1?

D[a（X1?

2X2）]?

a（DX1?

4DX2）?

a（22?

22）?

20aDY2?

D[b（3X3?

4X4）]?

b（9DX3?

16DX4）?

b（9?

22?

16?

22）?

100b若统计量Y服从?

分布，则Y?

布，即

Yi，可知自度为2且Yi（i?

1,2）服从标准正态分

2i?

12EY1?

EY2?

0，DY1?

20a?

4．

11，DY2?

100b?

。

201001619设X1,X2,?

X9是取自正态总体X的简单随机样本，Y1?

Xi，Y2?

Xi，

6i?

13i?

72（Y1?

Y2）19，证明统计量Z服从自度为2的t分布。

（Xi?

Y2）2,Z?

2i?

6S2证明：

记DX?

，易见EY1?

EY2?

EX，DY1?

26,DY2?

23于

2Y1和Y2相互独立，可见E（Y1?

Y2）?

0，D（Y1?

Y2）?

从而

正态总体样本方差的性质，知　　　?

26?

23?

Y1?

Y2?

2~N（0,1）

22S2?

（2）

2于Y1与Y2独立、Y1与S以及Y2与S独立，可见Y1?

Y2与S独立。

于是，服从t分布的随机变量的结构，知　　　Z?

5．

设总体X服从正态分布N（0,2）,而X1,X2,?

X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量

2X12X10　　　Y?

222（X11X15）2（Y1?

Y2）?

SU?

22~t

（2）。

2服从分布，参数为。

同学习指导文件综例　　[答案填：

F（10,5）]解：

Xi12~N（0,1）,?

（X12?

X10）~?

2（10）,24122（X11?

X15）~?

2（5）4且显然此二者相互独立，则：

12（X12X10）422X1X1010?

~F（10,5）　　Y?

2212（X11X15）22（X11?

X15）456．

设总体X服从正态分布N（?

2）（?

0），从中抽取简单随机样本X1,?

X2n，

n12n，其样本均值为X?

Xi，求统计量Y?

（Xi?

Xn?

2X）2?

2ni?

1i?

1的数学期望E（Y）。

解：

E（Xi）?

D（Xi）?

2,E（Xi2）?

E（X）?

D（X）?

22n,E（X）?

22n?

（Xi?

Xn?

2X）2i?

122?

（Xi2?

Xn?

4X?

2XiXn?

4XiX?

4Xn?

iX）i?

4nX?

XiXn?

4X?

Xi2i22nn2n

12ni?

1ni?

Xi2?

4nX2?

XiXn?

ii?

1i?

1E（Y）?

E（X）?

4nE（X）?

E（Xi）E（Xn?

i）2i2i?

1i?

12nn?

2n（?

2）?

4n（魏宗舒

2n?

2）?

2n?

2（n?

1）?

21.设是来自服从参数为的泊松分布

的联合分布律。

2.解

的样本，试写出样本

2.设是来自上的均匀分布的样本，未知写出样本的联合密度函数；

指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？

为什么？

设样本的一组观察是：

1,,,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。

2.解

　0　　其他和

是，和

不是。

因为和

中不含总体中的唯一未知参数，而

和中含有未知参数。

样本均值样本方差

实际应为除以n-1

样本标准差

3.查表求3.解

。

4.设

，

，，

。

，

。

，

，求常数，使。

即为

。

4.解t分布关于纵轴对称，所以

附表可查得，所以。

5.设

5.证明：

；。

是来自正态总体

的样本，试证：

独立同分布于，分布的定义，，即

【解】?

Xi?

152i~?

（5）,?

Xi2~X2（n?

5）

22i?

1n2且?

12与?

2相互独立.

所以

X12/5Y?

2~F（5,n?

5）

X2/n?

57.求总体X~N的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于

的概率.【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则X~N（20,310）,

Y~N（20,

3），且X与Y相互独立.15则X?

Y~N?

0,?

33N（0,）,?

1015?

那么Z?

所以

Y~N（0,1）,?

P（|X?

Y|?

）?

|Z|2[1?

（）]

2（1?

）?

X1?

X2X108.设总体X~N,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=2222X11?

X12?

X15222?

服从　　分布,参数为　　.【解】

Xi?

~N（0,1）,i=1,2,…,15.

