步步高高中数学版理科第一轮复习资料第二编函数与基本初等函数.docx

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步步高高中数学版理科第一轮复习资料第二编函数与基本初等函数

　　　第二编　函数与基本初等函数Ⅰ

§2.1　函数及其表示

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．（2010·佛山调研）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．y＝x－1与y＝

B．y＝与y＝

C．y＝4lgx与y＝2lgx2

D．y＝lgx－2与y＝lg

解析　∵y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应法则不同，故不是同一函数；y＝

（x≥1）与y＝（x>1）的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lgx（x>0）与y＝2lg

x2（x≠0）的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y＝lgx－2（x>0）与y＝lg＝lgx－2（x>0）有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数．

答案　D

2．（2009·临沂3月模拟）已知f（x）＝

使f（x）≥－1成立的x的取值范围是（　　）

A．[－4,2）B．[－4,2]

C．（0,2]D．（－4,2]

解析　∵f（x）≥－1，∴

或

∴－4≤x≤0或0

答案　B

3．（2010·茂名模拟）已知函数f（x）＝lg（x＋3）的定义域为M，g（x）＝的定义域为N，则M∩N

等于（　　）

A．{x|x>－3}B．{x|－3

C．{x|x<2}D．{x|－3

解析　M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}．

∴M∩N＝{x|－3

答案　B

4．（2008·山东）设函数f（x）＝则f的值为（　　）

A.B．－C.D．18

解析　f

（2）＝4，f＝1－＝.

答案　A

5．（2008·陕西）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f

（1）＝2，则

f（－3）等于（　　）

A．2B．3C．6D．9

解析　f

（1）＝f（0＋1）＝f（0）＋f

（1）＋2×0×1

＝f（0）＋f

（1），∴f（0）＝0.

f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f

（1）＋2×（－1）×1

＝f（－1）＋f

（1）－2，∴f（－1）＝0.

f（－1）＝f（－2＋1）＝f（－2）＋f

（1）＋2×（－2）×1

＝f（－2）＋f

（1）－4，∴f（－2）＝2.

f（－2）＝f（－3＋1）＝f（－3）＋f

（1）＋2×（－3）×1

＝f（－3）＋f

（1）－6，∴f（－3）＝6.

答案　C

6．（2009·吉林一模）已知函数f（x）的定义域为[－1,5]．在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与

直线x＝1的交点个数为（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．0个或1个均有可能

解析　∵f（x）的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]，

∴点（1，f

（1））在函数y＝f（x）的图象上．

而点（1，f

（1））又在直线x＝1上，

∴直线x＝1与函数y＝f（x）的图象至少有一个交点（1，f

（1））．

根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在

其值域中只有唯一确定的元素f

（1）与之对应，故直线x＝1与y＝f（x）的图象有且只有一个交点．

答案　B

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．（2010·温州模拟）某出租车公司规定“打的”收费标准如下：

3千米以内为起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．

解析　车费为8＋（7.4－3）×1.5＝14.6≈15（元）．

答案　15

8．（2009·北京文，12）已知函数f（x）＝若f（x）＝2，则x＝______________.

解析　当x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；

当x>1时，－x＝2，∴x＝－2（舍去）．

答案　log32

9．（2009·广东六校联考）函数f（x）＝的定义域为________________．

解析　要使f（x）有意义，

则，∴，

∴f（x）的定义域为{x|x≥4且x≠5}．

答案　{x|x≥4且x≠5}

三、解答题（共40分）

10．（13分）（2009·阳江第一学期期末）求下列函数的定义域：

（1）y＝＋lgcosx；

（2）y＝log2（－x2＋2x）．

解　

（1）由，

得，

借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为

[－5，－）∪（－，）∪（，5]．

（2）－x2＋2x>0，即x2－2x<0，∴0

∴函数的定义域为（0,2）．

11．（13分）（2009·清远一模）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，

可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

解　

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f（x）＝（x－150）－

×50

整理得f（x）＝－＋162x－21000

＝－（x－4050）2＋307050.

所以，当x＝4050时，f（x）最大，

最大值为f（4050）＝307050.

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

12．（14分）（2010·东莞模拟）已知g（x）＝－x2－3，f（x）是二次函数，当x∈[－1,2]时，f（x）的最小值为1，且f（x）＋g（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式．

解　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

则f（x）＋g（x）＝（a－1）x2＋bx＋c－3，

又f（x）＋g（x）为奇函数，

∴a＝1，c＝3.

∴f（x）＝x2＋bx＋3，对称轴x＝－.

