第八章 非正弦周期信号频谱.docx

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第八章非正弦周期信号频谱

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第八章非正弦周期电流电路和信号的频谱

内容提要

本章首先介绍非正弦周期电流电路的基本概念，本章首先介绍非正弦周期电流电路的基本概念，然后介绍非正弦周期电流电路的分析计算方法。

绍非正弦周期电流电路的分析计算方法。

主要内容有：

主要内容有：

周期函数分解为傅里叶级数；非正弦周期电流、周期函数分解为傅里叶级数；非正弦周期电流、电压的傅里叶级数频谱；非正弦周期电流、电压的有效值平均值和平均功率；有效值、频谱；非正弦周期电流、电压的有效值、平均值和平均功率；非正弦周期电流电路的分析计算方法——谐波分析法；——谐波分析法非正弦周期电流电路的分析计算方法——谐波分析法；电力系统中对称三相电路的高次谐波高次谐波；系统中对称三相电路的高次谐波；傅里叶级数的指数形式及其相应的频谱傅里叶积分及傅里叶变换。

频谱；其相应的频谱；傅里叶积分及傅里叶变换。

目录：

目录：

8.1非正弦周期电流电路的基本概念8.2周期函数分解为傅里叶级数8.3有效值、平均值和平均功率有效值、8.4非正弦周期电流电路的分析计算8.5对称三相电路的高次谐波8.6傅里叶级数的指数形式及其相应的频谱8.7傅里叶积分及傅里叶变换

重点：

重点：

正弦量的表示、相位差；1.正弦量的表示、相位差；正弦量的相量表示；2.正弦量的相量表示；电路定理的相量形式。

3.电路定理的相量形式。

8.1非正弦周期电流电路的基本概念

一电路中的非正弦周期电流

发电机中产生的电压并非标准正弦波；发电机中产生的电压并非标准正弦波；电路中存在非线性元件，正弦激励，响应为非正弦；电路中存在非线性元件，正弦激励，响应为非正弦；电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦；电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦；电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦。

电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦。

同是正弦激励，如果频率不同，作用于同一电路，同是正弦激励，如果频率不同，作用于同一电路，叠加后为非正弦。

非正弦。

二非正弦周期电流电路的分析方法

非正弦电流电路有两种：

非正弦周期电流电路和非正弦电流电路有两种：

非正弦周期电流电路和非正弦非周期电流电路，本章要学习的是前者。

电路，本章要学习的是前者。

分析非正弦周期电流电路的方法，分析非正弦周期电流电路的方法，是运用高等数学中的傅里叶级数将非正弦周期激励展开为一系列不同频率的正弦量之和，将非正弦周期激励展开为一系列不同频率的正弦量之和，然后应用线性电路的叠加定理，让各种频率的正弦量分别作用于电路，电路的叠加定理，让各种频率的正弦量分别作用于电路，计算出它们的响应，最后将这些响应叠加起来就得到非正弦周期激励的总响应。

响应，最后将这些响应叠加起来就得到非正弦周期激励的总响应。

这种分析方法称为谐波分析法。

分析方法称为谐波分析法。

谐波分析法当计算各种频率的正弦量的响应时，当计算各种频率的正弦量的响应时，要用到直流和正弦交流电路的分析方法，这些方法前面已经学习过。

在运用线性电路的叠加定理时，分析方法，这些方法前面已经学习过。

在运用线性电路的叠加定理时，不同频率的电压、电流应如何叠加？

不同频率的电压、电流应如何叠加？

不同频率的激励共同作用下的电路功率应如何计算？

这些问题本章第四节将详细讨论。

功率应如何计算？

这些问题本章第四节将详细讨论。

8.2周期函数分解为傅里叶级数

一周期函数的傅里叶级数形式

周期函数表示为:

周期函数表示为f（t）=f（t+kT）T——周期函数的周期，周期函数的周期，周期函数的周期k=0，1，2，3…如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，则可以展开成级数形式。