102215?

Xi?

2222那么?

1~?

（10）,?

2~?

（5）

1i?

11且?

1与?

2相互独立,所以

2X12X10X12/10Y?

2~F（10,5）222（X11X15）X2/522所以Y~F分布，参数为.

9.设总体X~N,总体Y~N（μ2,σ2）,X1,X2,…,Xn1和Y1，Y2，…，Xn2分别来自总体X和

Y的简单随机样本，则

n2?

n122?

（X?

X）?

（Y?

Y）?

1j?

=　　.En1?

n2?

21n11n222【解】令S?

（Yi?

Y）,　　?

（Xi?

X）,S2?

n1?

1i?

1j?

1221则

（Xi?

1n1i2?

X）?

（n1?

1）S,?

（yj?

y）2?

（n2?

1）S2,

221j?

1n2又?

那么

21（n1?

1）S12?

2~?

（n1?

1）,?

2222（n2?

1）S2?

2~?

2（n2?

1）,

n2?

n122?

（X?

X）?

（Y?

Y）?

1i?

1j?

12?

E（?

12?

2）

n1?

n2?

2n1?

n2?

2n1?

n2?

22[E（?

12）?

E（?

2）]?

n1?

n2?

2[（n1?

1）?

（n2?

1）]?

212n10.设总体X~N，X1，X2，…，X2n是总体X的一个样本，X?

Xi，?

2ni?

1令Y=

（Xi?

1ni?

Xn?

2X）2，求EY.

【解】令Zi=Xi+Xn+i,i=1,2,…,n.则

Zi~N（2μ,2σ2）（1≤i≤n）,且Z1,Z2,…,Zn相互独立.

nZi22令　　Z?

（Zi?

Z）/n?

1ni?

1nXi1n1则　　　XZ?

Z,?

i2n2n2i?

1i?

1故　　　Z?

2X那么

2nY?

（Xi?

Xn?

2X）?

（Zi?

Z）2?

（n?

1）S2,

2i?

1i?

1nn所以

E（Y）?

（n?

1）ES2?

2（n?

1）?

11.设总体X的概率密度为f（x）=e本，其样本方差为S2，求E（S2）.解：

题意，得

12?

x（-∞?

1xe,x?

0,?

2f（x）?

x,x?

0,?

2E（S2）?

D（X）?

E（X2）?

E2（X）?

1x于是　　　E（X）?

xf（x）dx?

xedx?

21?

x22E（X）?

xf（x）dx?

xedx?

x2e?

xdx?

2,?

02?

所以

E（S2）?

第7章参数估计

7．

设容量为n的简单随机样本取自总体N（,36）,且样本均值在区间（,）内的概率不小于,问样本容量n至少应取多大？

1n62解：

设X1,X2,?

Xn是取自总体的简单随机样本，则：

Xi~N（,）

ni?

1n又于：

nX?

P{?

P336n　　

231则：

n，查表得n?

（?

3）2?

即知样本容量n至少应取35.

8．

设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于的置信区间为。

[答案：

填（,）]

110011100据题意可知，X~N（?

1），X?

xi?

5，?

Xi~N（?

100）且x?

100?

100i?

1i?

11，即?

，查表得?

，可知

x11P?

xx　　P?

10?

110?

因而总体X的期望的置信度近似等于的置信区间为（,）。

9．

来自正态总体X~N（?

），容量为9的简单随机样本，若得到样本均值X?

5，则未知参数?

的置信度为的置信区间为。

[答案：

填（,）]

据题意可知

5P1?

，又

910．

5，得55?

，即?

（,）。

假设,,,是总体X的简单随机样本值，已知Y?

lnX服从正态分布

N（?

1）。

求X的数学期望EX；求?

的置信度为的置信区间；

利用上述结果求b的置信度为的置信区间。

解：

Y的概率密度为：

　　f（y）?

e2?

（y?

）22,y，于是，

EX?

EeY?

12?

1212eet?

（y?

）22dy

ee1?

t22dt

ee2?

1（t?

1）22dt?

12当置信度1时，?

。

标准正态分布的水平为?

的分位数为?

。

故Y~N（?

14），可得

Y11P?

YY　　P?

2212?

其中

于是，有

从而（?

）就是?

