完整版含参数导数问题分类讨论学生.docx

1、完整版含参数导数问题分类讨论学生含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、 最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、 分类讨论、转化与化归、 数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、 基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳.一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x恒成立，只须求出f X max，则a f X max ；若a f x恒

2、成立，只须求出f X皿山，则a f X min，转化为函数求最值.例1、已知函数f(x) xlnx. (I)求f(x)的最小值；(n)若对所有x 1都有f (x) ax 1,求实数a的取值范围.二、 导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论.例2.已知a是实数，函数f(x) x(x a).(I)若f (1) 3,求a的值及曲线y f(x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n)求f(x)在区间0 , 2上的最大值.三、 导

3、函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，涉及到二次方程 问题时，与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令厶=0,求分点，从而引起讨论.例3、已知函数f (x) x2 x alnx , (a R) 讨论f (x)在定义域上的单调性.四、 导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在 定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 .所以必须分类，通过令几个根相等 求分点，从而引起讨论.2例4、已知m 0 ,讨论函数f (x) mx

4、一3(m !)x 3m 6的单调性.e练习求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式) ，从而引起讨论。一、 求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、 求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。试讨论函数F(x)的单调性。2. (08浙江理)已知a是实数，函数(I)求函数f x的单调区间；(n)设g a为f x在区间0,2上的最小值。 (i)写出g a的表达式；(ii)求a的取值范围，使得 6 g a4 ( 07高考山

5、东理改编)设函数2x x bln x 1，其中b 0 ,求函数f x的极值点。含参数导数的解题策略例1、解:(I)略.(n)T对所有x 1都有f(x) ax 1 ,1对所有x 1都有xlnx ax 1，即a In x 一x1g(x)min.记 g(x) ln x ,(x 0),只需 ax11.1令g(x) 2 0,解得xx x a 1.即a的取值范围是 a a 1.例2.解：(I )略.4a,a 2.3,x2m在x 1处连续，所以f(x)在区间(，)上是减函数；33)当 m 3 时，x1 x2 ,在区间(，1),( ,)上 g(x) 0 ,即 f (x) 0 ,m3所以f(x)在区间(，1),

6、(-,)上是减函数；m33在区间(1, )上，g(x) 0，即f (x) 0，所以f (x)在区间(1, )上是增函m m数.1.解：F(x)f(x)考虑导函数F(x)(一)若 x练习1kx,x 1,kx 1 x , F (x),x 1 kx, x 10是否有实根，从而需要对参数1,则 F (x)21 k 1 x 亠十t ,2 。由于当k1 x21 k 1 x,x 11 x斗口,x 12、. x 1k的取值进行讨论。0时，F(x) 0无实根，而当k 0因此，对参数k分k0和k0两种情况讨论。(1)当k0时，F(x)0在(，1)上恒成立，所以函数F(x)在(，1)上为增函数；时，F(x)0有实根

7、,2(2)0时,F(x)1 1k x 1 x 1 Vk Vk2 。1 x增函数。(1)数;由 F(x) 0,得 x1由 F(x) 0,得 1因此，当k0时,0,所以x-1 1 x2 。0时,1，则F(x)0时,F(x)1.k1 ;由 F (x) 0，得 x 1函数F (x)在(2, x 10有实根，因此，对参数,1 )上为减函数,. k在(1I，1)上为由于当k 0时，F (x) 0无实根，而k分k 0和k 0两种情况讨论。F (x) 0在1, 上恒成立，所以函数 F(x)在1,上为减函(2)当 k 0 时，F(x)厶；由 F (x) 0 ,得 1 x 14k2因此，当k 0时，函数F (x)

8、在 1,11p上为减函数，在 14k214k2，为增函数。综上所述:(1)当k0时，函数F(x)在(1,1 )上为减函数,、k在(11,1)上为增函数,在1,上为减函数。(2)当k0时，函数F(x)在(,1)上为增函数，在1,上为减函数。(3)当k0时，函数F(x)在(,1)上为增函数，在1,1 -1打上为减函数，在4k211 p, 上为增函数。4k22 .解 ：(I) 函数的定义域 为0, ,f x-x a- x =2 Jx3x a3 x旦30 ,由 f (x)0得xa2 - x2x。3a考虑是否落在导函数3f(x)的定义域0,内，需对参数a的取值分a 0 及 a 0两种情况进行讨论。(1)

9、当a0 时，贝U f (x)0在0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。(2)当a0时,由f(x)0,得xa ,;由 f (x) 0 ,3得0a x3因此，当a0时，fx的单调递减区间为 0,a ,3fx的单调递增区间为O（n） （ i）由第（i）问的结论可知:所以g a f 0 0。（ii ）令 6 g a 2。1若a 0,无解；2a / a2若0 a 6，由6 . 2解得3 a 6 ；3牛33若a 6，由6 2 2 a 2 解得 6 a 2 3、2。综上所述，a的取值范围为3 a 2 .2。3、解：（i ）当 a1时，曲线y f x在点2,f2 处的切线方程为6x 25 y 32 0。

10、n）由于a 0，所以f2 22a x 1 2x 2ax a1c 12a x a x -ax 2 1 2x 12 4 2 。x 11由f X 0，得为 ，X2 a。这两个实根都在定义域 R内，但不知它们之间的大a小。因此，需对参数 a的取值分a 0和a 0两种情况进行讨论。(1)当a 0时，贝U1x2。易得f X在区间 ，一a,a,内为减函数，在区间1 1,a为增函数。故函数f x在x1 处取得极小值f丄a2;函数f xaaa在x2a处取得极大值f a1。(2)当a 0时，则x1X2。易得f x在区间（，a）,（丄，）内为增函数，在区a间(a,1）为减函数。故函数1f X在X1 处取得极小值f1a2;函数f x在aaax2 a处取得极大值f a1。此时，f x与f X随x的变化情况如下表:x1,X2x2X2,f x0f x递减极小值递增由此表可知：当b 0时，f x有唯一极小值点x2x 1,此时，f x与f X随x的变化情况如下表:X1,XiXiXi,X2X2X2,f X00f X递增极大值递减极小值递增1 1 2b由此表可知：当o b -时，fx有一个极大值点xi 厂和一个极小值点1 Vi 2b x2 2综上所述：(1) 当b 0时,1 1 2b1(3) 当b 时，f x无极值点。2