完整版含参数导数问题分类讨论学生.docx
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完整版含参数导数问题分类讨论学生
含参数导数的解题策略
导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其
中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常
作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技
能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。
而含参数的导数问题是近年来高考的难点
和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳.
一、分离参数，转化为最值策略
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：
若afx恒成立，只须求出
fXmax，则afXmax；若afx恒成立，只须求出fX皿山，则afXmin，转
化为函数求最值.
例1、已知函数f（x）xlnx.（I）求f（x）的最小值；
（n）若对所有x1都有f（x）ax1,求实数a的取值范围.
二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略
求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根
是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论.
例2.已知a是实数，函数f（x）x（xa）.
（I）若f
（1）3,求a的值及曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（n）求f（x）在区间［0,2］上的最大值.
三、导函数为0是否存在，分类讨论策略
求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令厶=0,求分点，从而引起讨论.
例3、已知函数f（x）x2xalnx,（aR）讨论f（x）在定义域上的单调性.
四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略
求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间.所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论.
2
例4、已知m0,讨论函数f（x）mx一3（m!
）x3m6的单调性.
e
练习
求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。
一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的
实根是否落在定义域内，从而引起讨论。
二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根
也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
试讨论函数F（x）的单调性。
2.（08浙江理）已知a是实数，函数
（I）求函数fx的单调区间；
（n）设ga为fx在区间0,2上的最小值。
（i）写出ga的表达式；（ii）求a的取值范围，使得6ga
4（07高考山东理改编）设函数
2
xxblnx1，其中b0,求函数fx的极值
点。
含参数导数的解题策略
例1、解:
（I）略.
（n）T对所有x1都有f（x）ax1,
1
•对所有x1都有xlnxax1，即aInx一
x
1
g（x）min.
记g（x）lnx,（x0）,只需a
x
1
1.
1
令g'（x）20,解得x
xx
•a1.即a的取值范围是aa1.
例2.解：
（I）略.
4a,
a2.
3
x2
m
在x1处连续，所以f（x）在区间（，）上是减函数；
3
3）当m3时，x1x2,在区间（，1）,（,）上g（x）0,即f（x）0,
m
3
所以f（x）在区间（，1）,（-,）上是减函数；
m
33
在区间（1,）上，g（x）0，即f（x）0，所以f（x）在区间（1,）上是增函
mm
数.
1.
解：
F（x）
f（x）
考虑导函数
F'（x）
（一）若x
练习
1
kx,x1,
kx1x,F'（x）
x1kx,x1
0是否有实根，从而需要对参数
1,则F'（x）
2
1k1x亠十t,
2。
由于当k
1x
2
1k1x
—,x1
1x
斗口,x1
2、、.x1
k的取值进行讨论。
0时，F'（x）0无实根，而当k0
因此，
对参数
k分k
0和k
0两种情况讨论。
（1）
当k
0时，
F'（x）
0在（，1）上恒成立，所以函数F（x）在（，1）上为增函
数；
时，F'（x）
0有实根,
2
（2）
0时,
F'（x）
11
kx1——x1——
VkVk
2。
1x
增函数。
（1）
数;
由F'（x）0,得x1
由F'（x）0,得1
因此，当k
0时,
0,所以
x-11x2。
0时,
1，则
F'（x）
0时,
F'（x）
1
.k
1;由F'（x）0，得x1
函数F（x）在（
2,x1
0有实根，因此，对参数
1¥）上为减函数,
■.k
在（1
I，1）上为
由于当k0时，F'（x）0无实根，而
k分k0和k0两种情况讨论。
F'（x）0在1,上恒成立，所以函数F（x）在1,
上为减函
（2）当k0时，F'（x）
厶；由F'（x）0,得1x1
4k2
因此，当k0时，函数
F（x）在1,1
1
p上为减函数，在1
4k2
1
4k2，
为增函数。
综上所述:
（1）
当k
0时，函数F（x）在（
1
1）上为减函数,
、k
在（1
1
1）上为增函数,
在1,
上为减函数。
（2）
当k
0时，函数F（x）在（
1）上为增函数，在
1,
上为减函数。
（3）
当k
0时，函数F（x）在（
1）上为增函数，在
1,1-
1
打上为减函数，在
4k2
1
1p,上为增函数。
4k2
2.
解：
（I
）函数
的
定义
域为
0,,
f'x
-xa
-■x—=
2Jx
3xa
3x旦
3
0,
由f（x）
0得x
a
2-x
2「x
。
3
a
考虑是否落在导函数
3
f'（x）的定义域0,
内，需对参数
a的取值分
a0及a0
两种情况进行讨论。
（1）
当a
0时，贝Uf（x）
0在0,
上恒成立，所以
f
x的单调递增区间为
0,
。
（2）
当a
0时,
由
f'（x）
0,得x
a,'
—;由f（x）0,
3
得
0
ax
3
因此，
当a
0时，f
x的单调递减区间为0,a,
3
f
x
的单调递增区间为
O
（n）（i）由第（i）问的结论可知:
所以gaf00。
（ii）令6ga2。
1若a0,无解；
2a/a
2若0a6，由6.'2解得3a6；
3牛3
3若a6，由622a2解得6a23、、2。
综上所述，a的取值范围为3a2^.2。
3、解：
（i）当a
1时，曲线yfx在点
2,f
2处的切线方程为
6x25y320。
n）由于a0，所以f'
22
2ax12x2axa
1
c1
2axax-
a
x212
x1
242。
x1
1
由fX0，得为，X2a。
这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大
a
小。
因此，需对参数a的取值分a0和a0两种情况进行讨论。
（1）
当a0时，贝U
1
x2。
易得fX在区间，一
a
a,
内为减函数，在
区间
11
a为增函数。
故函数fx在x1处取得极小值
f丄
a2;函数fx
a
a
a
在x2
a处取得极大值fa
1。
（2）
当a0时，则x1
X2。
易得fx在区间（，a）,
（丄，
）内为增函数，在区
a
间（a,
1
）为减函数。
故函数
1
fX在X1处取得极小值f
1
a2;函数fx在
a
a
a
x2a
处取得极大值fa
1。
此时，fx与fX随x的变化情况如下表:
x
1,X2
x2
X2,
f'x
0
fx
递减
极小值
递增
由此表可知：
当b0时，fx有唯一极小值点x2
x1,
此时，f'x与fX随x的变化情况如下表:
X
1,Xi
Xi
Xi,X2
X2
X2,
f'X
0
0
fX
递增
极大值
递减
极小值
递增
112b
由此表可知：
当ob-时，fx有一个极大值点xi—厂和一个极小值点
1Vi2bx22
综上所述：
（1）当b0时,
112b
1
（3）当b时，fx无极值点。
2
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