的置信度为的置信区间。

函数e的严格递增性，可见

x11（ln2）?

ln1?

0441　　?

PPe?

e2?

因此b的置信度为的置信区间为（e11．

设总体X的概率密度为

）。

（?

1）x?

　　f（x）00?

1其他

其中未知参数1，X1,X2,?

Xn是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求?

的估计量。

解：

　E（X）?

10x（?

1）x?

dx1?

2令X1?

2X?

1，此即?

的矩估计量。

，解得：

21?

百分数，样本中有543人拥有私人汽车，求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。

21.解故

，

所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为

。

设总体X服从二项分布b，n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.

【解】E（X）?

np,E（X）?

A1?

X,因此np=X

所以p的矩估计量　　p2.设总体X的密度函数

Xn?

（?

x）,0?

f=?

其他.?

0,X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】E（X）?

02?

x2x3x（?

x）dx?

20?

23?

3令E（X）=A1=X,因此

=X3^所以θ的矩估计量为　　?

3X.

3.设总体X的密度函数为f，X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.

x,x?

0,f=?

0.?

0,?

1,0?

1,f=?

其他.?

0,【解】似然函数L?

f（x,?

）enii?

1i?

1nn?

xi?

eennxii?

lnL?

nlnxi

1dgdlnLnnxi?

0知d?

xi?

1n?

所以θ的极大似然估计量为?

（2）似然函数Ln1.X?

ii?

1n?

1,0?

xi?

1,i=1,2,…,n.

nlnL?

nln?

（?

1）ln?

1ndlnLn?

ln?

xi?

0知

1nln?

xii?

1n?

lnxi?

i所以θ的极大似然估计量为　　?

lnxi?

i3.序号收益率从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：

12345678910--------求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.3n?

9【解】　　x?

4s?

EXxi2?

）]2?

A,即有?

[E（X　　E（X）?

D（X）?

[E（X）],E（X）?

A2?

知?

2ni?

1222n101?

）]A2?

[E（X?

Xi2?

10（X）2]10i?

12?

于是　　　?

9s10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-和

随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：

,,,,,,，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.

【解】

（1）E（X）?

2,令E（X）?

X，则

2X且E（?

）?

2E（X）?

2x?

且2X是一个无偏估计.所以θ的矩估计值为?

（2）似然函数L?

f（xi,?

）,i=1,2,…,8.

1显然L=L（θ）↓（θ>0），那么?

max{xi}时，L=L（θ）最大,

888所以θ的极大似然估计值?

因为E（?

）=E（max{xi}）≠θ,所以?

=max{xi}不是θ的无偏计.

81?

=k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E=μ，D=σ，?

（Xi?

1n?

1i?

Xi）2,

为σ2的无偏估计.问k为何值时?

【解】令　　Yi?

Xi?

Xi,i=1,2,…,n-1,

则　　E（Yi）?

E（Xi?

1）?

E（Xi）0,D（Yi）?

E[k（于是　　E?

222222Y）]?

k（n?

1）EY?

（n?

1）k,?

i1i?

1n?

）?

即2?

（n?

1）k?

时,那么当E（?

有　　　k?

221.

2（n?

1）7.设X1，X2是从正态总体N中抽取的样本

211311?

X1?

X2;?

X1?

X2;X1?

X2;?

334422?

1,?

2,?

3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.试证?

1）?

【证明】E（?

2）?

E（?

2121?

2X1?

X2?

E（X1）?

E（X2）,

3333?

313E（X1）?

E（X2）?

44?

3）?

E（?

11E（X1）?

E（X2）?

22?

1,?

2,?

3均是μ的无偏估计量.所以?

45?

1）D（X1）D（X2）?

（2）D（?

99?

2）D（X1）D（X2）?

　　D（?

2222?

3）D（X1）?

D（X2）?

　　D（?

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N，过去的经验知道σ2=,今随机抽取6枚，

测得其长度如下：

　试求μ的置信概率为的置信区间.【解】n=6,σ2=,α==,

22x?

ua?

2μ的置信度为的置信区间为

/2（?

）?

（,）.

9.总体X~N（μ,σ2），σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，

且置信区间的长度不大于L？

【解】σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为?

/2,n?

于是置信区间长度为2?

/2,n4?

2（u?

