多边形及其内角和知识点.docx
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多边形及其内角和知识点
知识要点梳理
（定义：
由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形
分类1:
凹多边形
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
丿分类2:
-
多边形\
非正多边形:
1、n边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理
2、任意凸形多边形的外角和等于360°
3、n边形的对角线条数等于1/2n（n-3）
只用一种正多边形:
3、4、6/。
\拼成360度的角
只用一种非正多边形（全等）：
3、4。
知识点一：
多边形及有关概念
1、多边形的定义：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
（1）多边形的一些要素：
边：
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点：
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
内角：
多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：
1一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；
2首尾顺次相连，二者缺一不可；
3理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间
多边形.
2、多边形的分类：
（1）多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸
多边形.
凹多边形
凸多边形
（2）多边形通常还以边数命名，多边形有形是边数最少的多边形.
图1
n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角
各个角都
知识点二：
正多边形
相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
要点诠释:
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边
形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是
正方形
知识点三：
多边形的对角线
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线一条对角线。
.如图2,BD为四边形ABCD的
要点诠释:
（1）从n边形一个顶点可以引（n—3）条对角线，将多边形分成（n—2）个三角形。
（2）n边形共有
条对角线。
n边形，共有
证明：
过一个顶点有n—3条对角线（n>3的正整数），又•••共有n个顶点，.••共有n（n-3）
条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，•••凸
条对角线。
知识点四：
多边形的内角和公式
1.公式
边形的内角和为
2.公式的证明:
证法1:
在
边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共
角形的内角和为
再减去
个周角，即得到
边形的内角和为
证法2:
从
边形一个顶点作对角线，可以作
条对角线，并且
边形被
角形内角和恰好是
边形的内角和，等于
证法3:
在
边形的一边上取一点与各个顶点相连，得
等于这
个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数,
要点诠释:
（1）注意：
以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
（2）内角和定理的应用：
1已知多边形的边数，求其内角和；
2已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：
多边形的外角和公式
1.公式：
多边形的外角和等于360°.
2.多边形外角和公式的证明：
多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以
边形的内角和加外角和为
，外角和等于
•注意：
n
边形的外角和恒等于360。
，它与边数的多少无关。
要点诠释:
（1）外角和公式的应用：
1已知外角度数，求正多边形边数;
2已知正多边形边数，求外角度数
⑵多边形的边数与内角和、
1n边形的内角和等于
1条边，内角和增加
2多边形的外角和等于
外角和的关系：
（n—2）•180°（nA3,n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加
180°。
360。
，与边数的多少无关。
知识点六：
镶嵌的概念和特征
1、定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面镶嵌）。
这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
2、实现镶嵌的条件：
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
（1）用正多边形实现镶嵌的条件：
边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为
（2）只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？
解决问题的关键在于正多边形
的内角特点。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图
形。
360°。
事实上，正n边形的每一个内角为
（或平面
，要求k个正n边形各有一个内角
而k是正整数,
所以n只能取3,4,6。
因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。
注意：
任意四边形的内角和都等于360。
。
所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无
空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
（3）用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周
角”的问题。
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：
又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。
规律方
经典例题透析
类型一：
多边形内角和及外角和定理应用
总结升华：
本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数
方程，求出
的值即可,
这是一种常用的解题思路
举一反三：
【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为
【
【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为
1800°，
2750°
求这个多边形的边数
，求这个多边形的内角和是多少?
【答案】设这个多边形的边数为
，这个内角为
【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为
1350°，求这个多边形的边数。
类型二：
多边形对角线公式的运用
2•某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个
班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？
思路点拨：
本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数.如图：
总结升华：
对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决
举一反三：
【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.
A.6B.7C.8D.9
【变式2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：
对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律
条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才
能记得牢。
类型三：
可转化为多边形内角和问题
3.如图，
思路点拨：
设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解
总结升华：
本题通过作辅助线，把/A与/G的和转化为/1与/2的和，从而把问
举一反三：
【变式1】如图所示，/1+/2+/3+/4+/5+/6=
【变式2】如图所示，求/A+/B+/C+/D+/E+/F的度数。
4.如图，一辆小汽车从
P市出发,
先到B市，再到C市，再到
A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
思路点拨：
根据多边形的外角和定理解决解析：
如图，
•小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转
总结升华：
旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的方向的夹角
过的角度都是360
举一反三：
【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°,…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了m.
