第八章 非正弦周期信号频谱.docx

1、第八章 非正弦周期信号频谱 本文由xl369015813贡献 ppt文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 第八章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 内容提要 本章首先介绍非正弦周期电流电路的基本概念， 本章首先介绍非正弦周期电流电路的基本概念，然后介 绍非正弦周期电流电路的分析计算方法。 绍非正弦周期电流电路的分析计算方法。 主要内容有： 主要内容有： 周期函数分解为傅里叶级数；非正弦周期电流、 周期函数分解为傅里叶级数；非正弦周期电流、电压的 傅里叶级数 频谱；非正弦周期电流、电压的有效值 平均值和平均功率； 有效值、 频谱；非正弦周期电流、电压的有效

2、值、平均值和平均功率； 非正弦周期电流电路的分析计算方法谐波分析法； 谐波分析法 非正弦周期电流电路的分析计算方法谐波分析法；电力 系统中对称三相电路的高次谐波 高次谐波； 系统中对称三相电路的高次谐波；傅里叶级数的指数形式及 其相应的频谱 傅里叶积分及傅里叶变换。 频谱； 其相应的频谱；傅里叶积分及傅里叶变换。 目录： 目录： 8.1 非正弦周期电流电路的基本概念 8.2 周期函数分解为傅里叶级数 8.3 有效值、平均值 和 平均功率 有效值、 8.4 非正弦周期电流电路的分析计算 8.5 对称三相电路的高次谐波 8.6 傅里叶级数的指数形式及其相应的频谱 8.7 傅里叶积分及傅里叶变换 重

3、点： 重点： 正弦量的表示、相位差； 1. 正弦量的表示、相位差； 正弦量的相量表示； 2. 正弦量的相量表示； 电路定理的相量形式。 3. 电路定理的相量形式。 8.1 非正弦周期电流电路的基本概念 一 电路中的非正弦周期电流 发电机中产生的电压并非标准正弦波； 发电机中产生的电压并非标准正弦波； 电路中存在非线性元件，正弦激励，响应为非正弦； 电路中存在非线性元件，正弦激励，响应为非正弦； 电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦； 电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦； 电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦。 电子电路、无线电工程中传送的信号多为非正弦。 同是正弦激励，如果

4、频率不同，作用于同一电路， 同是正弦激励，如果频率不同，作用于同一电路，叠加后为 非正弦。 非正弦。 二 非正弦周期电流电路的分析方法 非正弦电流电路有两种：非正弦周期电流电路和 非正弦电流电路有两种：非正弦周期电流电路和非正弦非周期电流 电路，本章要学习的是前者。 电路，本章要学习的是前者。 分析非正弦周期电流电路的方法， 分析非正弦周期电流电路的方法，是运用高等数学中的傅里叶级数 将非正弦周期激励展开为一系列不同频率的正弦量之和， 将非正弦周期激励展开为一系列不同频率的正弦量之和，然后应用线性 电路的叠加定理，让各种频率的正弦量分别作用于电路， 电路的叠加定理，让各种频率的正弦量分别作用于

5、电路，计算出它们的 响应，最后将这些响应叠加起来就得到非正弦周期激励的总响应。 响应，最后将这些响应叠加起来就得到非正弦周期激励的总响应。这种 分析方法称为谐波分析法。 分析方法称为谐波分析法。 谐波分析法 当计算各种频率的正弦量的响应时， 当计算各种频率的正弦量的响应时，要用到直流和正弦交流电路的 分析方法，这些方法前面已经学习过。在运用线性电路的叠加定理时， 分析方法，这些方法前面已经学习过。在运用线性电路的叠加定理时， 不同频率的电压、电流应如何叠加？ 不同频率的电压、电流应如何叠加？不同频率的激励共同作用下的电路 功率应如何计算？这些问题本章第四节将详细讨论。 功率应如何计算？这些问题

6、本章第四节将详细讨论。 8.2 周期函数分解为傅里叶级数 一 周期函数的傅里叶级数形式 周期函数表示为: 周期函数表示为 f (t ) = f (t + kT) T周期函数的周期， 周期函数的周期， 周期函数的周期 k= 0，1，2，3 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，则可以展开成级数形式。 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，则可以展开成级数形式。 电工技术中用到的非正弦周期函数一般都满足狄里赫利条件， 电工技术中用到的非正弦周期函数一般都满足狄里赫利条件，故不需 要去讨论条件。 要去讨论条件。 周期函数的级数形式为 周期函数的级数形式为： f (t ) = a 0 + ( a1 cos

