初二数学巩固讲义第3讲 轴对称与等腰三角形上.docx

初二数学巩固讲义第3讲 轴对称与等腰三角形上.docx

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初二数学巩固讲义第3讲轴对称与等腰三角形上

初二数学（巩固）班讲义（57期）

第三讲轴对称与等腰三角形

（一）

一、主要知识点回顾

1、如图1，把△ABC和△A′B′C′沿着直线l折叠，能相互重合，那么就是说△ABC和△A′B′C′关

于这条直线l_________；点A和A′相互重合，那么点A和A′就叫做_____点（也叫_____点）。

2、如图2，△ABC沿着直线l折叠成两部分，这两部分能相互重合，这个图形就叫做_________，这条直线就是它的________，这时我们就说这个图形关于这条直线________。

3、如图3，

（1）直线l⊥AB于点D，且AD=BD，则直线l叫做线段AB的______。

（2）∵点P是线段AB的垂直平分线l上的任意一点，∴PA=_______。

（3）∵_____=_____，∴点P在线段AB的垂直平分线l上。

B

B′

图1

4、如图4，已知△ABC和△A′B′C关于直线l对称，点A和A′是对称点，则直线l是线段AA′的

__________。

5、如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的_______线。

因此，我们只

要找到一对对应点，作出所连线段的________线，就可以得到这两个图形的对称轴。

二、感悟与实践

例1、如图，△ABC在中，BC的垂直平分线ED交BC于点D，交AB于点E，且CE平分∠ACB，若∠A=

，求∠B的度数。

变式练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，E是垂

足，∠CAD∶∠CAB=1∶3。

求∠B的度数。

例2、某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。

（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？

在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由。

变式练习2、如图，要在燃气道

上修建一个泵站，分别向A、B两站供气。

泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

若A、B两站在燃气道的两侧，则泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

例3、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形

变式练习3、如图，分别作出

关于直线

（记为

）和直线

（记为

）对称的

图形。

它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？

例4、如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠1，∠2的度数。

变式练习4、如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是什么图形？

试说明理由；

AD

F

BC

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1、等腰三角形的每个底角等于顶角的2倍，则它的顶角是（）。

A．30°B．36°C．72°D．108°

2、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，则下列结论中不正确的是（）。

A．∠B=∠CB．AD⊥BCC．AD平分∠BACD．AB=2BD

3、若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角为（）。

A．30°B．45°C．60°D．无法确定

4、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）。

A．4B．3C．2D．1

第2题第4题

5、已知等腰三角形，则：

（1）一边长为4，另一边长为9，则第三边长为；

（2）一边长为3，另一边长为4，则三角形的周长为；

（3）两边长分别为2和4，则它的周长为；

（4）一个角是50°，那么顶角为；

（5）一个角是110°，则底角为。

6、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，若∠A=30°，BE=1，则AB=。

7、已知等边△ABC的高AD、BE交于点O，则∠AOB=。

8、在△ABC中，若∠A=∠B=

∠C，则此三角形为三角形。

9、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD是△ABC的角平分线，点D到AB的距离是3.8，

则BC=。

10、如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC等于。

第10题

（B）能力提高

1、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）。

A．75°或30°B．75°C．15°D．75°或15°

2、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE为（）。

A．20°B．25°C．30°D．40°

3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB＋BC=11，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，则△BCD的周长是（）。