如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，则可以展开成级数形式。

电工技术中用到的非正弦周期函数一般都满足狄里赫利条件，电工技术中用到的非正弦周期函数一般都满足狄里赫利条件，故不需要去讨论条件。

要去讨论条件。

周期函数的级数形式为周期函数的级数形式为：

f（t）=a0+（a1cosωt+b1sinωt）+（a2cos2ωt+b2sin2ωt）+L+（akcoskωt+bksinkωt）+L=a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）

k=1∞

傅里叶级数

角频率ω=2π／T。

。

a0、角频率ak、bk——傅里叶系数。

傅里叶系数。

傅里叶系数

傅里叶级数是一个收敛的无穷级数，随着取值的增大取值的增大A的值减小。

傅里叶级数是一个收敛的无穷级数，随着k取值的增大km的值减小。

是一个收敛的无穷级数k取值越大，三角级数越接近周期函数（t），当k为无穷时，三角级数就能取值越大，为无穷时，取值越大三角级数越接近周期函数f，为无穷时准确代表周期函数f取值的增大计算量也随之增大。

准确代表周期函数（t）。

但随着取值的增大计算量也随之增大。

。

但随着k取值的增大计算量也随之增大实际运算时三角级数应取多少项，实际运算时三角级数应取多少项，要根据计算精度要求和级数的收敛快慢而定。

快慢而定。

在工程计算中，一般取式中的前几项就可以满足精度要求了，后边的在工程计算中，一般取式中的前几项就可以满足精度要求了，更高次项谐波可以忽略不计。

更高次项谐波可以忽略不计。

二

如何确定傅里叶系数

１．由计算公式；由计算公式；２．查表（数学手册或电工手册）查表（数学手册或电工手册）

三几种特殊的周期函数

在电工技术和电子技术中常遇到的非正弦周期函数波形往往具有某种对称性利用这些性质，可以使傅里叶系数的计算得到简化，对称性，某种对称性，利用这些性质，可以使傅里叶系数的计算得到简化，下面我们对几种特殊的波形进行分析。

特殊的波形进行分析面我们对几种特殊的波形进行分析。

波形在横轴的上下面积相等，无支流分量）波形在横轴的上下面积相等，a0=0,（无支流分量无支流分量

偶函数：

偶函数：

f（t）=f（-t）特点：

对称于纵轴，图特点：

对称于纵轴，见（图8-2a）

奇函数：

奇函数：

f（t）=-f（-t）特点：

对称于原点。

特点：

对称于原点。

见（图8-2b）图

图8-2a

图8-2b

奇谐波函数：

奇谐波函数：

f（t）=f（t＋T/2）特点：

镜对称。

图特点：

镜对称。

见（图8-2c）

偶谐波函数：

偶谐波函数：

f（t）=f（t＋T/2）特点：

后半周是前半周的重复。

图特点：

后半周是前半周的重复。

见（图8-2d）

图8-2c

图8-2d

注意：

注意：

1．奇偶函数与波形有关，与时间的起点的选择有关。

．奇偶函数与波形有关，与时间的起点的选择有关。

2.奇谐波、偶谐波函数，只与波形有关。

奇谐波、偶谐波函数，只与波形有关。

8.3

有效值、有效值、平均值和平均功率

非正弦周期电流、一非正弦周期电流、电压的有效值

前面我们已经学习了正弦电流有效值的定义式:

