等比数列的前n项和学案.docx

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等比数列的前n项和学案

第7课时　等比数列的前n项和

1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.

2.应用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的问题.

3.会求等比数列的部分项之和.

印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔,并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:

“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍,直到把每一小格都摆上麦子为止,并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多,就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗?

问题1:

等比数列的前n项和公式:

当q=1时,Sn=　　　　　; 

当q≠1时,Sn=　　　　　　　=　　　　　　　. 

问题2:

我们来帮国王计算下要多少粒麦子,把各格所放的麦子数看成是一个数列{an},它是一个a1=1,q=2,n=64的等比数列,问题转化为求数列{an}的前64项的和,可求得Sn=　　　　　　　=　　　　　　=264-1,而264-1这个数很大,超过了1.84×1019,所以国王根本实现不了这个诺言. 

问题3:

用错位相减法来推导等比数列的前n项和公式:

设等比数列{an}的公比为q,它的前n项和是Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.　①

①×q得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn.　②

①-②得（1-q）Sn=　　　　　　　. 

当q=1时,该数列是常数列,Sn=　　　　　; 

当q≠1时,该等比数列的前n项和公式为:

Sn=　　　　　　　　. 

即Sn=

问题4:

用等比数列的定义推导等比数列的前n项和公式:

由等比数列的定义,有==…==q.

根据等比的性质,有=　　　　　　　=q. 

⇒（1-q）Sn=a1-anq,即Sn=

1.在等比数列{an}（n∈N+）中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（　　）.

A.2-　　B.2-　　C.2-　　D.2-

2.等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于（　　）.

A.2B.-2C.2或-2D.2或1

3.等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4=　　　　. 

4.求等比数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn.

考查等比数列的前n项和公式

设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.

考查分组求和法

已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2（+）=8（+）.

（1）求{an}的通项公式;

（2）设bn=+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.

对变量的分类讨论

Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,且公比q≠1,已知1是S2和S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.

（1）求S2和S3;

（2）求此数列{an}的前n项和公式.

在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.

求数列1+,2+,3+,…的前n项和Sn.

等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,a3,,,…,,…成等比数列.

（1）求数列{kn}的通项kn;

（2）求数列{}的前n项和Sn.

1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于（　　）.

A.11　　　　B.5　　　　C.-8　　　　D.-11

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于（　　）.

A.33B.72C.84D.189

3.已知等比数列{an}的首项为8,Sn是其前n项和,某同学经计算得S2=24,S3=38,S4=65,后来该同学发现其中一个和算错了,则算错的是　　　　,该数列的公比是　　　　. 

4.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,求公比q和|a1|+|a2|+…+|an|.

（2013年·全国大纲卷）已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于（　　）.

A.-6（1-3-10）B.（1-310）C.3（1-3-10）D.3（1+3-10）

考题变式（我来改编）:

第7课时　等比数列的前n项和

知识体系梳理

问题1:

na1　　

问题2:

问题3:

a1-a1qn　na1　

问题4:

基础学习交流

1.B　设数列{an}的公比为q,则q3==,∴q=,∴数列{an}的前10项和为=2-.

2.C　==q4,所以q=±2.

3.　由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3（舍去）,又a2=1,所以a1=,S4==.

4.解:

∵公比为q=2a,当q=1,即a=时,Sn=n;

当q≠1,即a≠时,则Sn=.

∴Sn=

重点难点探究

探究一:

【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;

当q≠1时,=3a1q2,

因为a1≠0,所以1-q3=3q2（1-q）,

即1+q+q2=3q2,解得q=-.

综上所述,公比q的值为1或-.

【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑q=1和q≠1两种情况.

探究二:

【解析】

（1）设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1,

由已知得a1+a2=2（+）=,∴a1a2=2,

由a1+a2=8（+）==,

∴a3a4=8q2,

又∵a1>0,q>0,∴

解得∴an=2n-1.

（2）由

（1）知bn=+log2an=4n-1+（n-1）,

∴Tn=（1+4+42+…+4n-1）+（0+1+2+3+…+n-1）=+=+.

【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.

探究三:

【解析】

（1）根据已知条件

整理得

解得3S2=2S3=6,即

（2）∵q≠1,则

可解得q=-,a1=4,

∴Sn==-（-）n.

【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.

思维拓展应用

应用一:

∵S6≠2S3,∴q≠1,

∴

由②÷①得1+q3=9,∴q=2,

代入①得a1=,∴an=a1qn-1=2n-2.

应用二:

由题意可知,该数列的通项公式为an=n+,

∴Sn=（1+）+（2+）+…+（n+）=（1+2+3+…+n）+（+++…+）=+1-.

应用三:

（1）由已知得（a1+d）2=a1（a1+3d）,

解得a1=d或d=0（舍去）,

所以数列{an}的通项是an=nd.

因为数列a1,a3,,,…,,…成等比数列,

即数列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列,

所以公比q==3,k1d=32d,即k1=9,

所以数列{kn}是以k1=9为首项,3为公比的等比数列,故kn=9×3n-1=3n+1.

（2）Sn=+++…+,　①

Sn=+++…+,　②

由①-②,并整理得Sn=（1-）-=-.

基础智能检测

1.D　由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,则==-11.

2.C　由S3=a1（1+q+q2）=21且a1=3,得q2+q-6=0,∴q=2（负根舍去）.∴a3+a4+a5=q2（a1+a2+a3）=22·S3=84.

3.S2　　设等比数列的公比为q,若S2计算正确,则有q=2,但此时S3≠38,S4≠65与题设不符,故算错的就是S2,此时,由S3=38可得q=或q=-;当q=时,S4=65也正确;当q=-时,S4不正确,舍去.所以q=.

4.解:

由a4=a1q3=q3=-4,可得q=-2,

因此,数列{|an|}是首项为,公比为2的等比数列,

所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.

全新视角拓展

C　由已知得=-,则数列{an}为公比是-的等比数列,∵a2=-,∴a1=4,则数列{an}前10项的和S10==3（1-3-10）.

思维导图构建

三个　两个