MATLAB教程.docx
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MATLAB教程
2可变精度算术运算
因为数值的精度受每次操作所保留的数位的限制，所以数值的任何运算都会引入舍入误差，重复的多次数值运算会造成累积误差。
而对符号表达式的运算是非常准确的，因为它们不需要进行数值运算，所以无舍入误差。
对符号运算结果用函数eval或numeric，仅在结果转换时会引入舍入误差。
MATLAB对数的处理完全依靠计算机的浮点算术运算，显然在内存中进行运算，又快又好，只是浮点运算受到所支持字长的限制，每次操作会引入舍入误差，所以不能产生精确的结果。
MATLAB中各个算术运算的相对精度大约是16位。
相反，Maple的符号处理能力可以实现任何数位的运算。
当缺省的数位增加时，每次计算就需要附加时间和计算机内存。
Maple缺省为16位的精度。
函数digits返回全局Digits参数的当前值。
Maple缺省准确度可以由digits（n）来改变，其中n是所期望的准确度数位。
用这种方法增加准确度的副作用是，每个Maple函数随后进行的计算都以新的准确度为准，增加了计算时间。
结果的显示不会改变，只有所用的Maple函数的缺省准确度受到影响。
另外有一个函数，它可以任何精度实行单个计算，而使全局的Digits参数不变。
即：
可变精度的算术或函数vpa，它以缺省的精度或任何指定的精度对单个符号表达式进行计算，并以同样的精度来显示结果。
>>formatlong%let'sseealltheusualdigits
>>pi%howabout
tonumericaccuracy
ans=
3.14159265358979
>>digits%displaythedefault'Digits'value
Digits=16
>>vpa（'pi'）%howabout
to'Digits'value
ans=
3.141592653589793
>>digits（18）%changethedefaultto18digits
>>vpa（'pi'）%howabout
to'Digits'accuracy
ans=
3.14159265358979324
>>vpa（'pi'，20）%howabout
to20digits
ans=
3.1415926535897932385
>>vpa（'pi'，50）%howabout
to50digits
ans=
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
>>vpa（'2^（1/3）'，200）%thecuberootof2to200digits
ans=
1.2599210498948731647672106072782283505702514647015079800819751121552996765
139********39656243625509415431025603561566525939900240406137372284591103042
693552469606426166250009774745265654803068671854055
将函数vpa作用于符号矩阵，对它的每一个元素进行计算也同样达到所指定的位数。
>>A=sym（'[1/4，log（sqrt
（2））；exp
（1），3/7]'）
A=
[1/4，log（sqrt
（2））]
[exp
（1），3/7）]
>>vpa（A，20）%evaluateto20digits
ans=
[.2500000000000000000，.34657359027997265471]
[2.7182818284590452354，.42857142857142857143]
3线性代数和矩阵
在本节中，我们将介绍符号矩阵和MATLAB提供的工具，它用线性代数求解问题。
符号矩阵
符号矩阵和向量是数组，其元素为符号表达式，可用函数sym来产生。
>>A=sym（'[a，b，c；b，c，a；c，a，b]'）
A=
[a，b，c]
[b，c，a]
[c，a，b]
>>G=sym（'[cos（t），sin（t）；-sin（t），cos（t）]'）
G=
[cos（t），sin（t）]
[-sin（t），cos（t）]
函数sym也可以扩展成定义各元素的公式。
注意，只有在这种情况下，i，j分别表示行列的位置；且不影响i，j的缺省值（它代表
）。
下面的例子建立了3×3的矩阵，其元素依赖于行和列的位置。
>>S=sym（3，3，'（i+j）+（i-j+s）'）%createamatrixusingaformula
S=
[2/s，3/（-1+s），4/（-2+s）]
[1/（1+s），4/s，s/（-1+s）]
[4/（2+s），5/（1+s），6/s]
>>S=sym（3，3，'m'，'n'，'（m-n）/（m-n-t）'）%usemandninanotherformula
S=
[0，-1/（-1-t），-2/（-2-t）]
[1/（1-t），0，-1/（-1-t）]
[2/（2-t），1/（1-t），0]