7、 t + b1 sin t ) + ( a 2 cos 2 t + b2 sin 2 t ) + L + ( a k cos k t + bk sin k t ) +L = a 0 + ( a k cos k t + bk sin k t ) k =1 傅里叶级数 角频率=2T。 。 a0、 角频率 ak、bk傅里叶系数。 傅里叶系数。 傅里叶系数 傅里叶级数是一个收敛的无穷级数，随着 取值的增大 取值的增大A 的值减小。 傅里叶级数是一个收敛的无穷级数，随着k取值的增大 km的值减小。 是一个收敛的无穷级数 k取值越大，三角级数越接近周期函数 ( t )，当k为无穷时，三角级数就能 取值越大

8、， 为无穷时， 取值越大 三角级数越接近周期函数f ， 为无穷时 准确代表周期函数f 取值的增大计算量也随之增大。 准确代表周期函数 ( t )。但随着 取值的增大计算量也随之增大。 。但随着k取值的增大计算量也随之增大 实际运算时三角级数应取多少项， 实际运算时三角级数应取多少项，要根据计算精度要求和级数的收敛 快慢而定。 快慢而定。 在工程计算中，一般取式中的前几项就可以满足精度要求了，后边的 在工程计算中，一般取式中的前几项就可以满足精度要求了， 更高次项谐波可以忽略不计。 更高次项谐波可以忽略不计。 二 如何确定傅里叶系数 由计算公式； 由计算公式； 查表（数学手册或电工手册） 查表（

9、数学手册或电工手册） 三 几种特殊的周期函数 在电工技术和电子技术中常遇到的非正弦周期函数波形往往具有 某种对称性 利用这些性质，可以使傅里叶系数的计算得到简化， 对称性， 某种对称性，利用这些性质，可以使傅里叶系数的计算得到简化，下 面我们对几种特殊的波形进行分析。 特殊的波形进行分析 面我们对几种特殊的波形进行分析。 波形在横轴的上下面积相等， 无支流分量) 波形在横轴的上下面积相等，a0=0,(无支流分量 无支流分量 偶函数： 偶函数： f ( t ) = f ( - t ) 特点：对称于纵轴， 图 特点：对称于纵轴，见(图8-2a) 奇函数： 奇函数： f ( t ) = - f (-

10、t ) 特点：对称于原点。 特点：对称于原点。 见(图8-2b) 图 图8-2a 图8-2b 奇谐波函数： 奇谐波函数： f ( t ) = f (tT/2 ) 特点：镜对称。 图 特点：镜对称。见(图8-2c) 偶谐波函数： 偶谐波函数： f ( t ) = f (tT/2 ) 特点：后半周是前半周的重复。 图 特点：后半周是前半周的重复。见(图8-2d) 图8-2c 图8-2d 注意： 注意： 1奇偶函数与波形有关，与时间的起点的选择有关。 奇偶函数与波形有关，与时间的起点的选择有关。 2. 奇谐波、偶谐波函数，只与波形有关。 奇谐波、偶谐波函数，只与波形有关。 8.3 有效值、 有效值、

11、平均值和平均功率 非正弦周期电流、 一 非正弦周期电流、电压的有效值 前面我们已经学习了正弦电流有效值的定义式: 前面我们已经学习了正弦电流有效值的定义式 I= 1 T T 0 i 2 dt 设 i (t ) = I 0 + I1m sin(t + 1 ) + I 2 m sin( 2t + 2 ) + I 3m sin( 3t + 3 ) + L 将该式代入电流有效值的定义式： 将该式代入电流有效值的定义式： I= 1 T I 0 + I1m sin(t + 1 ) + I 2m sin(2t + 2 ) + I 3m sin(3t + 3 ) + 2 dt T 0 二 平均值 由平均值的概

12、念， 一个周期函数f 由平均值的概念， 一个周期函数 ( t )的平均值： 1 的平均值： 的平均值 T T 0 f ( t ) dt 即傅里叶系数a 或者A 这也就是非正弦周期函数的直流分量 直流分量。 即傅里叶系数 0或者 0，这也就是非正弦周期函数的直流分量。 在电工技术和电子技术中，为了描述交流电压、 在电工技术和电子技术中，为了描述交流电压、电流经过整流后的特 将平均值定义为取绝对值之后的平均值。 性，将平均值定义为取绝对值之后的平均值。 以电流为例 I av 1 = T T 0 | f ( t ) | dt 设正弦电流 i ( t ) = I m sin t 全波整流后的波形，如图