/2）22?

/2≤L,得n≥那么2Ln10.设某种砖头的抗压强度X~N，今随机抽取20块砖头，测得数据如下：

64694992559741848899846610098727487844881求μ的置信概率为的置信区间.求σ2的置信概率为的置信区间.【解】x?

20,

/2（n?

1）?

（519?

）,2?

/2（n?

1）?

（19?

）?

520,.975?

（19）

（1）μ的置信度为的置信区间

t（n?

1）/2（,）

n20

（2）?

的置信度为的置信区间

（n?

1）s2（n?

1）s2?

191922?

2（,）2?

（n?

1）?

（n?

1）?

/2?

（?

1）x?

1;设总体X~f（x）=?

其中1

其他.?

0,X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.

【解】

（1）

E（X）?

又

xf（x）dx?

（?

1）x?

1dx?

01?

1,?

2X?

E（X）?

故

1,?

22X?

2X?

1.所以θ的矩估计量　　?

（2）似然函数

（?

1）?

xi0?

xi?

1（i?

1,2,?

n）.L?

L（?

）?

f（xi）?

1i?

0其他?

取对数

lnL?

nln（?

1）lnxii?

1n（0?

xi?

1;1?

n）,

dlnLnlnxi?

0,d1i?

11?

所以θ的极大似然估计量为?

nnn.

lnXi?

6x?

（?

x）,0?

;12.设总体X~f（x）=?

其他.?

X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本求θ的矩估计量；

）.求D（?

【解】

（1）E（X）xf（x）dx?

6x20?

3（?

x）dx?

令　　　EX?

2X.所以θ的矩估计量　　?

）?

D（2X）?

4D（X）?

（2）D（?

又

4DX,，n?

E（X）?

于是

26x3（?

x）0?

36?

23?

2dx?

20103?

2D（X）?

E（X）?

（EX）,,

1042022所以

）?

.D（?

5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为

2e?

2（x?

）,x?

;f（x,θ）=?

0,x?

其中θ（θ>0）为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估

计值.

【解】似然函数

2（xi?

）?

2n?

1L?

L（?

）0?

ni?

1nxi?

0;i?

1,2,?

n;其他.

lnL?

nln2?

（xi?

）,xi?

;i?

1,2,?

n,dlnL?

2n?

0知lnL（?

）?

dmin{x}时lnL（?

）?

maxlnL（?

）那么当?

ni?

min{x}所以θ的极大似然估计量?

i1?

n14.设总体X的概率分布为XP0　　1　　2　　3θ2　　2θ（1-θ）　　θ2　　1-2θ其中θ（01）是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩2估计值和极大似然估计值.【解】

（1）E（X）?

令E（X）?

x得?

48xi又　　　　x2i?

18?

所以θ的矩估计值?

83?

x1?

.446i似然函数L?

P（x,?

）?

1（1?

2）（1?

）4.

lnL?

ln4?

6ln?

2ln（1?

）?

4ln（1?

）,dlnL6286?

28?

24?

20,d?

（1?

）（1?

）解6?

28?

24?

得　　　　?

1,2?

27?

13.2于　　　

131?

122?

13.所以θ的极大似然估计值为　　?

215.设总体X的分布函数为

F=?

0,x?

其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本

当α=1时，求β的矩估计量；

当α=1时，求β的极大似然估计量；当β=2时，求α的极大似然估计量.【解】

1;?

当α=1时，f（x,?

）?

Fx1（x,1,?

）?

1.?

0,?

2,x?

当β=2时,f（x,?

）?

Fx1（x,?

2）?

0,x?

（1）E（X）x?

1dx?

x111

令E（X）?

X,于是?

X,X?

1X.X?

所以?

的矩估计量?

（2）似然函数

L（?

）?

1n?

（?

1）xi?

xi?

1,（i?

1,2,?

n）;f（xi,?

）i?

0,其他.?

nlnL?

nln?

（?

1）?

lnxi,i?

dlnLnnlnxi?

0,d?

所以?

的极大似然估计量?

lnxi?

1n（3）似然函数

nL?

2n?

2n,xi?

（i?

1,2,?

n）;?

n3f（xi,?

）xi?

0,其他.?

显然L?

L（?

）?

min{xi}时,L?

L（?

）

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