教学设计《 数学人教A版高中选修23第一章 计数原理1.docx
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教学设计《数学人教A版高中选修23第一章计数原理1
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础。
【知识与能力目标】
通过学习“杨辉三角与二项式系数的性质”这一节，使学生掌握二项式系数的对称性、递推性、增减性与最大值和各二项式系数的和等性质及应用这些性质解决简单的数学问题。
【过程与方法目标】
①通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生体会应用由特殊到一般进行归纳、由一般到特殊进行赋值等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.②通过从函数的角度、数列的角度研究二项式系数的性质，使学生建立知识的前后联系，培养学生的观察能力和归纳推理能力。
【情感态度价值观目标】
通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发民族自豪感.激发学生探索、研究我国古代数学的热情。
【教学重点】
二项式系数的性质（对称性、递推性、增减性与最大值和各二项式系数的和。
【教学难点】
理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法（由特殊到一般、由一般到特殊）的渗透。
预习自测
1．预习自测
（一）课堂设计
1．知识回顾
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
（二）课前设计
1.的展开式中，常数项为，则（）
A．B．C．D．
解：
D
2.的展开式中常数项为．（用数字作答）
解：
-42
3.若的二项展开式中的系数为，则．
解：
2
2．问题探究
问题探究一
●活动一认知杨辉三角
在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？
仔细观察，你能发现什么规律？
“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？
二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
●活动二函数观点认知二项式系数
设函数，这个函数的定义域是怎样的？
试以n＝6为例作出的函数图象，观察函数图像，你能说出它的哪些性质？
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
●活动三认知二项式系数
各二项式系数的和等于多少？
为什么？
∵，
令，则
●活动四二项式系数、系数的应用
1.二项式系数的性质
例1
（1）多项式x10＝a0＋a1（x－1）＋a2·（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，则a8的值为（）
A．10B．45C．－9D．－45
【知识点：
二项式系数的性质】
解：
Bx10＝[1＋（x－1）]10＝1＋（x－1）＋（x－1）2＋…＋（x－1）10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10对任意实数x都成立，∴a8＝＝＝45.
（2）二项式（1＋sinx）6的展开式中二项式系数最大的一项的值为，则x在[0,2π]内的值为________．
【知识点：
二项式系数的性质】
详解：
或.由题意得T4＝·sin3x＝20sin3x＝，∴sinx＝，∵x∈[0,2π]，∴x＝或.
（3）若的二项展开式中，x3的系数为，则二项式系数最大的项为________．
【知识点：
二项式系数的性质】
解：
x3.∵，令12－3r＝3，得r＝3，∴a－3＝，解得a＝2.
故二项式系数最大的项为T4＝（x2）3＝x3.
点拨：
二项式系数、二项展开式中的项的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破.
2.用赋值法求二项式各项系数的和
例2在的展开式中，求：
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.
【知识点：
用赋值法求二项式各项系数的和】
分析:
因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.
详解：
设（*）,
各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.
由于（*）是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为.
②令,各项系数和为.
③奇数项的二项式系数和为,
偶数项的二项式系数和为.
④设,
令,得到…
（1）,
令,（或,）得…
（2）
（1）+
（2）得,
∴奇数项的系数和为;
（1）-
（2）得,∴偶数项的系数和为.
⑤的奇次项系数和为;
的偶次项系数和为.
点拨：
要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
3.综合运用
例3
（1）设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝（）
A．0B．B．1B．C．11B．D．12
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
A本题考查二项展开式的应用．512012＝（52－1）2012＝522012－522011＋522010＋…＋×52×（－1）2011＋×（－1）2012，若想被13整除需加12，∴a＝12.
（2）在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（）
A．第11项B．第13项C．第18项D．第20项
【知识点：
二项式定理，数列的应用】
解：
D.（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，含x4项的系数为＝＝5＋15＋35＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.
（3）将（n∈N*）的展开式中x－4的系数记为an，则________.
【知识点：
二项式定理，不等式的应用】
解：
.第r＋1项，令－2r＝－4，∴r＝2，
∴an＝（－1）2＝,
点拨：
涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，需要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，同时注意二项式定理和不等式、数列的综合应用.
3．课堂总结
【知识梳理】
二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.
【重难点突破】
涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.