前面我们已经学习了正弦电流有效值的定义式

I=1T

∫

T

0

i2dt

设i（t）=I0+I1msin（ωt+ψ1）+I2msin（2ωt+ψ2）

+I3msin（3ωt+ψ3）+L

将该式代入电流有效值的定义式：

将该式代入电流有效值的定义式：

I=1T[I0+I1msin（ωt+ψ1）+I2msin（2ωt+ψ2）+I3msin（3ωt+ψ3）+…]2dtT∫0

二平均值

由平均值的概念，一个周期函数f由平均值的概念，一个周期函数（t）的平均值：

1的平均值：

的平均值

T

∫

T0

f（t）dt

即傅里叶系数a或者A这也就是非正弦周期函数的直流分量直流分量。

即傅里叶系数0或者0，这也就是非正弦周期函数的直流分量。

在电工技术和电子技术中，为了描述交流电压、在电工技术和电子技术中，为了描述交流电压、电流经过整流后的特将平均值定义为取绝对值之后的平均值。

性，将平均值定义为取绝对值之后的平均值。

以电流为例

Iav1=T

T0

∫

|f（t）|dt

设正弦电流i（t）=Imsinωt全波整流后的波形，如图8-1（b）所示。

所示。

则Imsinωt就是i（t）全波整流后的波形，如图所示

T1T2Iav=∫|Imsint|dt=Im∫2sinωtdt0T0T2I=m=0.637Im=0.898I

π

即

I=

Iav=1.11Iav0.898

正弦交流电的平均值就是指的取绝对值之后的平均值。

正弦交流电的平均值就是指的取绝对值之后的平均值。

例8-3

一个矩形波电源u加在电阻R两端如图8-6所示已知U两端，所示。

一个矩形波电源（t）加在电阻两端，如图所示。

已知m=100V，，现在分别用磁电系电压表、现在分别用磁电系电压表、电磁系电压表及整流式电压表测量电阻电压u（t），求各种表的读数。

，求各种表的读数。

解：

磁电系电压表测出的是电压磁电系电压表测出的是电压u（t）测出的是电压的直流分量，由于电压u的直流分量，由于电压（t）的波形在的波形在横轴的上下面积相等，横轴的上下面积相等，即a0=0，所以，磁电系电压表的读数为零。

磁电系电压表的读数为零。

（a）矩形波电源

电磁系电压表测出的是电压（t）电磁系电压表测出的是电压u测出的是电压的有效值，根据有效值定义：

的有效值，根据有效值定义：

U=1T

∫

T

0

u（t）dt=

2

2T

∫

T20

Umdt=Um=100V

2

所以电磁系电压表的读数为100V。

所以电磁系电压表的读数为。

求整流式电压表的读数，应先计整流式电压表的读数，的读数算出电压u的平均值U算出电压（t）的平均值av．的平均值

（b）测电阻电压

Uav1=T

∫

T

0

2T|u（t）|dt=∫2Umdt=Um=100VT0

所以整流式电压表的读数为：

所以整流式电压表的读数为：

1.11Uav=1.11×100=111V

三

非正弦周期电流电路的平均功率

由平均功率的定义：

由平均功率的定义：

P=1T

∫

T

0

p（t）dt=

1T

∫

T

0

u（t）i（t）dt

将电压和电流的傅里叶级展开式代入上式，将电压和电流的傅里叶级展开式代入上式，其中：

其中：

p（t）=u（t）i（t）=[U0+

[I0+

∑U

k=1ki

∞

km

sin（kωt+ψ

ku

）]×

∑

∞

k=1

Ikmsin（kωt+ψ

）]

用类似于计算非正弦周期函数的有效值一样的积分，用类似于计算非正弦周期函数的有效值一样的积分，对于不同频率的电压、电流之积的积分为零；而同频率的电压、电流之积的积分不为零。

电压、电流之积的积分为零；而同频率的电压、电流之积的积分不为零。

可以得到：

可以得到：

P=U0I0+U1I1cos?

1+U2I2cos?

2+L+UkIkcos?

k+L=P0+P+P2+L+Pk+L1

Uk,Ik——第k次电压、电流谐波分量的有效值，次电压、第次电压电流谐波分量的有效值，

次电压电流谐波分量的相位差，k——第k次电压电流谐波分量的相位差，第次电压电流谐波分量的相位差

Pk——第k次谐波分量的平均功率。

次谐波分量的平均功率。

第次谐波分量的平均功率

由上述分析结果表明只有同频率的电压、由上述分析结果表明只有同频率的电压、电流谐波分量才构成平均功率，不同频率的电压、分量才构成平均功率，不同频率的电压、电流谐波分量不构成平均功率；非正弦周期电流电路的平均功率等于各次构成平均功率；谐波平均功率之和。

谐波平均功率之和。

8.4

非正弦周期电流电路的分析计算

一非正弦周期电流电路的计算步骤

正弦激励作用于线性稳态电路时，正弦激励作用于线性稳态电路时，电路中各条支路的响应也是同频率的正弦量。

在这个前提下，正弦交流电路的分析计算采用了相量法相量法。

的正弦量。

在这个前提下，正弦交流电路的分析计算采用了相量法。

当非正弦激励作用于线性稳态电路时，将激励作适当处理之后，当非正弦激励作用于线性稳态电路时，将激励作适当处理之后，仍然可以沿用已经介绍过的线性稳态电路的分析计算方法线性稳态电路的分析计算方法。

可以沿用已经介绍过的线性稳态电路的分析计算方法。

?

