91全等三角形教案教学设计.docx

1、91全等三角形教案教学设计第9章三角形91全等三角形911已知等腰直角三角形，是斜边的角平分线交于，过作与垂直且交延长线于，求证：解析如图，延长、，设交于则，得，又，平分，故平分，为中点，所以912在中，已知，、分别为、的中点，、为形外两点，使，若，求的长解析如图，连结、，则，故又，故，所以，又，所以，于是913在梯形的底边上有一点，若、的周长相等，求解析作平行四边形，则，若与不重合，则在（或延长线）上，但由三角形不等式易知，在上时，的周长的周长；在延长线上时，的周长周长，均与题设矛盾，故与重合，同理，914内，、分别在边、上，并且、分别是、的角平分线求证：解析延长到，使，连结易知，所以，因，

2、所以，于是915设等腰直角三角形中，是腰的中点，在斜边上，并且求证：解析如图，作的平分线，在上由于，故，故又，于是，于是916设、都是等腰直角三角形，、是各自的斜边，是的中点，求证：也是等腰直角三角形解析如图，作、分别垂直于直线，垂足为、由，故有，同理，所以，又得，且，故又由，故结论成立917已知，、在上（靠近），求证：的充要条件是解析如图，作，且，则，又，故，且若，则，因，得，则反之，若，由得又，故，又，于是918两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成3块，每一块通过平移、旋转后拼成另一个三角形解析如图，设与关于对称，分别找到各自的内心、，分别向三边作垂线、与、，于是6个四

3、边形均为轴对称的筝形，且四边形四边形，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合919已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等解析如图，设，至距离等于至距离，取各自的中位线、，则由、均为锐角三角形，可在、上各取一点、，使图中标相同数字的角相等，于是，评注还有一种旋转而不是对称的构造法9110已知与中，与是否一定全等？解析如图，让与重合，与重合，、在同侧，若与重合，则；否则由条件知四边形为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是，综上，可知与全等评注本题也可以运用三角形面积公式、余

4、弦定理结合韦达定理来证明9111如图所示，已知、均为正三角形，、分别为、和的中点，求证：为正三角形解析如图，设、中点分别为、，连结、则四边形为平行四边形，设，则，又，故，于是为正三角形评注注意有时在另一侧，此时，不影响最终结论9112中，是中点，、分别在、上（可落在端点），满足，求的最小值（用、表示）解析如图，延长至，使，连结、由于是、的中点，故，又垂直平分，故取中点（图中未画出），则，于是的最小值为，取到等号仅当即四边形为矩形时9113已知为内一点，由作、的垂线，垂足分别是、设为中点，求证：解析如图所示，取中点，中点，连、显然四边形是平行四边形，所以，又由，所以，；同理，由，所以，从而，所以

5、9114在中，已知，、分别是边、上的点，且，求的度数解析如图，延长到，使，连、因为，所以，于是，又因为，所以，在和中，所以，故于是，9115在中，、为锐角，、分别为边、上的点，满足，且求证：解析若，则在上取一点，使连结并延长交于，连结在与中，故于是有，所以又易知，因此但另一方面，由，知，所以从而矛盾，故假设不成立若，同法可证此假设不成立综上所述，于是由知，从而9116如图，为边长是1的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、，连结，形成一个求的周长解析延长到，使，连结易知在与中有，从而所以，于是在与中有，从而，故所以9117为等腰直角三角形，点、分别为边和的中点

6、，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：解析取中点，连在与中，故于是有，同样易知，于是有在与中，由知，所以于是有，从而在与中有，故于是有，总之，即9118已知，延长至，使，连结与交于，为的外心，则、共圆解析如图连好辅助线，由于，故，设，则，又，故，于是，于是，因此、共圆9119已知和，且，和分别是、的中点，问两个三角形是否必定全等？解析如图，作出外心(及相应的、图中未画出)若在上，则，此时与未必全等若不与重合，则，当、共线，则，所以，从而当、不共线，则，于是（或），于是由三角形全等可得(或)，（或），故有（或）评注此题亦可用中线长公式证明9120如果两个三角形满足“”，它们不一定全等，此时称它

7、们是相近的，现在有一三角形，作与之“相近”，一般有与相近，问是否存在一个，使与相做且不全等？解析这是不可能的因为由正弦定理，与有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补），从而推出与x有等大的外接圆，它们不可能只相似不全等9121是否存在两个全等的三角形与，可划分为两个三角形与，可划分成两个三角形与，使，与却不全等？解析这样的两个三角形是存在的，如图(a)、(b)，设不等边三角形，其中，不妨设是各自的最长边，则、为各自的最短边在、上分别找、，使，则由于，故，所以，又因为，因此，而显然不与全等（若，还可避免相似）9122已知中，是内心，的垂直平分线分别交、于、，、在上，求证：解析如图，连结、易诮与