13、8-1(b)所示。 所示。 则 I m sin t 就是 i(t ) 全波整流后的波形，如图 所示 T 1 T 2 I av = | I m sin t | dt = I m 2 sin tdt 0 T 0 T 2I = m = 0.637 I m = 0.898 I 即 I= I av = 1 .11 I av 0 .898 正弦交流电的平均值就是指的取绝对值之后的平均值。 正弦交流电的平均值就是指的取绝对值之后的平均值。 例8-3 一个矩形波电源u 加在电阻R两端 如图8-6所示 已知U 两端， 所示。 一个矩形波电源 ( t ) 加在电阻 两端，如图 所示。已知 m=100V， ， 现在

14、分别用磁电系电压表、 现在分别用磁电系电压表、电磁系电压表及整流式电压表测量电阻电 压u ( t )，求各种表的读数。 ，求各种表的读数。 解： 磁电系电压表测出的是电压 磁电系电压表测出的是电压u ( t ) 测出的是电压 的直流分量，由于电压u 的直流分量，由于电压 ( t )的波形在 的波形在 横轴的上下面积相等， 横轴的上下面积相等，即a0 = 0，所以 ， 磁电系电压表的读数为零。 磁电系电压表的读数为零。 (a) 矩形波电源 电磁系电压表测出的是电压 ( t ) 电磁系电压表测出的是电压u 测出的是电压 的有效值，根据有效值定义： 的有效值，根据有效值定义： U = 1 T T 0

15、 u ( t ) dt = 2 2 T T 2 0 U m dt = U m = 100 V 2 所以电磁系电压表的读数为100 V。 所以电磁系电压表的读数为 。 求整流式电压表的读数，应先计 整流式电压表的读数， 的读数 算出电压u 的平均值U 算出电压 ( t )的平均值 av 的平均值 (b) 测电阻电压 U av 1 = T T 0 2 T | u ( t ) | dt = 2 U m dt = U m = 100 V T 0 所以整流式电压表的读数为： 所以整流式电压表的读数为：1.11 Uav=1.11100= 111 V 三 非正弦周期电流电路的平均功率 由平均功率的定义： 由

16、平均功率的定义： P= 1 T T 0 p ( t ) dt = 1 T T 0 u ( t ) i ( t ) dt 将电压和电流的傅里叶级展开式代入上式， 将电压和电流的傅里叶级展开式代入上式， 其中： 其中： p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = U 0 + I0 + U k =1 ki km sin( k t + ku ) k =1 I km sin( k t + ) 用类似于计算非正弦周期函数的有效值一样的积分， 用类似于计算非正弦周期函数的有效值一样的积分，对于不同频率的 电压、电流之积的积分为零；而同频率的电压、电流之积的积分不为零。 电压、电流之积的积分为零；

17、而同频率的电压、电流之积的积分不为零。 可以得到： 可以得到： P = U 0 I 0 + U1 I1 cos ?1 + U 2 I 2 cos ? 2 + L + U k I k cos ? k + L = P0 + P + P2 + L + Pk + L 1 U k , I k 第k次电压、电流谐波分量的有效值， 次电压、 第 次电压 电流谐波分量的有效值， 次电压电流谐波分量的相位差， k 第k次电压电流谐波分量的相位差， 第 次电压电流谐波分量的相位差 Pk 第k次谐波分量的平均功率。 次谐波分量的平均功率。 第 次谐波分量的平均功率 由上述分析结果表明只有同频率的电压、 由上述分析结

18、果表明只有同频率的电压、电流谐波 分量才构成平均功率，不同频率的电压、 分量才构成平均功率，不同频率的电压、电流谐波分量不 构成平均功率；非正弦周期电流电路的平均功率等于各次 构成平均功率； 谐波平均功率之和。 谐波平均功率之和。 8.4 非正弦周期电流电路的分析计算 一 非正弦周期电流电路的计算步骤 正弦激励作用于线性稳态电路时， 正弦激励作用于线性稳态电路时，电路中各条支路的响应也是同频率 的正弦量。在这个前提下，正弦交流电路的分析计算采用了相量法 相量法。 的正弦量。在这个前提下，正弦交流电路的分析计算采用了相量法。 当非正弦激励作用于线性稳态电路时，将激励作适当处理之后， 当非正弦激励

