大学物理真空中的静电场答案.docx
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大学物理真空中的静电场答案
大学物理真空中的静电场答案
【篇一：
第九章真空中的静电场（答案）2013】
]1（基础训练1）图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线
密度分别为＋?
（x＜0）和－?
（x＞0），则oxy坐标平面上点（0，a）处的场强e为
?
?
（a）0．（b）i．2?
?
0a?
?
?
?
?
?
?
i?
j?
．（c）i．（d）
4?
?
0a4?
?
0a
e?
?
e?
?
矢量叠加后，合场强大小为：
【提示】：
左侧和右侧半无限长带电直线在（0，a）处产生的场强大小e＋、e－大小为：
?
，方向如图。
e合?
2?
?
0a
［c］2（基础训练3）如图所示，一个电荷为q的点电荷
位于立方体的a角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：
qq（a）．（b）．6?
012?
0
（c）
qq
．（d）．24?
048?
0
【提示】：
添加7个和如图相同的小立方体构成一个大立方体，使a处于大立方体的中心。
则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。
由gauss定理知，通过该高斯面的电通
量为
q
?
0
。
再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于
q
。
24?
0
［d］3（基础训练6）在点电荷+q的电场中，若取图中p点处为电势零点，则m点的电势为
（a）
qq
．（b）．
4?
?
0a8?
?
0a
（c）
?
q?
q
．（d）．
4?
?
0a8?
?
0a
【提示】：
vm?
?
p
m
?
?
a
e?
dl?
?
q4?
?
0r
2a
?
2
?
q8?
?
0a
1
［d］4（基础训练6）、如图所示，cdef为一矩形，边长分别为l和2l．在dc延长线上ca＝l处的a点有点电荷＋q，在cf的中点b点有点电荷-q，若使单位正电荷从c点沿cdef路径运动到f点，则电场力所作的功等于：
q5?
1q1?
5
?
?
（a）．（b）4?
?
0l5?
l4?
?
0lq3?
1q5?
1
?
?
（c）．（d）．4?
?
0l4?
?
0l3?
?
?
qa?
q（v?
v）?
1?
0?
（?
【提示】
：
c?
f?
?
0cf
4?
?
l0?
?
［c］5（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。
取x轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空
x
?
间各点的电场强度e随距离平面的位置坐标x变
化的关系曲线为（规定场强方向沿x轴正向为正、反之为负）：
【提示】：
由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为：
?
?
?
?
e?
?
i?
?
?
?
“（+”号对应x?
0;“?
?
”号对应x?
0）
2?
0
［c］6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为r和2r的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：
（a）
qq4?
?
0r
．（b）
qq2?
?
0r
．（c）
qq3qq
．（d）．
8?
?
0r8?
?
0r
【提示】：
静电力做功quab?
q（va?
vb）等于动能的增加。
其中：
va?
?
3q?
q
?
；
4?
?
0r4?
?
0?
2r8?
?
0r
q?
3q?
2q
vb?
?
?
4?
?
0?
2r4?
?
0?
2r8?
?
0r
?
q
代上即得结果。
二．填空题
1（基础训练9）已知空气的击穿场强为30kv/cm，空气中一带电球壳直径为1m，以无限远
6
处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5?
10v__。
2
【提示】：
带电球壳的电势：
v?
q4?
?
0r
；球壳表面场强为：
e?
?
q
。
联立两式知：
?
2
?
04?
r?
0
+?
v?
er。
2（基础训练13）两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为＋?
和＋2?
?
，如图所示，则a、b、c三个区域的电场强度分别为：
ea＝?
eb＝?
3?
，a2?
0
bc
?
3?
，ec＝（设方向向右为正）．2?
02?
0
【提示】：
a、b、c三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。
3（基础训练17）ac为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。
电荷线密度分别为－?
和＋?
，如图所示。
o点在棒的延长线上，距a端的距离为l．p点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l．以棒的中点b为电势的零点。
则o点电势uo＝
?
3
ln；p点电势up＝___0___．4?
?
04
【提示】：
题中棒的中点b为电势的零点和?
远处为电势的零点是
一致的。
根据对称性及电势叠加原理，易知p点电势为0，o点电势为：
?
2l
l
3l?
dx?
?
dx?
?
4?
?
0x2l4?
?
0x
4（自测提高13）、如图所示，一电荷线密度为?
的无限长带电直线垂直通过图面上的a点；一带有电荷q的均匀带电球体，其球心处于o点。
△aop是边长为a的等边三角形。
为了使p点处场强方向垂直于op，则?