8、为全等之正三角形，两端延长至与，使，则，于是，同理，因此，而、将三等分，、将三等分，于是由平行线分线段成比例，知()评注读者可以考虑：如果是否有9123已知锐角三角形，的垂心和外心分别为和，分别与、交于、，证明：的周长为，解析如图，连结、由可知在一侧，在一侧因，故，而，于是，又，故，为正三角形又，故，又，故，于是又，做92特殊三角形921在直角三角形中，是斜边，是中点，是上一点，求解析如图，连结设，因，则，故922已知中，为在平分线上的射影，为中点，求解析延长交于由知，又，故923等腰三角形中，为直线上一点，则（在上），（在外）解析如图，设在上且较靠近作于，则为中点，于是当在外时的结论同理可证

9、评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形，具有十分广泛的用途（例如题921），亦可用相交弦定理证明924已知锐角三角形中，、是高，为垂心，是的中点，求证：解析如图，连结，则于是由于，故925已知斜边为的直角三角形中，在上的投影为若以、为三边可以构成一个直角三角形，求的所有可能值解析显然由、构成的直角三角形中，不是斜边，且若，则为斜边设，则由的面积知，又，故易知，则由前式知，得，故同理，若，可得所以的可能值为或926已知中，为高，在上，以下哪些条件能判定：(1)：(2)；(3)解析设，则，先看条件(1)：若，则；否则不妨设，则得，于是，矛盾故再看见条件（2）：则，于是，故最后条件（3）：于是若

10、，则，仍有，矛盾，故所以三个条件都能判定927已知是等腰直角三角形的斜边上任意一点，求解析如图，作于不妨设在上，则，于是又故评注请读者考虑，若对上任一点，有为定值，是否可认为为等腰直角三角形928在中，是内一点，过点向的三边、分别垂线、，垂足分别为、，且，求的长解析如图，由于，于是，此即而，故所以929已知中，是的中垂线，求解析如图，不妨设，则，作的平分线，由于，故因此，从而，所以设，则，因此，（舍）于是，9210正三角形内有一点，关于、的对称点分别为、，作平行四边形，求证：解析如图，设与交于，连结，则，垂直平分，为正三角形，于是四边形为等腰梯形，的中垂线即的中垂线于是，9211与相切于点，与

11、相交于、，若，求解析如图，由题意可得，作于，则，又，故，再作于，设，则，于是9212已知大小相等的等边与等边有三组边分别平行，一个指向上方，一个指向下方，相交部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点解析如图，设两个三角形的边的交点依次为、设、的高为，则正的高（与的距离）正的高，于是，、互相平分，同理、互相平分，于是、的中点为同一点，结论成立9213求证：过正三角形的中心任作一条直线，则、三点至的距离平方和为常数解析如图，不妨设与、相交，且与延长线交于(平行容易计算)由中位线及重心性质，知故连结、，作，易知，故，对于等腰三角形，有因此(定值)，这里用到了于是、三点至的距离平方和为，结论得证9

12、3三角形中的巧合点931已知：是内一点，、延长后分别交对边于、，若，则是的垂心，解析如图，由条件知，故，同理，故又，故，这样可得，故为之垂心932求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心解析设中，、是中线，是重心，是任一点由斯图沃特定理，并考虑到结论成立，得又由中线长公式，有，代入式，得结论成立933已知，是锐角的垂心，是中点，过作的垂线，交、于、，求证：是中点解析设两条高为、又不妨设在上由于，故，于是，同理，又，故934的边、上分别有点、，且，求证：的重心与的重心是同一点解析在上取一点，使，则，所以，四边形为平行四边形，设与交于，又设的中点为，连结、，与交于，于是由，得，于是，

13、于是，所以为与之重心935已知，是重心，求证：是正三角形解析设三条中线分别为、连为中位线于是由条件知、共圆，故，于是由于，代入，得在外作等腰，使，连结，由圆心角与圆周角的关系，故、三点共线，故，于是，又，故为正三角形936已知是上一点，、都是正三角形，、在同侧，在另一侧，求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形，且它的中心在上又问此题如何推广？解析如图，设、分别为、和的中心，则由题11225知为正三角形过、分别作的垂线、，则，又，故又设中点为（图中未画出），于，则，且设与交于，则，所以为的中点评注此题不难推广，只需，此时，、为各自对应的重心，则必有之重心位于上937内有一点，连结、

