MATLAB教程.docx

1、MATLAB教程2可变精度算术运算因为数值的精度受每次操作所保留的数位的限制，所以数值的任何运算都会引入舍入误差，重复的多次数值运算会造成累积误差。而对符号表达式的运算是非常准确的，因为它们不需要进行数值运算，所以无舍入误差。对符号运算结果用函数eval或numeric，仅在结果转换时会引入舍入误差。MATLAB对数的处理完全依靠计算机的浮点算术运算，显然在内存中进行运算，又快又好，只是浮点运算受到所支持字长的限制，每次操作会引入舍入误差，所以不能产生精确的结果。MATLAB中各个算术运算的相对精度大约是16位。相反，Maple的符号处理能力可以实现任何数位的运算。当缺省的数位增加时，每次计算

2、就需要附加时间和计算机内存。Maple缺省为16位的精度。函数digits返回全局Digits参数的当前值。Maple缺省准确度可以由digits(n)来改变，其中n是所期望的准确度数位。用这种方法增加准确度的副作用是，每个Maple函数随后进行的计算都以新的准确度为准，增加了计算时间。结果的显示不会改变，只有所用的Maple函数的缺省准确度受到影响。另外有一个函数，它可以任何精度实行单个计算，而使全局的Digits参数不变。即：可变精度的算术或函数vpa，它以缺省的精度或任何指定的精度对单个符号表达式进行计算，并以同样的精度来显示结果。 format long % let s see all

3、 the usual digits pi % how about to numeric accuracyans= 3.14159265358979 digits % display the default Digits valueDigits=16 vpa( pi ) % how about to Digits valueans= 3.141592653589793 digits(18) % change the default to 18 digits vpa( pi ) % how about to Digits accuracyans= 3.14159265358979324 vpa(

4、pi ，20) % how about to 20 digitsans= 3.1415926535897932385 vpa( pi ，50) % how about to 50 digitsans= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 vpa( 2(1/3) ，200) % the cube root of 2 to 200 digitsans=1.2599210498948731647672106072782283505702514647015079800819751121552996765139*396562436255

5、09415431025603561566525939900240406137372284591103042693552469606426166250009774745265654803068671854055将函数vpa作用于符号矩阵，对它的每一个元素进行计算也同样达到所指定的位数。 A=sym( 1/4，log(sqrt(2)；exp(1)，3/7 )A= 1/4 ， log(sqrt(2) exp(1) ， 3/7) vpa(A，20) % evaluate to 20 digitsans= .2500000000000000000， .34657359027997265471 2.718

6、2818284590452354， .428571428571428571433线性代数和矩阵 在本节中，我们将介绍符号矩阵和MATLAB提供的工具，它用线性代数求解问题。符号矩阵符号矩阵和向量是数组，其元素为符号表达式，可用函数sym来产生。 A=sym( a， b， c； b， c， a； c， a， b )A= a， b， c b， c， a c， a， b G=sym( cos(t)， sin(t)；-sin(t)，cos(t) )G= cos(t)， sin(t) -sin(t)， cos(t) 函数sym也可以扩展成定义各元素的公式。注意，只有在这种情况下，i，j分别表示行列的位置

7、；且不影响i，j的缺省值(它代表)。下面的例子建立了33的矩阵，其元素依赖于行和列的位置。 S=sym(3，3， (i+j)+(i-j+s) ) % create a matrix using a formulaS= 2/s， 3/(-1+s)， 4/(-2+s) 1/(1+s)， 4/s， s/(-1+s) 4/(2+s)， 5/(1+s)， 6/s S=sym(3， 3， m ， n ， (m-n)/(m-n-t) ) % use m and n in another formulaS= 0， -1/(-1-t)， -2/(-2-t) 1/(1-t)， 0， -1/(-1-t) 2/(2-

8、t)， 1/(1-t)， 0函数sym也可以把数值矩阵转换成符号形式 M=1.1， 1.2， 1.3； 2.1， 2.2， 2.3； 3.1， 3.2， 3.3 % a numeric matrixM= 1.1000 1.2000 1.3000 2.1000 2.2000 2.3000 3.1000 3.2000 3.3000 S=sym(M) % convert to symbolic formS= 11/10， 6/5， 13/10 21/10， 11/5， 23/10 31/10， 16/5， 33/10如果数值矩阵的元素可以指定为小的整数之比，则函数sym将采用有理分式表示。如果元素是