当－≥2，即b≤－4时，f（x）在[－1,2]上为减函数，

∴f（x）的最小值为f

（2）＝4＋2b＋3＝1.

∴b＝－3.∴此时无解．

当－1<－<2，即－4

f（x）min＝f＝3－＝1，

∴b＝±2.

∴b＝－2，此时f（x）＝x2－2x＋3，

当－≤－1，即b≥2时，f（x）在[－1,2]上为增函数，

∴f（x）的最小值为f（－1）＝4－b＝1.

∴b＝3.∴f（x）＝x2＋3x＋3.

综上所述，f（x）＝x2－2x＋3，

或f（x）＝x2＋3x＋3.

§2.2　函数的单调性与最大（小）值

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．（2010·佛山模拟）若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，

＋∞）上是（　　）

A．增函数B．减函数

C．先增后减D．先减后增

解析　∵y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，

∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，

∴y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上为减函数．

答案　B

2．（2010·安庆一模）函数f（x）＝（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B.

C.D.

解析　据单调性定义，f（x）为减函数应满足：

即≤a<1.

答案　B

3．（2009·东莞一模）下列四个函数中，在（0,1）上为增函数的是（　　）

A．y＝sinxB．y＝－log2x

C．y＝xD．y＝x－

解析　∵y＝sinx在上是增函数，

∴y＝sinx在（0,1）上是增函数．

答案　A

4．（2009·天津理，8）已知函数f（x）＝若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围

是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

B．（－1,2）

C．（－2,1）

D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

解析　f（x）＝由f（x）的图象可知f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增

函数，由f（2－a2）>f（a）得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2

答案　C

5．（2010·淮南调研）若函数f（x）＝x3（x∈R），则函数y＝f（－x）在其定义域上是（　　）

A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数

C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数

解析　f（x）＝x3（x∈R），则函数y＝f（－x）＝－x3（x∈R）显然在其定义域内是单调递减的奇函数．

答案　B

6．（2010·温州一模）函数f（x）＝ln（4＋3x－x2）的单调递减区间是（　　）

A.B.

C.D.

解析　函数f（x）的定义域是（－1,4），u（x）＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为，

∵e>1，∴函数f（x）的单调减区间为.

答案　D

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．（2010·珠海调研）若函数f（x）＝（m－1）x2＋mx＋3（x∈R）是偶函数，则f（x）的单调减区间是

__________．

解析　∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x），

∴（m－1）x2－mx＋3＝（m－1）x2＋mx＋3，

∴m＝0.这时f（x）＝－x2＋3，

∴单调减区间为[0，＋∞）.

答案　[0，＋∞）

8．（2010·汕尾一模）若函数f（x）＝在区间（m,2m＋1）上是单调递增函数，则m∈__________.

解析　∵f′（x）＝，令f′（x）>0，得－1

∴f（x）的增区间为（－1,1）．

又∵f（x）在（m,2m＋1）上单调递增，

∴　∴－1≤m≤0.

∵区间（m,2m＋1）中2m＋1>m，∴m>－1.

综上，－1

答案　（－1,0]

9．（2009·山东实验中学第一次诊断）已知定义域为D的函数f（x），对任意x∈D，存在正数K，

都有|f（x）|≤K成立，则称函数f（x）是D上的“有界函数”．已知下列函数：

①f（x）＝2sinx；

②f（x）＝；③f（x）＝1－2x；④f（x）＝，其中是“有界函数”的是________．（写出所有满足要求的函数的序号）

解析　①中|f（x）|＝|2sinx|≤2，②中|f（x）|≤1；

④|f（x）|＝＝≤（x≠0），

当x＝0时，f（x）＝0，总之，|f（x）|≤；

③f（x）<1,∴|f（x）|→+∞,故填①②④.

答案　①②④

三、解答题（共40分）

10．（13分）（2010·芜湖一模）判断f（x）＝在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的单调性．

解　∵－1<1，f（－1）＝－1

（1）＝1，

∴f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是减函数．

∵－2<－1，f（－2）＝－>f（－1）＝－1，

∴f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数．

∴f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不具有单调性．

11．（13分）（2010·青岛调研）已知f（x）＝（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a>0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

（1）证明　任设x1

则f（x1）－f（x2）＝－＝.

∵（x1＋2）（x2＋2）>0，x1－x2<0，

∴f（x1）

∴f（x）在（－∞，－2）内单调递增．

（2）解　任设1

f（x1）－f（x2）＝－＝.

