23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23.docx
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23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23
2.3离散型随机变量的均值与方差教案二（新人教A版选修2-3）
．3离散型随机变量的均值与方差
．3．1离散型随机变量的均值
教学目标：
知识与技能：
了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：
理解公式“E=aEξ+b”，以及“若ξB，则Eξ=np”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：
承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人
价值。
教学重点：
离散型随机变量的均值或期望的概念
教学难点：
根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
授课类型：
新授
课时安排：
2课时
教具：
多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
．连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性
分布列:
设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi的概率为，则称表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
分布列的两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．
离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是
．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ01……n
P
…
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B，其中n，p为参数，并记＝b．
离散型随机变量的几何分布：
在独立重复试验中，某事件次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第次独立重复试验时事件次发生.如果把次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P=p，P=q，那么
．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ123……
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g=，其中＝0,1,2,…，．
二、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：
已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n次射击中，预计大约有
次得4环；
次得5环；
…………
次得10环．
故在n次射击的总环数大约为
从而，预计n次射击的平均环数约为
．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
…．
均值或数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
则称……为ξ的均值或数学期望，简称期望．
均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
平均数、均值:
一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
均值或期望的一个性质:
若，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξx1x2…xn…
η
…
…
Pp1p2…pn…
于是……
＝……）……）
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
若ξB，则Eξ=np
证明如下：
∵ ，
∴ 0×＋1×＋2×＋…＋×＋…＋n×．
又∵，
∴＋＋…＋＋…＋．
故
若ξ～B，则np．
三、讲解范例：
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：
因为，
所以
例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：
设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~B,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：
运走设备，搬运费为3800元．
方案2：
建保护围墙，建设费为XX元．但围墙只能防小洪水．
方案3：
不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：
用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即
X1=3800.
采用第2种方案，遇到大洪水时，损失XX+60000=6XX元；没有大洪水时，损失XX元，即
同样，采用第3种方案，有
于是，
EX1＝3800,
EX2＝6XX×P+XX00×P
=6XX×0.01+XX×=2600,
EX3=60000×P+10000×P+0×P
=60000×0.01+10000×0.25=3100.
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：
假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．
例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：
∵，
=3.5
例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望
解：
抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次取出次品的概率：
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：
由此可得的概率分布如下：
345678910
0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316
根据以上的概率分布，可得的期望
例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
解：
抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ123456
所以
×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4时租车费为10元，若行驶路程超出4，则按每超出l加收2元计费．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η
求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
若随机变量ξ的分布列为
ξ15161718
P0.10.50.30.1
求所收租车费η的数学期望．
已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解：
依题意得 η=2十10，即 η=2ξ+2；
∵η=2ξ+2
∴2Eξ+2=34.8
故所收租车费η的数学期望为34.8元．
由38=2ξ+2，得ξ=18，5=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
四、课堂练习：
口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则
A．4；
B．5；
c．4.5；
D．4.75
答案：
c
篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望；
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
解：
⑴因为，，所以
×＋0×
⑵η的概率分布为
η012
P所以0×＋1×＋2×＝1.4．
⑶ξ的概率分布为
ξ０１23
P
所以0×＋1×＋2×＝2.1.
．设有升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．
分析：
任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=”发生，即n个大肠杆菌中恰有个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A恰好发生次的概率计算方法可求出P,进而可求Eξ.
解：
记事件A：
“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P=．
∴ P=Pn=c）n－．
∴ ξ～B，故 Eξ=n×=
五、小结：
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np
六、课后作业：
P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,3
一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是
解：
令取取黄球个数则的要布列为
012
p于是E=0×+1×+2×=0.8
故知红球个数的数学期望为1.2
袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数
①求的概率分布列
②求的数学期望
解：
①依题意的取值为0、1、2、3、4
=0时，取2黑p=
=1时，取1黑1白p=
=2时，取2白或1红1黑p=+
=3时，取1白1红，概率p=
=4时，取2红，概率p=
01234
p
∴分布列为
期望E=0×+1×+2×+3×+4×=
学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望
解：
设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障
表示第i台仪器不出现故障，则：
p=p+p+p
=p1+p2+p3
=p1+p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3
p=p+p+p
=p1p2+p1p3+p2p3
=p1p2+p1p3+p2p3－3p1p2p3
p=p=p1p2p3
∴=1×p+2×p+3×p=p1+p2+p3
注：
要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望
一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是1.2
解：
从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为
012
两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率
A¬1¬对B1
A¬2¬对B2
A¬3¬对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，
求，的概率分布；求，
解：
，的可能取值分别为3，2，1，0
根据题意知，所以
；
因为,所以
七、板书设计
八、教学反思：
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
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