【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？
若能，当他走回点A时共走了多少米？
若不能，写出理由。
CD//AE.按规定AB、CD的延长
便知道AB、CD的延长线的夹
【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB//CF,
线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，
角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？
说明理由.
540°,又由AB//CF,CD//AE,
思路点拨：
本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为
可知/BAE+/AEF+/EFC=360。
，从540°中减去80°再减去360°，剩下/C的度数为100°，所以只需测/C的度数即可，同理还可直接测/A的度数.
总结升华：
本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线
类型五：
镶嵌问题
5.分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。
（1）正方形和正八边形；
（2）正三角形和正十二边形；
（3）正三角形、正方形和正六边形。
思路点拨：
只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。
解析：
正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°、90°、120°、135
（1）因为90+2X135=360,所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图
（1）所示。
（2）因为60+2X150=360,所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图⑵所示。
（3）因为60+2X90+120=360,所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图⑶所示。
总结升华：
用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。
举一反三：
【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（）A、①B、②C、③D、④
解析：
用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是则第三块木板的边数应是（）
A、4B、5C、6D、8
【答案】A（提示：
先算出正八边形一个内角的度数，再乘以
块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）
1.A.
2.
A.
3.
A.
4.
2，然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三
8,
A.
5.
多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）
互为余角B.互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角
若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）
九边形B.十边形一个多边形的内角和为
6条B.7条
随着多边形的边数增加B.减小
C.
720°
C.8条
n的增加，
十一边形D.十二边形
，那么这个多边形的对角线条数为（
D.9条
它的外角和（
C.不变D.不定
A.
6.
A.
7.
A.
8,A.
9.
若多边形的外角和等于内角和的和，它的边数是（
3B.4C一个多边形的内角和是五边形B.八边形
一个多边形每个内角为四边形B，五边形
一个多边形每个外角都是
180°B.360°
.5D.7
1800°,那么这个多边形是（C.十边形D.十二边形
108°,则这个多边形（）
C.六边形D.七边形
60°,这个多边形的外角和为（
C.720
n边形的n个内角中锐角最多有（
1个B.2个C.3个D
10.多边形的内角和为它的外角和的
A.
A.
5.
八边形B.九边形C.十边形多边形的一个内角的外角与其余内角的和为
6.
7.
8.
D.1080°
）个.
.4个
4倍，这个多边形是（
D,^一边形
600°，求这个多边形的边数.
n边形的内角和与外角和互比为13：
2，求n.
五边形ABCDE的各内角都相等，且AE=DEAD//CB吗?
将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形?
9.四边形ABCD中,/A+/B=210°/C=4/D.求：
/C或/D的度数.
10.在四边形ABCD中,AB=AC=AD,/DAC=2/BAC求证：
/DBC=2/BDC
、本节学习指导
这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是
省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。
2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
因此命
题可以写成“如果，那么”的形式。
3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。
4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真
所谓正确的命题就是：
如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：
如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶公理：
有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。
其他真
⑷定理：
从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断命题假的依据，这样的命题叫定理。
（5）证明：
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹证明的一般步骤
1根据题意，画出图形。
2根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
3经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过
2、常用数学口诀.