非正弦周期电流电路的分析计算的具体步骤非正弦周期电流电路的分析计算的具体步骤非正弦周期电流电路的分析

（1）将非正弦激励展开成为傅里叶级数。

）将非正弦激励展开成为傅里叶级数。

即将非正弦函数展开成为直流分量和各次谐波分量之和，即将非正弦函数展开成为直流分量和各次谐波分量之和，谐波分量取多少项应根据工程要求而定。

量取多少项应根据工程要求而定。

（2）分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时各条支路的响应。

）分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时各条支路的响应。

当直流分量作用于电路时，采用直流稳态电路的计算方法；当直流分量作用于电路时，采用直流稳态电路的计算方法；当各次谐波分量作用于电路时，采用交流稳态电路的计算方法——相量法。

相量法。

谐波分量作用于电路时，采用交流稳态电路的计算方法相量法叠加原理，（3）运用叠加原理，将属于同一条支路的直流分量和各次谐波分量作）运用叠加原理用产生的响应叠加在一起，这就是非正弦激励在该支路产生的响应。

产生的响应叠加在一起，这就是非正弦激励在该支路产生的响应。

二

应注意的问题

由于非正弦周期电流电路具有其特殊性，在电路计算时应注意注意以由于非正弦周期电流电路具有其特殊性，在电路计算时应注意以下问题：

下问题：

（1）当直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路，电容）当直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路，相当于开路。

相当于开路。

（2）当各次谐波分量作用于电路时，不同频率的激励不能放在一起）当各次谐波分量作用于电路时，运算。

运算。

因为电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值，因为电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值，对于基波呈现的感抗值为ωL，而对于k次谐波呈现的感例如：

电感L对于基波呈现的感抗值为例如：

电感对于基波呈现的感抗值为，而对于次谐波呈现的感抗值为kωL；抗值为；电容C对于基波呈现的容抗值为电容对于基波呈现的容抗值为

1ωC1而对于k次谐波呈现的容抗值为而对于次谐波呈现的容抗值为kωC

这就是说，随着谐波频率的升高，感抗值增大，容抗值减小。

这就是说，随着谐波频率的升高，感抗值增大，容抗值减小。

的电路中，（3）在含有电感、电容的电路中，可能对于某一频率的谐波分量）在含有电感L、电容C的电路中发生串联谐振或并联谐振，计算过程中应注意。

发生串联谐振或并联谐振，计算过程中应注意。

三滤波器的基本概念

由以上例题分析计算的结果可知，由以上例题分析计算的结果可知，四次谐波分量的幅值仅为直流分量的0.387％，六次谐波分量电压幅值与直流分量的比值就更小，故可％，六次谐波分量电压幅值与直流分量的比值就更小量的％，六次谐波分量电压幅值与直流分量的比值就更小，以忽略不计。

全波整流输出电压u经过L、组成的滤波电路之后组成的滤波电路之后，以忽略不计。

全波整流输出电压（t）经过、C组成的滤波电路之后，负载电阻R两端电压有效值为负载电阻两端电压有效值为200.35V，基本上接近于直流分量，也就，基本上接近于直流分量，两端电压有效值为是说，该滤波电路具有允许直流分量（零次谐波）是说，该滤波电路具有允许直流分量（零次谐波）通过而阻止高次谐波低通滤波器。

通过的功能，习惯上称它为低通滤波器通过的功能，习惯上称它为低通滤波器。

利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大，电容随着谐波频率的升利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大，高容抗值减小这一特点，可以将电感和电容组成各种不同的滤波电路，高容抗值减小这一特点，可以将电感和电容组成各种不同的滤波电路，把电路接在输入和输出之间，把电路接在输入和输出之间，让某些需要的谐波通过而抑制某些不需要的谐波。

滤波电路广泛地运用在电子电路中，按其功能分为低通滤波器的谐波。

滤波电路广泛地运用在电子电路中，按其功能分为低通滤波器高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。

按其接线方式又分为T型、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。

按其接线方式又分为型滤π波器、型滤波器。

波器、型滤波器和Γ型滤波器。

例8-6

已知无源网络N的入端电压为已知无源网络的入端电压为u（t）=100sin314t+50sin（942t-30°）V，，可以看作R、入端电流为i（t）=10sin314t+1.755sin（942t+θ3）A，如果可以看作、，如果N可以看作L、C串联电路，串联电路，、串联电路试求：

试求：

i（t）无的值；

（1）R、L、C的值；）的值+源u（t）网

（2）θ3的值；）的值；络消耗的有功功率。

（3）无源网络消耗的有功功率。

）无源网络N消耗的有功功率

解：

（1））电压

ωL=

电压作，

网络，电流为串联为串联，

（1）

Z（3）=

50/2=28.5?