和q的数量之间应满足?
?
qa关系，且?
和q为__异___号电荷。
【提示】：
作场强矢量叠加图知，要使p点处场强方向垂直于op，必须满
?
q
?
2足：
。
2?
?
0a4?
?
0a2
5（自测提高14）一半径为r的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d（dr）环上均匀带有正电，电荷为q，如图9-43所示。
则圆心o处的场强大小e＝
qd8?
2?
0r3
，场强方向为_从o点指向缺口中心处．
【提示】：
根据填补法思想，将带中性的缺口用两个带等量异号电荷的缺口取代。
3
?
?
?
?
?
?
b
a
?
?
（1,0）（1,0）?
?
?
?
（3,2）
（3,2）
7（自测提高19）已知某区域的电势表达式为u＝aln（x2+y2），式中a为常量．该区域的场强的两个分量为：
ex＝?
2ax
;?
?
ez＝0。
22
x?
y
qq1
q3
【提示】：
ex?
?
du2xdu
?
?
a2;?
?
e?
?
?
0z2dxx?
ydz
8（自测提高20）有三个点电荷q1、q2和q3，分别静止于圆周上的三个点，如图所示。
设无穷远处为电势零点，则该电荷系统的相互作用电势能w＝
8?
?
r
1
2q1q2?
q1q3?
q2q3．
?
13
【提示】：
参见辅导书例题9－7.或利用公式：
w?
?
qvii，其中vi为除第i个点电荷外的所有
2i?
1
其它电荷在该点出的电势。
三．计算题
1（基础训练21）带电细线弯成半径为r的半圆形，电荷线密度为?
=?
0sin?
，式中?
0为一常数，?
为半径r和x轴所成的夹角，如图所示．试求环心o处的电场强度．
【解】：
在?
处取电荷元，其电荷为
dq=?
dl=?
0rsin?
?
d?
它在o点产生的场强为
de?
在x、y轴上的二个分量
?
0sin?
d?
dq
?
2
4?
?
0r4?
?
0r
dex=－decos?
dey=－desin?
对各分量分别求和：
4
?
?
0
ex?
sin?
cos?
d?
＝0
4?
?
0r?
0
?
?
0?
02
ey?
sin?
d?
?
?
4?
?
0r?
08?
0r
?
?
?
?
?
∴e?
exi?
eyj?
?
0j
8?
0r
?
2（基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从a点沿半径为r的圆弧（圆心和电偶极子中心重合，r电偶极子正负电荷之间距离）移到b点，求此过程中电场力所作的功．
【解】：
用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势
式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．
于是知：
a、b两点电势分别为
?
?
?
u?
p?
r/?
4?
?
0r3?
ub?
p/?
4?
?
0r?
?
?
p?
p?
2
ua?
?
p/?
4?
?
0r?
2
q从a移到b电场力作功（和路径无关）为
a?
q?
ua?
ub?
?
?
qp/?
2?
?
0r2?
3（基础训练24）图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为?
，球层内表面半径为r1，外表面半径为r2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．
由高斯定理可知空腔内e＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为u。
在球层内取半径为r→r＋dr的薄球层．其电荷为
dq=?
4?
r2dr
该薄层电荷在球心处产生的电势为du?
dq/?
4?
?
0r?
?
?
rdr/?
0整个带电球层在球心处产生的电势为
?
u0?
?
du0?
?
0
u?
u0?
?
r2
r1
rdr?
?
2
?
r2?
r12?
2?
0
因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势u为
?
?
若根据电势定义u?
?
e?
dl计算，也可。
?
2
?
r2?
r12?
2?
0
4（基础训练25）图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均
x匀带电细棒，其电荷线密度为?
＝?
0（x-a），?
0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点o处的电势．
【解】：
在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=?
0（x－a）dx，它在o点产生的电势
5
【篇二：
09真空中的静电场习题】
t>班级姓名学号成绩
学习要求：
（1）掌握库仑定律、静电场的电场强度和电场强度叠加原理。
能计算一些简单问题中的电场强度。
（2）理解静电场的规律：
高斯定理和环路定理。
理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。
一、选择题
1．关于试验电荷以下说法正确的是【】
（a）电量和体积足够小，不影响产生原电场的电荷分布（b）电量极小的正电荷（c）体积和电量都极小的正电荷（d）体积极小的正电荷2．
（a）电荷电量大,受的电场力可能小；（b）电荷电量小,受的电场力可能大；（c）电场为零的点,任何点电荷在此受的电场力为零；（d）电荷在某点受的电场力和该点电场方向一致3．下列几种说法中哪一个是正确的?
