91全等三角形教案教学设计.docx

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91全等三角形教案教学设计

第9章三角形

§9.1全等三角形

9.1.1★已知等腰直角三角形,是斜边.的角平分线交于,过作与垂直

且交延长线于,求证:

解析如图,延长、,设交于.则,,得,.

又,平分,故平分,为中点,所以.

9.1.2★在中,已知,、、分别为、、的中点,、为形外两点,使,,,,若,求的长.

解析如图,连结、,则,,故.又,,故,所以,,又,所以,于是.

9.1.3★在梯形的底边上有一点,若、、的周长相等,求.

解析作平行四边形,则,若与不重合,则在(或延长线)上,但由三角形不等式易知,在上时,的周长的周长;在延长线上时,的周长周长,均与题设矛盾,故与重合,,同理,.

9.1.4★★内,,,、分别在边、上,并且、分别是、的角平分线.求证:

解析延长到,使,连结.易知,所以,.

因,所以,

于是.

9.1.5★★设等腰直角三角形中,是腰的中点,在斜边上,并且.求证:

解析如图,作的平分线,在上.

由于,,,故,故.

又,,于是,于是.

9.1.6★★设、都是等腰直角三角形,、是各自的斜边,是的中点,求证:

也是等腰直角三角形.

解析如图,作、、、分别垂直于直线,垂足为、、、.

由,,,故有,.同理,,所以,

又得,且,故.又由,故

结论成立.

9.1.7★★已知,,、在上(靠近),求证:

的充要条件是.

解析如图,作,且,则,又,故,,且.

若,则,因,得,则

反之,若,由得.又,故,又,于是.

9.1.8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证:

可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、

旋转后拼成另一个三角形.

解析如图,设与关于对称,分别找到各自的内心、,分别向三边作垂线、、

与、、,于是6个四边形……均为轴对称的筝形,且四边形四边形,所以两者可通过平移、旋转后重合;同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合.

9.1.9★★★已知:

两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等.

解析如图,设,至距离等于至距离,取各自的中位线、,则.由、均为锐角三角形,可在、上各取一点、,使图中标相同数字的角相等,于是,,,.

评注还有一种旋转而不是对称的构造法.

9.1.10★已知与中,,,,与

是否一定全等?

解析如图,让与重合,与重合,、在同侧,若与重合,则;否则由条件知四边形为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是,,.综上,可知与全等.

评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明.

9.1.11★★如图所示,已知、均为正三角形,、、分别为、和的中点,求证:

为正三角形.

解析如图,设、中点分别为、,连结、、、.则四边形为平行四

边形,设,则,,又,,故,

,于是为正三角形.

评注注意有时在另一侧,此时,不影响最终结论.

9.1.12★★★中,,.,,是中点,、分别在、上(可落在端点),满足,求的最小值(用、、表示).

解析如图,延长至,使,连结、、、由于是、的中点,故,,,又垂直平分,故.

取中点(图中未画出),则,于是的最小值为,取到等号仅当即四边形为矩形时.

9.1.13★★★已知为内一点,,由作、的垂线,垂足分别是、.

设为中点,求证:

解析如图所示,取中点,中点,连、、、.显然四边形是平行四边形,所以,..

又由,所以,;同理,.由,所以,从而,所以.

9.1.14★★在中,已知,、分别是边、上的点,且,,,求的度数.

解析如图,延长到,使,连、.

因为,所以,,

于是,,.

又因为,,

所以

,,

在和中,,,,所以,故

于是,.

9.1.15★★在中,、为锐角,、、分别为边、、上的点,满足,,且.求证:

解析若,则在上取一点,使.连结并延长交于,连结.在与中,,,,故.于是有,,所以.又易知,因此.

但另一方面,由,知,所以

从而.矛盾,故假设不成立.

若,同法可证此假设不成立.

综上所述,于是由

知,从而.

9.1.16★★如图,为边长是1的等边三角形,为顶角是的等腰三角形,以为顶点作一个角,角的两边分别交、于、,连结,形成一个.

求的周长.

解析延长到,使,连结.易知在与中有,

,,从而.所以,.

于是在与中有,,

.从而,故.