9、无理数，则在符号形式中sym将用符号浮点数表示元素。 E=exp(1) sqrt(2)E= 2.7183 1.4142 sym(E)ans= 3060513257434036*2(-50)， 3184525836262886*2(-51)用函数symsize可以得到符号矩阵的大小(行，列数)。函数返回数值或向量，而不是符号表达式。symsize的四种形式说明如下： S=sym( a，b，c；d，e，f ) % create a symbolic matrixS= a，b，c d，e，f d=symsize(S) % return the size of S as the 2-element v

10、ector dd= 2 3 m，n=symsize(S) % return the number of rows in m， and column in nm= 2n= 3 m=symsize(S，1) % return the number of rowsm= 2 n=symsize(S，2) % return the number of columnsn= 3数值数组用N(m，n)形式来访问单个元素，但符号数组元素必须用函数如sym(S，m，n)来获取。若能用相同的句法当然好，但MATLAB符号表达式的表示不方便。在内部，符号数组表示成一个字符串数组；而S(m，n)返回单个字母。所以，符号

11、数组的各个元素，必须由符号函数，如sym，来指定,而不是直接指定。 G=sym( ab，cd；ef，gh ) % create a 2-by-2 symbolic matrixG= ab， cd ef ， gh G(1，2) % this is the second character of the first row of Gans= a r=sym(G，1，2) % this is the second expressinon in the first row of Gr= cd记住，在上例中的符号矩阵G，实际是以27字符数组存储在计算机中。第一行为 ab， cd ，所以第二个元素是 a

12、。最后，sym可以用于改变符号数组的一个元素。 sym(G，2，2， pq ) % change the (2，2) element in G from gh to pq ans= ab， cd ef， pq代数运算用函数symadd，symsub，symmul和symdiv，对符号矩阵可以执行许多通用的代数运算，用sympow可计算乘幂，用transpose计算符号矩阵的转置。 G=sym( cos(t)，sin(t0；-sin(t0，cos(t) ) % create a symbolic matrixG= cos(t)， sin(t) -sin(t)， cos(t) symadd(G，

13、t ) % add t to each elementans= cos(t)+t， sin(t)+t -sin(t)+t， cos(t)+t symmul(G，G) % multiply G by G； Synpow(G，2) does the same thingans= cos(t)2-sint(t)2， 2*cos(t)*sin(t) -2*cos(t)* sin(t)， cos(t)2-sin(t)2 simple(G) % try to simplifyans= cos(2*t)， sin(2*t) -sin(2*t)， cos(2*t)下面通过证明G的转置是它的逆来证明G是正交阵。

14、 I=symmul(G，transpose(G) % multiply G by its transposeI= cos(t)2+sin(t)2， 0 0， cos(t)2+sin(t)2 simplify(I) % there appears to be a trig identity hereans= 1， 0 0， 1正如所期望的那样，这是单位阵。线性代数运算用函数inverse和determ，可计算符号矩阵的逆阵以及行列式。 H=sym(hilb(3) % the symbolic form of the numeric 3-by-3 Hilbert matrixH= 1， 1/2，

15、1/3 1/2， 1/3， 1/4 1/3， 1/4， 1/5 determ(H) % dind the determinant of Hans= 1/2160 J=inverse(H) % find the inverse of HJ= 9， -36， 30 -36， 192， -180 30， -180， 180 determ(J) % find the determinant of the inverseans= 2160用函数linsolve求解齐次线性方程；这是等价于基本的MATLAB的逆斜杠算子的符号，linsolve(A，B)对X方阵求解矩阵方程A*X=B。回到以前的硬币问题：黛