函数sym也可以把数值矩阵转换成符号形式
>>M=[1.1，1.2，1.3；2.1，2.2，2.3；3.1，3.2，3.3]%anumericmatrix
M=
1.10001.20001.3000
2.10002.20002.3000
3.10003.20003.3000
>>S=sym（M）%converttosymbolicform
S=
[11/10，6/5，13/10]
[21/10，11/5，23/10]
[31/10，16/5，33/10]
如果数值矩阵的元素可以指定为小的整数之比，则函数sym将采用有理分式表示。
如果元素是无理数，则在符号形式中sym将用符号浮点数表示元素。
>>E=[exp
（1）sqrt
（2）]
E=
2.71831.4142
>>sym（E）
ans=
[3060513257434036*2^（-50），3184525836262886*2^（-51）]
用函数symsize可以得到符号矩阵的大小（行，列数）。
函数返回数值或向量，而不是符号表达式。
symsize的四种形式说明如下：
>>S=sym（'[a，b，c；d，e，f]'）%createasymbolicmatrix
S=
[a，b，c]
[d，e，f]
>>d=symsize（S）%returnthesizeofSasthe2-elementvectord
d=
23
>>[m，n]=symsize（S）%returnthenumberofrowsinm，andcolumninn
m=
2
n=
3
>>m=symsize（S，1）%returnthenumberofrows
m=
2
>>n=symsize（S，2）%returnthenumberofcolumns
n=
3
数值数组用N（m，n）形式来访问单个元素，但符号数组元素必须用函数如sym（S，m，n）来获取。
若能用相同的句法当然好，但MATLAB符号表达式的表示不方便。
在内部，符号数组表示成一个字符串数组；而S（m，n）返回单个字母。
所以，符号数组的各个元素，必须由符号函数，如sym，来指定,而不是直接指定。
>>G=sym（'[ab，cd；ef，gh]'）%createa2-by-2symbolicmatrix
G=
[ab，cd]
[ef，gh]
>>G（1，2）%thisisthesecondcharacterofthefirstrowofG
ans=
a
>>r=sym（G，1，2）%thisisthesecondexpressinoninthefirstrowofG
r=
cd
记住，在上例中的符号矩阵G，实际是以2×7字符数组存储在计算机中。
第一行为'[ab，cd]'，所以第二个元素是'a'。
最后，sym可以用于改变符号数组的一个元素。
>>sym（G，2，2，'pq'）%changethe（2，2）elementinGfrom'gh'to'pq'
ans=
[ab，cd]
[ef，pq]
代数运算
用函数symadd，symsub，symmul和symdiv，对符号矩阵可以执行许多通用的代数运算，用sympow可计算乘幂，用transpose计算符号矩阵的转置。
>>G=sym（'[cos（t），sin（t0；-sin（t0，cos（t）]'）%createasymbolicmatrix
G=
[cos（t），sin（t）]
[-sin（t），cos（t）]
>>symadd（G，'t'）%add't'toeachelement
ans=
[cos（t）+t，sin（t）+t]
[-sin（t）+t，cos（t）+t]
>>symmul（G，G）%multiplyGbyG；Synpow（G，2）doesthesamething
ans=
[cos（t）^2-sint（t）^2，2*cos（t）*sin（t）]
[-2*cos（t）*sin（t），cos（t）^2-sin（t）^2]
>>simple（G）%trytosimplify
ans=
[cos（2*t），sin（2*t）]
[-sin（2*t），cos（2*t）]
下面通过证明G的转置是它的逆来证明G是正交阵。
>>I=symmul（G，transpose（G））%multiplyGbyitstranspose
I=
[cos（t）^2+sin（t）^2，0]
[0，cos（t）^2+sin（t）^2]
>>simplify（I）%thereappearstobeatrigidentityhere
ans=
[1，0]
[0，1]
正如所期望的那样，这是单位阵。
线性代数运算
用函数inverse和determ，可计算符号矩阵的逆阵以及行列式。
>>H=sym（hilb（3））%thesymbolicformofthenumeric3-by-3Hilbertmatrix
H=
[1，1/2，1/3]
[1/2，1/3，1/4]
[1/3，1/4，1/5]
>>determ（H）%dindthedeterminantofH
ans=
1/2160
>>J=inverse（H）%findtheinverseofH
J=
[9，-36，30]