所以

9.1.17★★★为等腰直角三角形,,点、分别为边和的中点,点在射线上,且,点在射线上,且,求证:

解析取中点,连.

在与中,,,,故.于是有,,.

同样易知,于是有.

在与中,,,由知,所以.于是有,.

从而在与中有,,故.于是有,

总之,,即

9.1.18★★★已知,延长至,使,连结与交于,为的外心,则、、、共圆.

解析如图连好辅助线,由于,故,设

,则,又,,故

,于是,于是,因此、、、共圆.

9.1.19★★★已知和,,且,和分别是、的中点,,问两个三角形是否必定全等?

解析如图,作出外心(及相应的、图中未画出).

若在上,则,此时与未必全等.

若不与重合,则

当、、共线,则,,所以,,从而

当、、不共线,则,,于是(或),于是由三角形全等可得(或),(或),故有(或).

评注此题亦可用中线长公式证明.

9.1.20★★如果两个三角形满足“”,它们不一定全等,此时称它们是相近的,现在有一三角形,作与之“相近”,……一般有与相近,问是否存在一个,使与相做且不全等?

解析这是不可能的.因为由正弦定理,与有等大的外接圆(它们有一对内角相等或互补),从而

推出与x有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等.

9.1.21★★★是否存在两个全等的三角形与,可划分为两个三角形与,可划分成两个三角形与,使,与却不全等?

解析这样的两个三角形是存在的,如图(a)、(b),设不等边三角形,其中,不妨设是各自的最长边,则、为各自的最短边.在、上分别找、,使,,则由于,故,所以,又因为,,因此,而显然不与全等.(若,还可避免相似.)

9.1.22★★★已知中,,是内心,的垂直平分线分别交、于、,、在上,,求证:

解析如图,连结、、、.易诮与为全等之正三角形,,

两端延长至与,使,则,于是,同理,因此,.

而、将三等分,、将三等分,于是由平行线分线段成比例,知().

评注读者可以考虑:

如果是否有.

9.1.23★★★已知锐角三角形,,,的垂心和外心分别为和,分别与、交于、,证明:

的周长为,.

解析如图,连结、、、.由可知在一侧,在一侧.

因,故,而,于是,.

又,故,为正三角形.

又,故,,又,故,.于是.

又,做.

§9.2特殊三角形

9.2.1★在直角三角形中,是斜边,,是中点,是上一点,,求.

解析如图,连结.设,因,,,则

,.故.

9.2.2★已知中,,,,为在平分线上的射影,为中

点,求.

解析延长交于.由.知,.又,故

9.2.3★等腰三角形中,,为直线上一点,则

(在上),

(在外).

解析如图,设在上且较靠近.作于,则为中点,于是

当在外时的结论同理可证.

评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形,具有十分广泛的用途(例如题9.2.1),亦可用相

交弦定理证明.

9.2.4★★已知锐角三角形中,、是高,为垂心,,是的中点,求证:

解析如图,连结,则.于是

由于,故

9.2.5★已知斜边为的直角三角形中,在上的投影为.若以、、为

三边可以构成一个直角三角形,求的所有可能值.

解析显然由、、构成的直角三角形中,不是斜边,且.

若,则为斜边.设,,,则由的面积知,又,故.易知,则由前式知,得,故.

同理,若,可得.

所以的可能值为或.

9.2.6★★已知中,为高,在上,

以下哪些条件能判定:

(1):

(2);

(3).

解析设,,,则,.

先看条件

(1):

若,则;否则不妨设,则.

得,于是,矛盾.

故.

再看见条件

(2):

.则,于是,故.

最后条件(3):

.于是

.若,则

,仍有,矛盾,故.

所以三个条件都能判定.

9.2.7★已知是等腰直角三角形的斜边上任意一点,求.

解析如图,作于.

不妨设.在上,,则,,于是.又.故.

评注请读者考虑,若对上任一点,有为定值,是否可认为为等腰直角三角形.

9.2.8★★在中,,,,是内一点,过点向的

三边、、分别垂线、、,垂足分别为、、,且,求

的长.

解析如图,由于,于是

,此即.

而,故.所以.