【】
（a）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点时所受电场力的方向（b）在以点电荷为中心的球面上，该点电荷在球面上所产生的场强处处相同（c）电场强度可由e?
f/q定义给出，试验电荷q可正、可负，f?
为试验电荷所受电场力
（d）以上说法都不正确4．高斯定律
?
s
e?
ds?
?
v
?
dv/?
0【】
（a）适用于任何静电场（b）只适用于真空中的静电场（c）只适用于具有球对称、轴对称和平面对称的静电场
（d）只适用于具有（c）中所述的对称性、但可以找到合适的高斯面的静电场5．一高斯面所包围的体积内电量代数和?
qi?
0，则可以肯定：
【】（a）高斯面上各点场强均为零（b）穿过高斯面上每一面元的电通量均为零（c）穿过整个高斯面的电通量为零（d）以上说法都不对
（a）?
?
?
4?
r2
4?
r2?
?
se（b）
?
s?
?
e（c）?
s
?
?
e（d）08．在任意静电场中，下列说法正确的是【】
（a）通过某面元的电场线数越多，面元所在处电场线越强
（b）通过和电场线垂直的面元的电场线数越多，面元所在处电场线越强（c）面元所在处的电场线越密，该处的电场越强
（d）通过和电场线垂直的单位面积的电场线数越多，该处的电场越强
图1
图2
图3
二、填空题
１．一个带有n个电子的油滴，其质量为m，电子的电量为-e，在重力场中由静止开始下落（重力加速度为g），下落中穿越一均匀电场区域，欲使油滴在该区域中匀速下落，则电场的方向为，场强的大小e=。
3．边长为a的正方形的四个顶点上放置如图3所示的点电荷,则中心o处场强大小为,方向。
4．如图4所示，真空中有一均匀带电球面，球半径r，总带电量+q，今在球面上挖去一很小面积ds（连同其上的电荷）后，而其余部分电荷仍然均匀分布，则挖去以后球心处场强大小为，方向。
5．一个半径r、长为l的均匀带电圆柱面，电荷的线密度为?
.，在带电圆柱的中垂面上有一点p，它到轴线距离为r（rr），则p点的电场强度大小：
当rl时，e=；当rl时。
e
?
?
2?
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
图4
图5
图7
6．如图5所示，真空中两个相距2r的带正电的点电荷，带电量都为q，若以其中一点电荷所在处o点为中心，以r为半径作闭合面s，则通过该球面的电通量?
=；闭合面s上a点的场强大小为b点的场强大小为。
7．在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图6所示的三个闭合面s1，s2，s3，通过这些闭合面的电通量分别是：
?
1?
?
2?
，?
3?
8．两块“无限大”的均匀带电平行平板如图7所示,其电荷面密度分别为?
（?
?
0）及?
2?
，试写出各区域的电场强度e的大小：
Ⅰ区e的大小，方向；Ⅱ区e的大小，方向；Ⅲ区e的大小，方向
。
1
三、计算题
1．长为l带电细棒，线电荷密度为?
，如图所示其放置，假设棒上的电荷不能自由移动，求带电细棒对点电荷q的静电作用力。
2．如图所示，在点a（a,0）处放置一点电荷+q，在点b（?
a,0）处放置另一点电荷?
q，p点是x轴上的一点，其坐标为（x,0）。
求：
（1）p点的场强大小和方向；
（2）当xa时，p点的场强大小。
3．如图所示，一带电细棒弯成半径为r的半圆形，电荷均匀分布，总电量为q，求圆心处的电场强度e。
4.如图所示，两个均匀带电的同心球面，内球面半径为r1，带电量为q1，外球面半径为r2，带电量为q2，试求离球心距离r处的电场强度的大小：
（1）rr1；
（2）r1rr2；（3）rr2
2
5．两个”无限长”同轴圆柱面,半径分别为r1和r2（r1r2）,圆柱面上均匀带电,沿轴单位长度的电量分别为?
1和?
2,试求离轴线r为处的电场强:
（1）r?
r1;
（2）r1?
r?
r2;（3）r?
r2。
6．如图所示，厚度为b的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?