[-36，192，-180]
[30，-180，180]
>>determ（J）%findthedeterminantoftheinverse
ans=
2160
用函数linsolve求解齐次线性方程；这是等价于基本的MATLAB的逆斜杠\算子的符号，linsolve（A，B）对X方阵求解矩阵方程A*X=B。
回到以前的硬币问题：
黛安娜想去看电影，她从小猪存钱罐倒出硬币并清点，她发现：
10美分的硬币数加上5美分的硬币总数的一半等于25美分的硬币数。
1美分的硬币数比5美分、10美分以及25美分的硬币总数多10。
25美分和10美分的硬币总数等于1美分的硬币数加上1/4的5美分的硬币数
25美分的硬币数和1美分的硬币数比5美分的硬币数加上8倍的10美分的硬币数多1。
。
象上次所做的那样，列出线性方程组，令p，n，d和q分别为1美分，5美分，10美分，和25美分的硬币数
重新以p，n，d，q的顺序排列表达式
p/2+n/2+d-q=0p-n-d-q=-10-p-n/4+d+q=0
p-n-8d+q=1
接下来，列出方程系数的符号数组。
>>A=sym（'[1/2，1/2，1，-1；1，-1，-1，-1；-1，-1/4，1，1；1，-1，-8，1]'）
A=
[1/2，1/2，1，-1]
[1，-1，-1，-1]
[-1，-1/4，1，1]
[1，-1，-8，1]
>>B=sym（'[0；-10；0；-1]'）%CreatethesymbolicvectorB
B=
[0]
[-10]
[0]
[-1]
>>X=linsolve（A，B）%solvethesymbolicsystemA'X=Bforx
x=
[16]
[8]
[3]
[15]
结果是相同的，黛安娜有16枚1美分的硬币，8枚5美分的硬币，3枚10美分的硬币，15枚25美分的硬币。
其他特性
symop将其参量串接起来，并计算所得到的表达式。
>>f='cos（x）'%createanexpression
f=
cos（x）
>>symop（'atan（'，f，'+'，a，'）'，'^2'）
ans=
atan（cos（x）+a）^2
在用函数symop时，若将数组和标量混合应慎重。
例如：
>>M=sym（'[ab；cd]'）
M=
[a，b]
[c，d]
>>symop（M，'+'，'t'）
ans=
[a+t，b]
[c，d+t]
是把t加到M的对角线上。
函数charpoly求解矩阵的特征多项式。
>>G=sym（'[1，1/2；1/3，1/4]'）%createasymbolicmatrix
G=
[1，1/2]
[1/3，1/4]
>>charpoly（G）%findthecharacteristicpolynomialofG
ans=
x'2-5/4*x+1/12
用函数eigensys可以求得符号矩阵的特征根和特征向量
>>F=sym（'[1/2，1/4；1/4，1/2]'）%createasymbolicmatrix
F=
[1/2，1/4]
[1/4，1/2]
>>eigensys（F）%findtheeigenvaluesofF
ans=
[3/4]
[1/4]
>>[V，E]=eigensys（F）%findeigenvaluesEandeigenvectorsv
V=
[-1，1]
[1，1]
E=
[1/4]
[3/4]
矩阵的约当（Jordan）标准型是特征值的对角矩阵；转换矩阵的列是特征向量。
对于给定的矩阵A，jordan（A）求出非奇异的矩阵V，使得inv（V）*A*V成为约当标准型，函数jordan有两种形式
>>jordan（F）%findtheJordanformofF，above
ans=
[1/4，0]
[0，3/4]
>>[V，J]=jordan（F）%findtheJordanformandeigenvectors
V=
[1/2，1/2]
[-1/2，1/2]
J=
[1/4，0]
[0，3/4]
标准形和特征向V的列是某些F可能的特征向量。
因为F是非奇异的，F的零空间的基是空矩阵，而列空间的基是单位阵。
>>F=sym（'[1/2，1/4；1/4，1/2]'）%recreateF
F=
[1/2，1/4]
[1/4，1/2]
>>nullspace（F）%thenullspaceofFistheemptymatrix
ans=
[]
>>colspace（F）%findthecolumnspaceofF
ans=
[1，0]
[0，1]
用函数singvals可求解矩阵奇异值。
>>A=sym（magic（3））%Generatea3-by-3matrix
A=
[8，1，6]
[3，5，7]
[4，9，2]
>>singvals（A）%findthesingularexpressions
ans=
[15.00000000000000]
[6.928203230275511]
[3.464101615137752]
函数jacobian（w，v）可相对于v求解w的雅可比（Jacobia）值。
其结果的第（i，j）项是df（i）/dv（j）。
注意，当f是标量时，f的雅可比值是f的梯度。