9.2.9★★已知中,,是的中垂线,,,

求.

解析如图,不妨设,则,.作的平分线,由于,故.因此,,

,从而,,所以.

设,则,,因此,,,(舍).于是,.

9.2.10★★正三角形内有一点,关于、的对称点分别为、,作平行四边形,求证:

解析如图,设与交于,连结,则,垂直平分,,

为正三角形,,于是四边形为等腰梯形,的中垂线即的中垂线.

于是,.

9.2.11★★与相切于点,与相交于、,若,,,求.

解析如图,由题意可得,作于,则,又,

故,.

再作于,设,则,,.

于是.

9.2.12★已知大小相等的等边与等边有三组边分别平行,一个指向上方,一个指向

下方,相交部分是一个六边形,则这个六边形的主对角线共点.

解析如图,设两个三角形的边的交点依次为、、、、、.设、的高为,则正的高(与的距离)正的高,于是,、互相平分,同理、互相平分,于是、、的中点为同一点,结论成立.

9.2.13★★★★求证:

过正三角形的中心任作一条直线,则、、三点至的距离平方和为常数.

解析如图,不妨设与、相交,且与延长线交于(平行容易计算).由中位线及重心性质,知.故.

连结、,作,易知,故,.

对于等腰三角形,有.因此

(定值),这里用到了.

于是、、三点至的距离平方和为,结论得证.

§9.3三角形中的巧合点

9.3.1★已知:

是内一点,、、延长后分别交对边于、、,若

,则是的垂心,

解析如图,由条件知,故,同理,,故.

又,故,这样可得,故为之垂

心.

9.3.2★★求证:

到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心.

解析设中,、、是中线,是重心,是任一点.由斯图沃特定理,并考虑到

结论成立.

.①

又由中线长公式,有

代入式①,得

结论成立.

9.3.3★★★已知,是锐角的垂心,是中点,过作的垂线,交、于、,求证:

是中点.

解析设两条高为、.又不妨设在上.由于,

,故,于是,同理,

又,故.

9.3.4★★★的边、、上分别有点、、,且,求证:

的重心与的重心是同一点.

解析在上取一点,使,则,所以,四边形为平行四边形,设与交于,又设的中点为,连结、、,与交于,于是由

,得,于是,于是,所以为与之重心.

9.3.5★★★已知,,是重心,,求证:

是正三角形.

解析设三条中线分别为、、.连为中位线.于是由条件知、、、共圆,故,于是.由于,,代入,得.

在外作等腰,使,,连结,.由圆心角与圆周角的关系,,故、、三点共线,故,于是,又,故为正三角形.

9.3.6★★★已知是上一点,、、都是正三角形,、在同侧,在另一侧,求证:

以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形,且它的中心在上.又问此题如何推广?

解析如图,设、、分别为、和的中心,则由题11.2.25知为正三角形.

过、、分别作的垂线、、,则,又,

故.又设中点为(图中未画出),于,则,且

.设与交于,则,所以为的中点.

评注此题不难推广,只需,,此时,

、、为各自对应的重心,则必有之重心位于上.

9.3.7★★★内有一点,连结、、并延长,分别与对边相交,把分成六个小三角形,若这六个小三角形中有三个面积相等,则点是否必为之重心?

解析如图,设、、交于.由对称性,可分四种情况讨论.

(1).于是,,由梅氏定理(或添平行线),得,为中心.

(2).此时,故、分别为、中点,为重心.

(3).此时有,由塞瓦定理,,于是,回到情形

(1).

(4),见题15.1.58.

综上所知,答案是肯定的.

9.3.8★★★设有一个三角形三角之比为,作两较大角的平分线,分别交对边于、.求证:

这个三角形的重心在上.

解析如图(a),设为最小角,作中线,交于,于是只要证明.分别作,、在直线上,则,故问题变成,或

不妨设,,,,在上找一点,使,又作,在上,则各角大小如图(b)所示.于是,故

9.3.9★★★不等边锐角中,、分别是其垂心和重心,求证:

若,

解析设的一条中线与高分别为、,则欲证结论等价于.熟知,.于是结论变为

设,,,则由中线长及余弦定理,知欲证式左端,

右端,整理,得,于是剩下的任务是证明这个等价条件.