1.755/2

11→314L=,ωC314CU100÷2=10?

R=

（1）=I

（1）10÷2

：

Z（3）=R2+（942L?

（2）

（2），

28.52=102+（942×

12）=28.5?

942C

112?

）3142C942C

的

电压作：

网络

（1）

C=318.3μF,L=31.9mH

（2）三次谐波作用时的复阻抗）

&U（3）=50∠?

300V

Z（3）=10+j（942×31.9×10?

3?

1）942×318.3×10?

6=10+j（30?

3.3）=28.5∠69.46o?

&U（3）Z（3）50∠?

300=1.755∠?

99.46oA028.5∠69.46

&I（3）=

θ3=?

99.46o

（3）无源网络消耗的有功功率）无源网络N消耗的有功功率

P=U1I1cos?

1+U3I3cos?

3

10010501.755×cos00+×cos[?

300?

（?

99.460）]2222=500+15.4=515.4W=

也可以用另外的公式计算无源网络N消耗的有功功率。

流入无源网络N也可以用另外的公式计算无源网络N消耗的有功功率。

流入无源网络N的电流有效值为：

电流有效值为：

I=1021.7552+=7.18A22

P=I2R=7.182×10=515.4W

8.5对称三相电路的高次谐波

一三相发电机产生的高次谐波电压

由于同步发电机的定子与转子之间的气隙中，磁感应强度的分布由于同步发电机的定子与转子之间的气隙中，磁感应强度B的分布曲线并不是标准的正弦函数，而是一个奇谐波函数。

曲线并不是标准的正弦函数，而是一个奇谐波函数。

发电机定子绕组的感应电势e感应电势=BLV，感应电势的波形也是一个奇谐波函数。

也就是说发，感应电势e的波形也是一个奇谐波函数。

电机输出的电压并不是标准的正弦电压，还含有奇次项的高次谐波。

电机输出的电压并不是标准的正弦电压，还含有奇次项的高次谐波。

发电机输出的三相电压表示为：

发电机输出的三相电压表示为：

uA=u（t）,uB=u（t–T/3），uC=u（t–2T/3）T——基波的周期。

——基波的周期基波的周期。

由于发电机输出的三相电压为奇谐波函数，其展开式为:

由于发电机输出的三相电压为奇谐波函数，其展开式为

uA=U1msin（ωt+ψ1）+U3msin（3ωt+ψ3）+U5msin（5ωt+ψ5）+U7msin（7ωt+ψ7）+L

uB=U1msin[ω（t?

TTT）+ψ1）]+U3msin[3ω（t?

）+ψ3]+U5msin[5ω（t?

）+ψ5]333T+U7msin[7ω（t?

）+ψ7]+L3

uC=U1msin[ω（t?

2T2T2T）+ψ1）]+U3msin[3ω（t?

）+ψ3]+U5msin[5ω（t?

）+ψ5]3332T+U7msin[7ω（t?

）+ψ7]+L3

因为ω因为T=2π，即T=2π/ω。

，将此代入u将此代入B、uC的表达式：

2π+ψ1）+U3msin（3ωt+ψ3）34π2π+U5msin（5ωt?

+ψ5）+U7msin（7ωt?

+ψ7）+L334πuC=U1msin（ωt?

+ψ1）+U3msin（3ωt+ψ3）32π4π+U5msin（5ωt?

+ψ5）+U7msin（7ωt?

+ψ7）+L33uB=U1msin（ωt?

取以上uA、uB、uC三相电压的同次谐波进行比较：

三相电压的同次谐波进行比较：

取以上基波、七次谐波（十三次谐波、十九次谐波等）