19、作用于线性稳态电路时，将激励作适当处理之后，仍然 可以沿用已经介绍过的线性稳态电路的分析计算方法 线性稳态电路的分析计算方法。 可以沿用已经介绍过的线性稳态电路的分析计算方法。 ?非正弦周期电流电路的分析计算的具体步骤 非正弦周期电流电路的分析计算的具体步骤 非正弦周期电流电路的分析 （1）将非正弦激励展开成为傅里叶级数。 ）将非正弦激励展开成为傅里叶级数。 即将非正弦函数展开成为直流分量和各次谐波分量之和， 即将非正弦函数展开成为直流分量和各次谐波分量之和，谐波分 量取多少项应根据工程要求而定。 量取多少项应根据工程要求而定。 （2）分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时各条支路的响应。

20、 ）分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时各条支路的响应。 当直流分量作用于电路时，采用直流稳态电路的计算方法； 当直流分量作用于电路时，采用直流稳态电路的计算方法；当各次 谐波分量作用于电路时，采用交流稳态电路的计算方法相量法。 相量法。 谐波分量作用于电路时，采用交流稳态电路的计算方法 相量法 叠加原理， （3）运用叠加原理，将属于同一条支路的直流分量和各次谐波分量作 ）运用叠加原理 用 产生的响应叠加在一起，这就是非正弦激励在该支路产生的响应。 产生的响应叠加在一起，这就是非正弦激励在该支路产生的响应。 二 应注意的问题 由于非正弦周期电流电路具有其特殊性，在电路计算时应注意 注意以

21、 由于非正弦周期电流电路具有其特殊性，在电路计算时应注意以 下问题： 下问题： （1）当直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路，电容 ）当直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路， 相当于开路。 相当于开路。 （2）当各次谐波分量作用于电路时，不同频率的激励不能放在一起 ）当各次谐波分量作用于电路时， 运算。 运算。 因为电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值， 因为电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值， 对于基波呈现的感抗值为L，而对于k次谐波呈现的感 例如： 电感L对于基波呈现的感抗值为 例如： 电感 对于基波呈现的感抗值为 ，而对于 次谐波呈现的感 抗值为kL； 抗值为

22、； 电容C对于基波呈现的容抗值为 电容 对于基波呈现的容抗值为 1 C 1 而对于k次谐波呈现的容抗值为 而对于 次谐波呈现的容抗值为 kC 这就是说，随着谐波频率的升高，感抗值增大，容抗值减小。 这就是说，随着谐波频率的升高，感抗值增大，容抗值减小。 的电路中， （3）在含有电感 、电容 的电路中，可能对于某一频率的谐波分量 ）在含有电感L、电容C的电路中 发生串联谐振或并联谐振，计算过程中应注意。 发生串联谐振或并联谐振，计算过程中应注意。 三 滤波器的基本概念 由以上例题分析计算的结果可知， 由以上例题分析计算的结果可知，四次谐波分量的幅值仅为直流分 量的0.387，六次谐波分量电压幅值

23、与直流分量的比值就更小，故可 ，六次谐波分量电压幅值与直流分量的比值就更小 量的 ，六次谐波分量电压幅值与直流分量的比值就更小， 以忽略不计。全波整流输出电压u 经过L、 组成的滤波电路之后 组成的滤波电路之后， 以忽略不计。全波整流输出电压 ( t ) 经过 、C组成的滤波电路之后， 负载电阻R两端电压有效值为 负载电阻 两端电压有效值为200.35 V，基本上接近于直流分量，也就 ，基本上接近于直流分量， 两端电压有效值为 是说，该滤波电路具有允许直流分量（零次谐波） 是说，该滤波电路具有允许直流分量（零次谐波）通过而阻止高次谐波 低通滤波器。 通过的功能，习惯上称它为低通滤波器 通过的功

24、能，习惯上称它为低通滤波器。 利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大，电容随着谐波频率的升 利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大， 高容抗值减小这一特点，可以将电感和电容组成各种不同的滤波电路， 高容抗值减小这一特点，可以将电感和电容组成各种不同的滤波电路， 把电路接在输入和输出之间， 把电路接在输入和输出之间，让某些需要的谐波通过而抑制某些不需要 的谐波。滤波电路广泛地运用在电子电路中，按其功能分为低通滤波器 的谐波。滤波电路广泛地运用在电子电路中，按其功能分为低通滤波器 高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。按其接线方式又分为T型 、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。按其接线方式又分为 型滤

25、 波器、 型滤波器。 波器、 型滤波器和 型滤波器。 例8-6 已知无源网络N的入端电压为 已知无源网络 的入端电压为 u ( t )= 100 sin 314 t + 50 sin ( 942 t -30)V， ， 可以看作R、 入端电流为 i ( t ) = 10 sin 314 t + 1.755 sin (942 t +3 )A，如果 可以看作 、 ，如果N可以看作 L、C串联电路， 串联电路， 、 串联电路 试求： 试求： i (t ) 无 的值； （1）R、L、C的值； ） 的值 + 源 u (t ) 网 （2）3的值； ） 的值； 络 消耗的有功功率。 （3）无源网络 消耗的有功