同理有另两式,于是条件变为,

由正弦及余弦定理,知上式即,或

,化简即得.

9.3.10★★已知凸四边形中,,,是否一定为之外心?

解析当固定.由题设、固定,于是、外接圆固定,它们的交点

、固定,又若为外心时,确为的外接圆和的外接圆之异于的交点,因此,结论成立.

9.3.11★★★已知锐角的外接圆与内切圆的半径分别为、,是外心,至三边距离之和为,试用、表示.

解析易知.

设三边分别为、、,由于等,则

,于是

.①

又等,可得,故式①的右端.

于是.

9.3.12★★★★:

已知,、分别在、上,、交于,,求证:

、、、的外心四点共圆.

解析如图,设、的外心分别为、,为的外心,于是垂直平分.垂直平分.

设,则由垂径定理知,,于是.

易知过中点(由塞瓦定理或面积比),作,在上,则,又

,故.

又设,的外心分别为、(图中未画出),于是、分别在直线与上,

且,于是,于是、、、四点共圆.

9.3.13★★★已知:

中,,是中点,为重心,为外心,求证:

解析1如图,延长交于,则,.连结并延长,分别交、于、,则为重心,,,易见.

又,,,对应边垂直,所以.

解析2为外心,故;

而由中线公式,

,,

于是,于是.

9.3.14★★★设和分别是的内心和外心,求证:

的充分必要条件是.

解析延长与外接圆交于点,连结、、,则

由内心性质知,,结合托勒密定理得

所以,

所以,

故的充要条件是.

评注本题的关键是先把转换为,然后再用托勒密定理.托勒密定理是:

圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和.

9.3.15★★★设是的外接圆,是三角形重心,延长、、,分别交

于、、,则.

解析设、、的中点分别为、、,则由中线长公式及相交弦定理,有(此处三边分别设为、、)

同理,有

三式相加,即得结论.

9.3.16★★在内,平分,,求证:

是内心.

解析如图,作,在上,在上,则,,

.又,故,于是,.而,故,,所以为内心.

9.3.17★★已知:

中,,是内心,与垂直于,求的值.

解析设三边长分别为、、,则.

易知若设,,则,.

于是.

9.3.18★★设中,最长,在其上分别找两点、,使,,又设为内心,求(用、、及其组合表示).

解析如图,连结、、、.

易知,,同理,为的外心,因此

9.3.19★★★★的边上有一点,与的内心与、四点共圆,求证:

解析如图,设与的内心分别为与.

连结、、、、,两端延长,分别交、于、,则由条件知,同理也是此值,于是.

又设与交于,则由角平分线性质知,故由梅氏定理(直线截及直线截),得(此处、分别为、延长后与、之交点),又由角平分线性质,知,于是结论成立.

9.3.20★★★已知中,,、分别为其外心与内心,在上,,求证:

解析如图,不妨设在内,且在“之上”(在形外、之下类似处理),连结、,则,故、、、共圆,于是.这里为、直线之交点.

由于,故,于是.

9.3.21★★设为的重心,已知,且,求的面积.

解析1由题意可画出图(a),令为中点,,垂足为点,因为重心,可知.

由勾股定理可知,

令.由①与②可得

化简后可得,即,代入③得,再代入①式可得

解方程可得,,故

的面积=的面积.

解析2由题意可画出图(b),令为中点,在的延长线上取点使得,因此

之面积为之面积的一半.此时因与互相平分,可知四边形为平行四边形,也因此可知,即的三边长为2、、,故可知为直角三角形,故的面积为,所以的面积的面积.

9.3.22★★★已知,为异于的任一点,求证:

解析如图,在外作正三角形,由于,,故四边形的内角均小于,是凸四边形.

对于中任一异于的点,将、均以点为中心顺时针旋转,至

和,则与均为正三角形.

由全等知,这是因为是一条折线,而,,、、、四点共线且仅对于满足四点共线.

评注当内角均小于时,满足条件的点称为的费马点(当有内角比如时,到、、距离之和最小的点正是点).

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