14、并延长，分别与对边相交，把分成六个小三角形，若这六个小三角形中有三个面积相等，则点是否必为之重心？解析如图，设、交于由对称性，可分四种情况讨论（1）于是，由梅氏定理（或添平行线），得，为中心（2）此时，故、分别为、中点，为重心（3）此时有，由塞瓦定理，于是，回到情形（1）（4），见题15158综上所知，答案是肯定的938设有一个三角形三角之比为，作两较大角的平分线，分别交对边于、求证：这个三角形的重心在上解析如图(a)，设为最小角，作中线，交于，于是只要证明分别作，、在直线上，则，故问题变成，或不妨设，在上找一点，使，又作，在上，则各角大小如图(b)所示于是，故939不等边锐角中，、分别是其垂

15、心和重心，求证：若，解析设的一条中线与高分别为、，则欲证结论等价于熟知，于是结论变为设，则由中线长及余弦定理，知欲证式左端，右端，整理，得，于是剩下的任务是证明这个等价条件，同理有另两式，于是条件变为，由正弦及余弦定理，知上式即，或，化简即得9310已知凸四边形中，是否一定为之外心？解析当固定由题设、固定，于是、外接圆固定，它们的交点、固定，又若为外心时，确为的外接圆和的外接圆之异于的交点，因此，结论成立9311已知锐角的外接圆与内切圆的半径分别为、，是外心，至三边距离之和为，试用、表示解析易知设三边分别为、，由于等，则，于是又等，可得，故式的右端于是9312：已知，、分别在、上，、交于，求证

16、：、的外心四点共圆解析如图，设、的外心分别为、，为的外心，于是垂直平分垂直平分设，则由垂径定理知，于是易知过中点（由塞瓦定理或面积比），作，在上，则，又，故又设，的外心分别为、（图中未画出），于是、分别在直线与上，且，于是，于是、四点共圆9313已知：中，是中点，为重心，为外心，求证：解析1如图，延长交于，则，连结并延长，分别交、于、，则为重心，易见又，对应边垂直，所以解析2为外心，故；而由中线公式，于是，于是9314设和分别是的内心和外心，求证：的充分必要条件是解析延长与外接圆交于点，连结、，则由内心性质知，结合托勒密定理得，所以，所以，故的充要条件是评注本题的关键是先把转换为，然后再用托勒

17、密定理托勒密定理是：圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和9315设是的外接圆，是三角形重心，延长、，分别交于、，则解析设、的中点分别为、，则由中线长公式及相交弦定理，有（此处三边分别设为、）同理，有 ，三式相加，即得结论9316在内，平分，求证：是内心解析如图，作，在上，在上，则，又，故，于是，而，故，所以为内心9317已知：中，是内心，与垂直于，求的值解析设三边长分别为、，则易知若设，则，于是9318设中，最长，在其上分别找两点、，使，又设为内心，求（用、及其组合表示）解析如图，连结、易知，同理，为的外心，因此，9319的边上有一点，与的内心与、四点共圆，求证：解析如图，设与的内心分别

18、为与连结、，两端延长，分别交、于、，则由条件知，同理也是此值，于是又设与交于，则由角平分线性质知，故由梅氏定理（直线截及直线截），得（此处、分别为、延长后与、之交点），又由角平分线性质，知，于是结论成立9320已知中，、分别为其外心与内心，在上，求证：解析如图，不妨设在内，且在“之上”(在形外、之下类似处理），连结、，则，故、共圆，于是这里为、直线之交点由于，故，于是9321设为的重心，已知，且，求的面积解析1由题意可画出图(a)，令为中点，垂足为点，因为重心，可知由勾股定理可知，令由与可得，化简后可得，即，代入得，再代入式可得，解方程可得，故的面积=的面积解析2由题意可画出图(b)，令为中点，在的延长线上取点使得，因此之面积为之面积的一半此时因与互相平分，可知四边形为平行四边形，也因此可知，即的三边长为2、，故可知为直角三角形，故的面积为，所以的面积的面积9322已知，为异于的任一点，求证：解析如图，在外作正三角形，由于，故四边形的内角均小于，是凸四边形对于中任一异于的点，将、均以点为中心顺时针旋转，至和，则与均为正三角形由全等知，这是因为是一条折线，而，、四点共线且仅对于满足四点共线评注当内角均小于时，满足条件的点称为的费马点（当有内角比如时，到、距离之和最小的点正是点）