16、安娜想去看电影，她从小猪存钱罐倒出硬币并清点，她发现： 10美分的硬币数加上5美分的硬币总数的一半等于25美分的硬币数。 1美分的硬币数比5美分、10美分以及25美分的硬币总数多10。 25美分和10美分的硬币总数等于1美分的硬币数加上1/4的5美分的硬币数 25美分的硬币数和1美分的硬币数比5美分的硬币数加上8倍的10美分的硬币数多1。象上次所做的那样，列出线性方程组，令p，n，d和q分别为1美分，5美分，10美分，和25美分的硬币数重新以p，n，d，q的顺序排列表达式p/2+n/2+d-q=0 p-n-d-q=-10 -p-n/4+d+q=0 p-n-8d+q=1接下来，列出方程系数的符号

17、数组。 A=sym( 1/2，1/2，1，-1；1，-1，-1，-1；-1，-1/4，1，1；1，-1，-8，1 )A= 1/2， 1/2， 1， -1 1， -1， -1， -1 -1， -1/4， 1， 1 1， -1， -8， 1 B=sym( 0；-10；0；-1 ) % Create the symbolic vector BB= 0 -10 0 -1 X=linsolve(A，B) % solve the symbolic system A X=B for xx= 16 8 3 15结果是相同的，黛安娜有16枚1美分的硬币，8枚5美分的硬币，3枚10美分的硬币，15枚25美分的硬币

18、。其他特性symop将其参量串接起来，并计算所得到的表达式。 f= cos(x) % create an expressionf= cos(x) symop( atan( ，f， + ，a， ) ， 2 )ans= atan(cos(x)+a)2在用函数symop时，若将数组和标量混合应慎重。例如： M=sym( a b； c d )M= a， b c， d symop(M， + ， t )ans= a+t， b c， d+t是把t加到M的对角线上。函数charpoly求解矩阵的特征多项式。 G=sym( 1，1/2；1/3，1/4 ) % create a symbolic matrixG=

19、 1， 1/2 1/3， 1/4 charpoly(G) % find the characteristic polynomial of Gans= x 2-5/4*x+1/12用函数eigensys可以求得符号矩阵的特征根和特征向量 F=sym( 1/2，1/4；1/4，1/2 ) % create a symbolic matrixF= 1/2，1/4 1/4，1/2 eigensys(F) % find the eigenvalues of Fans= 3/4 1/4 V，E=eigensys(F) % find eigenvalues E and eigenvectors vV= -1

20、， 1 1， 1E= 1/4 3/4矩阵的约当(Jordan)标准型是特征值的对角矩阵；转换矩阵的列是特征向量。对于给定的矩阵A， jordan(A)求出非奇异的矩阵V，使得inv(V)*A*V成为约当标准型，函数jordan有两种形式 jordan(F) % find the Jordan form of F ，aboveans= 1/4， 0 0， 3/4 V，J=jordan(F) % find the Jordan form and eigenvectorsV= 1/2， 1/2 -1/2， 1/2J= 1/4， 0 0， 3/4标准形和特征向V的列是某些F可能的特征向量。因为F是非奇

21、异的，F的零空间的基是空矩阵，而列空间的基是单位阵。 F=sym( 1/2，1/4；1/4，1/ 2 ) % recreate F F= 1/2， 1/4 1/4， 1/2 nullspace(F) % the nullspace of F is the empty matrixans= colspace(F) % find the column space of Fans= 1， 0 0， 1用函数singvals可求解矩阵奇异值。 A=sym(magic(3) % Generate a 3-by-3 matrixA= 8， 1， 6 3， 5， 7 4， 9， 2 singvals(A)

22、% find the singular expressionsans= 15.00000000000000 6.928203230275511 3.464101615137752函数jacobian(w，v)可相对于v求解w的雅可比(Jacobia)值。其结果的第(i，j)项是df(i)/dv(j)。注意，当f是标量时，f的雅可比值是f的梯度。 jacobian( u*exp(v) ，sym( u，v )ans= exp(v，u*exp(v)3.10 小结下列各表(表22.2-表22.8)综合了符号数学工具箱的特性：表22.2 符号表达式的运算numeric符号到数值的转换pretty显示悦目