26、功率。 ）无源网络N消耗的有功功率 解： （1） ） 电压 L = 电压作 ， 网络 ，电流 为串联 为串联 ， (1) Z (3) = 50 / 2 = 28.5? 1.755 / 2 1 1 314 L = , C 314 C U 100 2 = 10 ? R = (1) = I (1) 10 2 ： Z ( 3) = R 2 + (942 L ? (2) (2) ， 28.52 = 102 + (942 1 2 ) = 28 .5? 942 C 1 1 2 ? ) 3142 C 942C 的 电压作 ： 网络 (1) C = 318.3 F , L = 31.9mH （2）三次谐波作用时

27、的复阻抗 ） & U (3) = 50 ? 30 0 V Z (3) = 10 + j (942 31.9 10 ?3 ? 1 ) 942 318.3 10 ?6 = 10 + j (30 ? 3.3) = 28.569.46o ? & U (3) Z (3) 50 ? 300 = 1.755 ? 99.46o A 0 28.569.46 & I (3) = 3 = ?99.46o （3）无源网络 消耗的有功功率 ）无源网络N消耗的有功功率 P = U1I1 cos ?1 + U3 I3 cos ?3 100 10 50 1.755 cos 0 0 + cos ? 30 0 ? ( ? 99.

28、46 0 ) 2 2 2 2 = 500 + 15.4 = 515.4W = 也可以用另外的公式计算无源网络N消耗的有功功率。流入无源网络N 也可以用另外的公式计算无源网络N消耗的有功功率。流入无源网络N的 电流有效值为： 电流有效值为： I = 1 0 2 1 .7 5 5 2 + = 7 .1 8 A 2 2 P = I 2 R = 7.182 10 = 515.4W 8.5 对称三相电路的高次谐波 一 三相发电机产生的高次谐波电压 由于同步发电机的定子与转子之间的气隙中，磁感应强度 的分布 由于同步发电机的定子与转子之间的气隙中，磁感应强度B的分布 曲线并不是标准的正弦函数，而是一个奇谐

29、波函数。 曲线并不是标准的正弦函数，而是一个奇谐波函数。发电机定子绕组的 感应电势e 感应电势 = BLV，感应电势 的波形也是一个奇谐波函数。也就是说发 ，感应电势e 的波形也是一个奇谐波函数。 电机输出的电压并不是标准的正弦电压，还含有奇次项的高次谐波。 电机输出的电压并不是标准的正弦电压，还含有奇次项的高次谐波。 发电机输出的三相电压表示为： 发电机输出的三相电压表示为： uA = u ( t ) , uB = u ( t T/3 )， uC = u ( t 2T/3) T 基波的周期。 基波的周期 基波的周期。 由于发电机输出的三相电压为奇谐波函数，其展开式为: 由于发电机输出的三相电

30、压为奇谐波函数，其展开式为 uA = U1m sin(t + 1 ) + U 3m sin(3t + 3 ) + U 5 m sin(5t + 5 ) + U 7 m sin(7t + 7 ) +L u B = U 1m sin (t ? T T T ) + 1 ) + U 3 m sin3 (t ? ) + 3 + U 5 m sin5 (t ? ) + 5 3 3 3 T + U 7 m sin7 (t ? ) + 7 + L 3 uC = U1m sin (t ? 2T 2T 2T ) + 1 ) + U 3m sin3 (t ? ) + 3 + U 5 m sin5 (t ? ) +

31、5 3 3 3 2T + U 7 m sin7 (t ? ) + 7 +L 3 因为 因为 T = 2，即T= 2 / 。 ， 将此代入u 将此代入 B 、uC的表达式 ： 2 + 1 ) + U 3 m sin(3 t + 3 ) 3 4 2 + U 5 m sin(5 t ? + 5 ) + U 7 m sin(7 t ? + 7 ) + L 3 3 4 u C = U 1m sin( t ? + 1 ) + U 3 m sin(3 t + 3 ) 3 2 4 + U 5 m sin(5 t ? + 5 ) + U 7 m sin(7 t ? + 7 ) + L 3 3 u B = U 1m sin( t ? 取以上uA、uB、uC 三相电压的同次谐波进行比较： 三相电压的同次谐波进行比较： 取以上 基波、七次谐波（十三次谐波、十九次谐波等）