，求：
平板内、外任意点p（x,0）的电场强度大小。
四、简答题
对于电场中的某场强，电场强度的大小为e?
f
q，可见e和试验电荷q0成反比，为什么说e0
和q0无关？
【篇三：
第九章真空中的静电场习题】
>9–1如图9-1所示，电量为+q的三个点电荷，分别放在边长为a的等边三角形abc的三个顶点上，为使每个点电荷受力为零，可在三角形中心处放另一点电荷q，则q的电量为。
图9–1
图9–2
解：
由对称性可知，只要某个顶点上的电荷受力为零即可。
c处电荷所受合力为零，需使中心处的点电荷q对它的引力f和a，b两个顶点处电荷的对它的斥力f1，f2三力平衡，如图9-2所示，即
f?
?
（f1?
f2）
因此
f?
2f1cos30?
即
?
2
cos30?
解得
q?
3q3
9?
2真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+?
和?
?
，点p1和p2和两带电线共面，其位置如图9-3所示，取向右为坐标x正向，则ep，1
ep2
解：
（1）p1点场强为无限长均匀带电直线?
，?
?
在该点产生的场强的矢量和，即
ep?
e?
?
e?
?
1
其大小为
?
?
?
ep1?
i?
i?
i
方向沿x轴正方向。
（2）同理可得
ep2?
图9-3
?
i?
?
?
方向沿x轴负方向。
9?
3一个点电荷+q位于一边长为l的立方体的中心，如图9-4所示，则通过立方体一面的电通量为。
如果该电荷移到立方体的一个顶角上，那么通过立方体每一面的电通量是。
解：
（1）点电荷+q位于立方体的中心，则通过立方体的每一面的电通量相等，所以通过每一面的通量为总通量的1/6，根据高斯定理
l
q
l
q
?
?
?
se?
ds?
?
0?
qin，其中s为立方体的各面所
形成的闭合高斯面，所以，通过任一面的电通量为?
?
e?
ds?
s
1
图9-4
q6?
0
。
2l
（2）当电荷+q移至立方体的一个顶角上，和+q相连的三个侧面abcd、abfe、bchf上各点的e均平行于各自的平面，故通过这三个平面的电通量为零，为了求另三个面上的电通量，可以以+q为中心，补作另外7个大小相同的立方体，形成边长为2l且和原边平行的大立方体，如图9–5所示，这个大立方体的每一个面的电通电都相等，且均等于
q6?
0
de
a
f
cbq
2l
，对原立方体而言，每个面的面积为大立方
g
h
图9-5
2l
体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也为大立方体一个面的电通量的1/4，即此时通过立方体111q
e?
ds?
每一面的电通量为?
?
。
46?
?
s24?
0
9?
4如图9-6所示，在场强为e的匀强静电场中，a，b两点距离为d，ab连线方向和e方向一致，从a点经任意路径到b点的场强线积分
?
abe?
dl。
d图
9-6
解：
电场强度e沿闭合路径acbd的环流为零，即有
?
acbd
因此
e?
dl?
?
acb
e?
dl?
?
bdae?
dl?
0
?
acb
e?
dl?
?
?
bdae?
dl?
?
（?
ed）?
ed
9?
5如9-7图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、r为半径的球面上一点a处为电势零点，则离点电荷q为r的b处的电势为。
解：
以点电荷q为中心，作半径为r的球面为高斯面，利用高斯定理
图9-7
?
?
s
e?
ds?
q，有
?
0?
in
q
1
?
0
得电场强度大小为
e?
r2
则b处的电势为
vb?
?
a
b
e?
dl?
va?
?
r
r
edr?
?
r
dr?
q11
9?
6真空中有两无限大的均匀带电平面a，b，电荷面密度分别为+?
，?
?
，如图9-8所示。
若在两平面的中间插入另一面电荷密度为+?
的无限大平面c后，p点场强的大小将为[]。
a．原来的1/2b．不变c．原来的2倍d．零解：
每块无限大均匀带电平面均在空间产生均匀电场，
?
ep?
。
当只有a和b两个带电平面时，因a，b面在p点产生
2?
0
的场强大小、方向均相同，根据场强叠加原理，ep?
2方向水平向右。
当在a，b面间插入c板后，a，c两带电平面在p点产生的场
?
?
?
，2?
0?
0
?
强相抵消。
于是p点场强就等于平面b产生的场强，变为ep?
，
2?
0
图9-8
因此，a，b面间插入c板后，p点场强大小变为原来的1/2，且方向不变。
故应选（a）。
9?