23、的符号输出subs替代子表达式sym建立符号矩阵或表达式symadd符号加法symdiv符号除法symmul符号乘法symop符号运算sympow符号表达式的幂运算symrat有理近似symsub符号减法symvar求符号变量表22.3符号表达式的简化collect合并同类项expand展开factor因式simple求解最简形式simplify简化symsum 和级数表22.4符号多项式charpoly特征多项式horner嵌套多项式表示numden分子或分母的提取poly2sym多项式向量到符号的转换sym2poly符号到多项式向量的转换表22.5符号微积分diff微分int积分jorda

24、n约当标准形taylor泰勒级数展开表22.6符号可变精度算术digits设置可变精度vpa可变精度计算表22.7求解符号方程compose函数的复合dsolve微分方程的求解finverse函数逆linsolve齐次线性方程组的求解solve代数方程的求解表22.8符号线性代数charploy特征多项式determ矩阵行列式的值eigensys特征值和特征向量inverse矩阵逆jordan约当标准形linsolve齐次线性方程组的解transpose矩阵的转置4 MATLAB变量标量，向量，矩阵MATLAB以NM的形式保存了大量的矩阵，其中M是行数，N是列数。一个11矩阵是一个标量；1N矩

25、阵是一个行向量，M1矩阵是一个列向量。矩阵的全部元素可以是实数，也可以是复数；如果用户没有重新定义，那么1可以写作“i”或“j”。方括号“”表示一个矩阵，空格把相邻列元素分开，分号把相邻行分开。例如，考虑如下对变量x的赋值实数量 x = 5复数量 x = 5 + 10j（或者 x = 5 + 10i）行向量 x = 1 2 3（或者x = 1, 2, 3）列向量 x = 1; 2; 333矩阵 x = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9有几点需要说明的地方。矩阵的复数元素不能打空格，比如“-1+2j”可以作为一个矩阵元素，而“-1 + 2j”就不行。还有，“-1+2j”可以正确地解释，然而

26、“-1+j2”就不行。（MATLAB把“j2”解释为一个变量名。你可以写成“-1+j*2”。）4.1 复数运算下面说明了一些重要的复数运算：复数量 x = 3+4jx的实部 real(x) 3x的虚部 imag(x) 4x的幅值 abs(x) 5x的相角 angle(x) 9273.0x的共扼 conj(x) i434.2 生成向量向量可以用“：”命令生成。比如，以增量0.5生成一个从0到10的向量x，下列命令生成了一个121矩阵 x = 0:0.5:10;其他生成向量的命令有“linspace”和“logspace”，前者通过指定第一个值、最后一个值和它们之间的值的个数来生成向量，后者的方法

27、一样，但第一个值和最后一个值之间的项数以对数空间排列。4.3 访问向量元素向量元素可以通过指定行和列来访问。比如在矩阵987;654;321=A中，第一行第三列的元素可以这样访问 本文档的修订版会放置在 6.003 的课程主页上41 x = A(1, 3)，结果是3整个第二行这样访问 y = A(2, :)，结果是4 5 6其中“：”的意思是“取该栏的所有项”。由第1行、第2行和全部3列组成的A的一个子矩阵这样来生成 z = A(1:2, 1:3)，结果是1 2 3; 4 5 65 矩阵运算MATLAB对矩阵的运算包括算术运算，关系运算和逻辑运算。5.1 算术矩阵运算矩阵的基本算术运算（当然标

28、量是矩阵的特殊情况）有：+ 加法,- 减法,* 乘法,/ 右除, 左除, 取幂（幂）, 转置如果矩阵大小对于运算不合适，就会出现错误信息。除法定义如下：如果A可逆且矩阵大小合适，则的解是bxA=*bAx=，bAx=*的解是Abx/=。加法和减法涉及的是元素对元素的运算；而乘除法不是。但是MATLAB提供了元素对元素的运算，要在运算符前面加“.”，如下：.* 乘法./ 右除. 左除. 取幂（幂）. 转置（不共扼）矩阵乘法和元素对元素乘法的不同可以通过下面的例子看到： A = 1 2; 3 4A =1 23 4 B = A*AB =7 1015 22 C = A.*AC =1 49 165.2 关系运算关系运算定义如下： 小于, 大于,= 大于或等于= = 等于,= 不等于,这些都是元素对元素的运算，它返回一个1和0