平方差公式：
a2b2（ab）（ab）
口诀：
平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方差公式：
（ab）2a22abb2
完全平方和公式：
（ab）2a22abb2
口诀:
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
证明
知识点一
证明的含义
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
注意：
（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。
（2）证明的过程必须做到步步有据。
知识点二命题的证明
折叠问题
同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。
折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线
翻折180。
，使它与另一部分在这条直线
折叠的性质：
折叠不改变图形的大小和形状，即折叠部分在折叠前后是全等的图形，满足公理“轴反射”反证法
证明几何命题的表述格式：
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。
1、
知识点三
2、知识点四
从命题结论的反面出发，弓I出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
反证法的关键在于反设所证命题的结论。
适用范围：
证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。
（2）从假设出发，经过推理，得
反证法证题步骤：
（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。
例在△ABC中，/A、/B、/C是它的三个内角。
求证：
在/A、/B、/C中不可能有两个直角。
逆命题和逆定理
1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题
的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的
逆定理。
3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。
线段的垂直平分线
1、定理：
线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
2、逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。
角的平分线
1、角的平分线的概念：
从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。
2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。
3、角的平分线性质：
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4、角的平分线性质的逆定理：
在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平
分线上。
5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）至蛹的两边距离相等的点的集合。
直角三角形全等的判定
1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。
2、直角三角形全等的判定定理
定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H丄.）。
直角三角形的性质
直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。
推论1:
勾股定理
两点的距离公式
在直角坐标平面内:
2、y轴或平行于y轴的直线上的两点Q1（x,yj，Q2（x,y2）间的距离Q1Q2
在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、若a=b,则a3b3；
5、若X=a，则x2（ab）xab0；
解：
1、逆命题为：
对应角相等的三角形是全等三角形。
原命题为真命题，逆命题为假命题；逆命题为：
逆命题为：
逆命题为：
逆命题为：
练习.写出下列命题的逆命题.
（1）如果a+b>0,那么a>0,b>0.
（2）如果a>0,那么a2>0.（3）等角的补角相等.⑷对顶角相等
例：
“两直线平行，内错角相等'的题设是—,结论是它是命题
练习
，结论是
1.命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是
二、互逆命题
1.概念：
互逆定理：
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
2.说明：
（1）任可一个命题都有逆命题,它们互为逆命题，“互逆'是指两个命题之间的关系；
⑵把一个命题的题设和结论交换,就得到它的逆命题；
⑶原命题成立,它的逆命题不^定成立,反之亦然.
例1.指出下列命题的题设和结论并写出它们的逆命题
⑴两直线平亍，同旁内角互补；
（2）直角三角形的两个锐角互余⑶对顶角相等.
（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”.
（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命
题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”.
（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”.
名师点金：
当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可.
基础巩固题
1.下列语言是命题的是（）A画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等马
C.延长线段A®C,使OC=QASft线平行，内错角相等_
2.下列命题中真命题的个数是（）①已知直角三角形的面积为2,两直角边的比为1：
2,贝其边为Ji0；、②直角三角形的最大边长为詬,最小边长为1,贝U另一边长为逅；
③在直角三角形中，若两直角边边长为9和4Q贝蝌边长为41④等腰三角形的面积为12底边上的高为4,贝贝要长为5.
A1个B.2个C.3个D4个
下列命题的逆命题是真命题的是（）A直角者湘B.钝角都小于18QC女如果x24y=Q那陆x=y=OD.对顶角相等下列说法中，正确的是（）A.—个定理的逆命题是正确的B.命题妆［果XVQy>Q那陆xyvQ的逆命题是正确的任何命题都有逆命题D定理、公理都应经过证明后才!
稠
下列这些真命题中，其逆命题也真的是（）A.全等三角形的对应角相等B.两个图形关于轴对称,贝贝这两个图形是全等形等边三角形是锐角三角形D直角三角形中，如果一个锐角等于30,那陆它所对的直角边等于斜边的一半C
19-4-7
证明一个命题是假命题的方法有
9.
举说明俩个锐角的和是锐r是假命题。
将命题'所有直角都相等”改写成“如果••…那么•”的形式为
10女口图19——7所示，已知SC的三边长分别为ab,c,且a+b^4,ab=1c=/T4。
试判断MB的形状.探究提高题
11下列说法中，正确的是（）A.每个命题不一定都有逆命题B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题仍是真命题D.假命题的逆命题未必是假命题12下列定理中，没有逆定理的是（）
A内错角相等，两直线平亍B.直角三角形中两锐角互余C.相反数的绝对值相等D同位角相等，两直线平亍拓展延伸题
15下列命题中的真命题是（）A锐角大于它的余角B.锐角大于它僻（角C.钝角大于它iWh角D锐角与钝角之和等于平角
16已知下列命题:
①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补勺两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤mh角的平分线互相垂直.
其中，正确命题的个数为（）A.0个B.1个C2个D.3个中考模拟
例2.某司学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是妆R果一个三角形斜边上勺中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗？
证明下列各个命题
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
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