4．随堂检测
1.的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
11
2.的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为．
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
.展开式中只有第六项的二项式系数最大，，.
3.+++，则（）
A．B.C.D.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
A
（三）课后作业
基础型自主突破
1．展开式中的系数为，各项系数之和为．
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
45,0.
2．多项式（）的展开式中，的系数
为.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
0．提示：
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）
A.4B.5C.6D.8
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
B.
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）
A.低于5％B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间D.在8％以上
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
C.
5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（）
A.0B.C.D.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
D.
6．若（1－2x）2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009（x∈R），求的值.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
令x＝0，则a0＝1，令x＝，则＝0，
∴＝－1.
能力型师生共研
7.的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求（1－x）n的展开式中系数最小的项的系数．
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n＝64，所以n＝6，（1－x）6的展开式中，第四项的系数最小，为－＝－20.
8.若的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
令＝0，得.∴n取最小值为4.
9．令an为（1＋x）的展开式中含x项的系数，求数列的前n项和.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
∵，∴，，
∴
10．已知（xcosθ＋1）5的展开式中x2的系数与（x＋）4的展开式中x3的系数相等，求cosθ.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
（xcosθ＋1）5＝（1＋xcosθ）5，展开式中x2的系数为cos2θ.
（x＋）4＝（＋x）4，展开式中x3的系数为，
由题意可知cos2θ＝，∴cos2θ＝，
∴cosθ＝.
探究型多维突破
11．若（cosφ＋x）5的展开式中x3的系数为2，则sin（2φ＋）＝________.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
12.已知，求：
（1）；
（2）；（3）.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
（1）当时，，展开式右边为
∴，
当时，，∴，
（2）令，①
令，②
①②得：
，∴.
（3）由展开式知：
均为负，均为正，
∴由
（2）中①+②得：
，
∴，
∴
.
自助餐
1.在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中,含x3的项的系数是（）
A.74B.121C.-74D.-121
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
D（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8＝,（1-x）5中x4的系数为,-（1-x）9中x4的系数为,-126+5＝-121.
2.在的展开式中,x2的系数是224,则的系数是（）
A.14B.28C.56D.112
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
A,令2n-2r＝2,r＝n-1,则,∴.
∴n＝4.再令8-2r＝-2,∴r＝5.∴.
3.在（x+y）n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于（）
A.13,14B.14,15C.12,13D.11,12,13
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
D分三种情况:
（1）若仅T7系数最大,则共有13项,n＝12;
（2）若T7与T6系数相等且最大,则共有12项,n＝11;（3）若T7与T8系数相等且最大,则共有14项,n＝13,所以n的值可能等于11,12,13.
4．在（x＋1）（2x＋1）（nx＋1）（n∈N*）的展开式中一次项系数为（）
A．B．C．D．
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
B1＋2＋3＋…＋n＝＝.
5．若（x＋y）9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是（）
A.B.C.D.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
D二项式（x＋y）9的展开式的通项是Tr＋1＝·x9－r·yr依题意有
由此得
由此解得x>1，即x的取值范围是（1，＋∞）．
6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝（）
A．0B．1C．11D．12
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
D512012＋a＝（13×4－1）2012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．
7.在的展开式中常数项是____________.（用数字作答）
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
45T要求常数项,即40-5r＝0,可得r＝8,代入通项公式可得.
8.若（x+1）n＝xn+…+ax3+bx2+…+1（n∈N*）,且a∶b＝3∶1,那么n＝_____________.
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
11,,又a∶b＝3∶1,∴.∴,解得n＝11.
9.在（1＋x）3＋（1＋）3＋（1＋）3的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
7＋＋＝23－1＝7.
10．若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，求a3.
【知识点：
二项式定理的应用】
解：
不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有（t－1）5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝（－1）2＝10.
11.若（1-2x）2004＝a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R）,求（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）.（用数字作答）
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
2004令x＝0,得a0＝1;令x＝1,得1＝a0+a1+a2+…+a2004,故（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）＝2003a0+a0+a1+a2+…+a2004＝2004.
12.已知（1+kx2）6（k是正整数）的展开式中,x8的系数小于120,求k.
【知识点：
二项式定理的应用】
解:
（1+kx2）6按二项式定理展开的通项为,∴x8的系数为.∴15k4＜120,也即k4＜8.而k是正整数,故k只能取1。
略。
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