>>jacobian（'u*exp（v）'，sym（'u，v'））
ans=
[exp（v，u*exp（v）]
3.10小结
下列各表（表22.2-表22.8）综合了符号数学工具箱的特性：
表22.2
符号表达式的运算
numeric
符号到数值的转换
pretty
显示悦目的符号输出
subs
替代子表达式
sym
建立符号矩阵或表达式
symadd
符号加法
symdiv
符号除法
symmul
符号乘法
symop
符号运算
sympow
符号表达式的幂运算
symrat
有理近似
symsub
符号减法
symvar
求符号变量
表22.3
符号表达式的简化
collect
合并同类项
expand
展开
factor
因式
simple
求解最简形式
simplify
简化
symsum
和级数
表22.4
符号多项式
charpoly
特征多项式
horner
嵌套多项式表示
numden
分子或分母的提取
poly2sym
多项式向量到符号的转换
sym2poly
符号到多项式向量的转换
表22.5
符号微积分
diff
微分
int
积分
jordan
约当标准形
taylor
泰勒级数展开
表22.6
符号可变精度算术
digits
设置可变精度
vpa
可变精度计算
表22.7
求解符号方程
compose
函数的复合
dsolve
微分方程的求解
finverse
函数逆
linsolve
齐次线性方程组的求解
solve
代数方程的求解
表22.8
符号线性代数
charploy
特征多项式
determ
矩阵行列式的值
eigensys
特征值和特征向量
inverse
矩阵逆
jordan
约当标准形
linsolve
齐次线性方程组的解
transpose
矩阵的转置
4MATLAB变量——标量，向量，矩阵
MATLAB以NM×的形式保存了大量的矩阵，其中M是行数，N是列数。
一个1×1矩阵是一个标量；1×N矩阵是一个行向量，，M×1矩阵是一个列向量。
矩阵的全部元素可以是实数，也可以是复数；如果用户没有重新定义，那么1−可以写作“i”或“j”。
方括号“[]”表示一个矩阵，空格把相邻列元素分开，分号把相邻行分开。
例如，考虑如下对变量x的赋值
实数量>>x=5
复数量>>x=5+10j（或者>>x=5+10i）
行向量>>x=[123]（或者x=[1,2,3]）
列向量>>x=[1;2;3]
3×3矩阵>>x=[123;456;789]
有几点需要说明的地方。
矩阵的复数元素不能打空格，比如“-1+2j”可以作为一个矩阵元素，而“-1+2j”就不行。
还有，“-1+2j”可以正确地解释，然而“-1+j2”就不行。
（MATLAB把“j2”解释为一个变量名。
你可以写成“-1+j*2”。
）
4.1复数运算
下面说明了一些重要的复数运算：
复数量>>x=3+4j
x的实部>>real（x）3⇒
x的虚部>>imag（x）4⇒
x的幅值>>abs（x）5⇒
x的相角>>angle（x）9273.0⇒
x的共扼>>conj（x）i43−⇒
4.2生成向量
向量可以用“：
”命令生成。
比如，以增量0.5生成一个从0到10的向量x，下列命令生成了一个1×21矩阵
>>x=[0:
0.5:
10];
其他生成向量的命令有“linspace”和“logspace”，前者通过指定第一个值、最后一个值和它们之间的值的个数来生成向量，后者的方法一样，但第一个值和最后一个值之间的项数以对数空间排列。
4.3访问向量元素
向量元素可以通过指定行和列来访问。
比如在矩阵]987;654;321[=A中，第一行第三列的元素可以这样访问本文档的修订版会放置在6.003的课程主页上
4
1
>>x=A（1,3），结果是3
整个第二行这样访问
>>y=A（2,:
），结果是[456]
其中“：
”的意思是“取该栏的所有项”。
由第1行、第2行和全部3列组成的A的一个子矩阵这样来生成
>>z=A（1:
2,1:
3），结果是[123;456]
5矩阵运算
MATLAB对矩阵的运算包括算术运算，关系运算和逻辑运算。
5.1算术矩阵运算
矩阵的基本算术运算（当然标量是矩阵的特殊情况）有：
+加法,-减法,*乘法,/右除,\左除,^取幂（幂）,转置
如果矩阵大小对于运算不合适，就会出现错误信息。
除法定义如下：
如果A可逆且矩阵大小合适，则的解是bxA=*bAx\=，bAx=*的解是Abx/=。
加法和减法涉及的是元素对元素的运算；而乘除法不是。
但是MATLAB提供了元素对元素的运算，要在运算符前面加“.”，如下：
.*乘法./右除.\左除.^取幂（幂）.’转置（不共扼）
矩阵乘法和元素对元素乘法的不同可以通过下面的例子看到：
>>A=[12;34]
A=
12
34
>>B=A*A
B=
710
1522
>>C=A.*A
C=
14
916
5.2关系运算
关系运算定义如下：
<小于,<=小于或等于,>大于,>=大于或等于==等于,~=不等于,
这些都是元素对元素的运算，它返回一个1和0
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