A．7B．9C．11D．13

第2题第3题

4、已知点A（0，2），B（1，0），点P为坐标轴上一动点，使△PAB为等腰三角形的点P有（）个。

A．2B．4C．6D．8

5、如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，

EM。

若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为cm2。

第5题

（C）趣味数学

巧插数字

125×4×3=2000，这个式子显然不等，可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪吗？

四、考考你

1、点P（－3，－5）关于

轴对称的点的坐标是。

2、点M（

－2，2）与点N（5，

+3）是关于

轴的对称点，则

=，

=。

3、已知下列各组数据，可以它们为边长构成等腰三角形的是（）。

A．1，2，1B．2，2，1C．1，3，1D．2，2，5

4、在△ABC中，AB=AC，外角∠CAD=100°，则∠B是（）。

A．80°B．50°C．40°D．30°

5、等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）。

A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°

五、课外练习

如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F。

求∠FAC的度数。

初二数学（巩固）班补充讲义（57期）

第三讲轴对称与等腰三角形

（一）

1、如图，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB。

求证：

BC=AC＋AD。

2、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，且BE⊥CE于E。

求证：

BD=2CE。

3、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F点。

求证：

EF=BE+CF

【课堂小测】（每小题20分，共100分）

1、如图，如果直线

是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD的度

数等于。

第1题第2题第3题

2、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA

于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为。

3、如图，∠BAC=100°，若MP，NQ分别垂直平分AB，AC，则∠PAQ的度数为。

4、点P（－3，2）关于

轴对称的点的坐标是（）。

A．（3，2）B．（－3，2）C．（3，－2）D．（－3，－2）

5、点A（－1，2）关于直线

对称的点的坐标是（）。

A．（1，2）B．（－1，－2）C．（3，2）D．（－1，0）

初二数学（巩固）班讲义第三讲参考答案（57期）

一、主要知识点回顾

1、对称、对应、对称，2、轴对称图形、对称轴、轴对称

3、

（1）垂直平分线；

（2）PB；（3）PA、PB4、垂直平分线

5、垂直平分线、垂直平分线。

二、感悟与实践

例题1、解：

设∠B=x，∵DE垂直平分BC，∴∠B=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，

∵∠A=54°∴3x=180－54，x=42∴∠B=42°

变式练习1、解：

设∠CAD=x，则3x+2x=90°∴x=18°∴∠B=2x=36°

例题2、

（1）体育馆应建在∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点处；图略。

（2）理由：

到两所大学的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上；到两条公路的距离相等的点在∠AOB的平分线上，两条直线的交点即为体育馆位置。

变式练习2、如果A、B两点在燃气管道同侧，则做A关于燃气管道

的对称点

，连接

B，和

的交点就是要修建泵站的地方；如果在两侧，则直接把A、B两点连接，那么连线和

的交点就是泵站。

例题3、解：

作△ABC关于x轴对称的图形，即分别求出A的对应点A″，B的对应点B″，C的对应点C″，连接即可。

作△ABC关于y轴对称的图形，即分别求出求出A的对应点A′，B的对应点B′，C的对应点C′，连接即可。

变式练习3、图略。

点（x，y）关于直线m对称的点的坐标为（-x+2，y），关于直线n对称的点的坐标为（x，-y－2）

例题4、解：

∠1+∠FEG+∠DEF=180°；∠1=180°－2×55°=70°；∴∠2=110°；

变式练习4、解：

重合部分是等腰三角形

∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB

又∵∠DBC=∠DBF，∴∠DBF=∠ADB，∴FB=FD

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1、B2、D3、D4、B5、910或111050°或80°35°

6、87、120°8、等腰直角9、11.410、120°

（B）能力提高

1、B2、D3、C4、C5、30

（C）趣味数学

插入数字后的式子为：

1725×4×3=20700

四、考考你

1、（

，

）2、

，

3、B4、B5、C

五、课外练习

解：

设∠CAD=x，∴∠FAC+x=∠FDA=x+45°∴∠FAC=45°。

初二数学（巩固）班补充讲义第三讲参考答案（57期）

1、在BC上截取CE=AC，连接DE，证△ADC≌△EDC

∴∠A=∠DECAD=DE又∵∠A=2∠B∴∠B=∠BDE∴BE=DE

∴BC=BE+EC=AD+AC

2、延长CE，BA交于点F∵∠ABE=∠ACE，AB=AC∠BAD=∠CAF=90°

∴BD=CF又可证△BFE≌△BCE（ASA）∴2CE=CFBD=2CE

3、∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED

∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，∵FD//BC，∴∠FDC=∠DCB，∴∠ACD=∠FDC，∴FC=FD，∵EF=ED+FD，∴EF=EB+FC。

【课堂小测】

1、60°2、153、20°4、A5、C