7关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是[]。
a．如高斯面上e处处为零，则该面内必无电荷b．如高斯面内无电荷，则高斯面上e处处为零c．如高斯面上e处处不为零，则高斯面内必有电荷d．如高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零e．高斯定理对变化电场不适用
解：
高斯面上e处处为零，则只能肯定面内电荷的代数和为零，不能肯定面内一不定无电荷；如高斯面内无电荷，只能说明穿过高斯面的e通量为零，即?
?
?
e?
ds?
0，而一
s
个函数的面积分为零，不能说这个函数一定为零；如高斯面上e处处不为零，但有可能穿过高斯面的总通量为零，如作一个高斯面包围一个电偶极子，则在高斯面上的场强处处不为零，但面内电荷的代数和为零；高斯定理不仅适用于恒定的场，也适用于变化的场。
由此可见（a）、（b）、（c）和（e）项都是错误的。
根据高斯定理?
?
?
e?
ds?
s
1
?
0
?
qin可知（d）
项是正确的，故应选（d）。
*9?
8以下说法中正确的是[]。
a．电场强度相等的地方电势一定相等
b．电势变化率绝对值大的地方场强的绝对值也一定大c．带正电的导体上电势一定为正d．电势为零的导体一定不带电
解：
电场强度和电势是描述电场的两个不同物理量，
电场强度为零表示试验电荷在该点
所受的电场力为零，电势为零的点表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力做功为零，因此电场强度相等的地方电势不一定相等。
电势是一个相对量，某物体电势的高低和电势零点的选择有关，因此带正电的导体上电势不一定为正，电势为零的导体也不一定不带电，如无限长均匀带电圆柱，我们可选圆柱面上一点为电势零点。
由电场强度和电势变化率的关系；el?
?
dv
，可知（b）是正确的，故应选（b）。
dl
9?
9电量q均匀分布在半径为r的球面上，坐标原点位于球心处，现从球面和x轴交点处挖去面元?
s，并把它移至无穷远处（如图9-9所示），若选无穷远为零电势参考点，且将?
s移走后球面上的电荷分布不变，则此球心o点的场强e0和电势u0分别为（注：
i为单位矢量）[]。
a．?
b．c．
2222
i，
q?
s
（1?
）
i，
q?
s
（1?
）
i，?
d．?
i，?
图9-9
解：
球面上被挖去面元?
s，根据场强叠加原理，则球
心o处的场强等于带正电的闭合球面和带负电的面元?
s在该点产生的场强的叠加。
均匀带电闭合圆在在圆心处产生的合场强为零，由于面元?
s很小，可将其视为带电为q?
?
?
?
s?
q4r
2
?
s?
2
的点电荷，它在圆心处产生的场强为
e?
?
2
?
22
方向由圆心指向面元?
s。
球心o处的电势等于带正电的闭合球面在该处的电势产生的电势?
q
?
?
sq?
s
?
?
的叠加，因此
v0?
q?
?
sq?
s
?
?
（1?
）
故选（b）。
9?
10点电荷?
q位于圆心处，a，b，c，d位于同一圆周上，如图9-10。
分别求将一试验电荷q0从a点移到b，c，d各点，则电场力做功是[]。
a．a到b电场力做功最大b．a到c电场力做功最大c．a到d电场力做功最大d．电场力做功一样大
图9–10
a
b
解：
本题是等势面特点的使用。
点电荷?
q的电场中，等势面是以?
q为中心的一同心球面，因为a，b，c，d在同一圆周上，故?
vab?
?
vac?
?
vad?
0。
将试验电荷q0从a点移到b，c，d各点时，电场力不做功，为零。
故应选（d）。
9–11如图9-11所示，真空中边长为a的正方形的四个角，分别放置点电荷q，2q，?
3q，2q（q0），它的正中放着一个正电荷q0，求这个电荷受力的大小和方向。
a
q2qa
q2q
f4aa
q0aaf1
f2q0
f3
a2q-3q
a2q-3q
图9-11图9–12
解：
各点电荷在正方形中心产生的电场方向如图9-12所示，两个2q的点电荷对q0的作用力相抵消，q0所受合力即点电荷q，?
3q对它的库仑力的合力，其大小为：
f?
2
?
2
?
2
?
2
合力的方向：
指向点电荷?
3q。
9–12如图9-13所示，一均匀带电直线长为l，线电荷密度为?
。
求下列各处的电场强度e：
（1）带电直线的延长线上离中心o（直导线中点）为r处的场强;
（2）带电直线的垂直平分线上离中心o为r处的场强;
（3）离带电直线的一端a点垂直距离为r处的场强。
解：
本
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