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f（x1）－f（x2）>0，只需（x1－a）（x2－a）>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知0

12．（14分）（2009·宣城一模）f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且f＝f（x）－f（y）．

（1）求f

（1）的值；

（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f<2.

解　

（1）令x＝y，得f

（1）＝0.

（2）由x＋3>0及>0，得x>0,

由f（6）＝1及f（x＋3）－f<2，

得f[x（x＋3）]<2f（6），

即f[x（x＋3）]－f（6）

亦即f

因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

所以<6，

解得

综上所述，不等式的解集是.

§2.3　函数的奇偶性

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．（2010·吉林模拟）已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－B.C.D．－

解析　依题意得，∴，

∴a＋b＝＋0＝.

答案　B

2．（2009·金华模拟）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是减函数，且f

（2）＝0，

则使得f（x）<0的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）

B．（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－2,2）

解析　∵f（x）是偶函数且在（-∞，0]上是减函数，且f

（2）=f（-2）=0，

可画示意图如图所示，由图知f（x）<0的解集为（-2,2）．

答案　D

3．（2009·辽宁理，9）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）

A.B.

C.D.

解析　方法一　当2x－1≥0，即x≥时，因为f（x）在[0，＋∞）上单调递增，故需满足2x

－1<，即x<，

所以≤x<.

当2x－1<0，即x<时，由于f（x）是偶函数，故f（x）在（－∞，0]上单调递减，f＝f，

此时需满足2x－1>－，所以

方法二　∵f（x）为偶函数，∴f（2x－1）＝f（|2x－1|），

又∵f（x）在区间（0，＋∞）上为增函数，

∴不等式f（2x－1）

∴－<2x－1<，

∴

答案　A

4．（2009·陕西文，10）定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

<0，则（　　）

A．f（3）

（1）

B．f

（1）

C．f（－2）

（1）

D．f（3）

（1）

解析　对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有<0，则x2－x1与f（x2）－f（x1）异号，因此函数f（x）在[0，＋∞）上是减函数．又f（x）在R上是偶函数，故f（－2）＝f

（2），由于3>2>1，

故有f（3）

（1）．

答案　A

5．（2009·湖南示范性高中一模）函数y＝f（x）与y＝g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，

对定义域中任意x，有f（x）＋f（－x）＝0，g（x）g（－x）＝1，且x≠0，g（x）≠1，则F（x）＝

＋f（x）（　　）

A．是奇函数但不是偶函数

B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

解析　由条件知f（－x）＝－f（x），g（－x）＝，

∴F（－x）＝＋f（－x）＝－f（x）

＝＝＝F（x）．

答案　B

6．（2009·丽水模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝1－2－x，则不等式f（x）<－的解集是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－∞，－1]

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

解析　当x>0时，1－2－x＝1－>0与题意不符，

当x<0时，－x>0，∴f（－x）＝1－2x，

又∵f（x）为R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝1－2x，

∴f（x）＝2x－1，

∴f（x）＝2x－1<－，∴2x<，∴x<－1，

∴不等式f（x）<－的解集是（－∞，－1）．

答案　A

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．（2010·福州模拟）已知函数y＝f（x）为奇函数，若f（3）－f

（2）＝1，则f（－2）－f（－3）＝______.

解析　∵f（x）为奇函数且f（3）－f

（2）＝1，

∴f（－2）－f（－3）＝f（3）－f

（2）＝1.

答案　1

8．（2010·温州一模）设奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f（x）的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．

解析　

由原函数是奇函数，所以y=f（x）在[-5,5]上的图象

关于坐标原点对称，由y=f（x）在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]

上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值

集合为（-2,0）∪（2,5）．

答案　（-2,0）∪（2,5）

9．（2009·山东理，16）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是

增函数，若方程f（x）＝m（m>0），在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

解析　因为定义在R上的奇函数，满足f（x－4）＝－f（x），所以f（4－x）＝f（x）．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f（0）＝0，由f（x－4）＝－f（x）知f（x－8）＝f（x）．又因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，所以f（x）在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f（x）＝m（m>0）在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

答案　－8

三、解答题（共40分）

10．（13分）（2010·杭州模拟）设函数f（x）＝x2－2|x|－1（－3≤x≤3），

（1）证明f（x）是偶函数；

（2）画出这个函数的图象；

（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；

（4）求函数的值域．

（1）证明　∵x∈[－3,3]，∴f（x）的定义域关于原点对称．

f（－x）＝（－x）2－2|－x|－1

＝x2－2|x|－1＝f（x），

即f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（2）解　当x≥0时，f（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，

当x<0时，f（x）=x2+2x-1

=（x+1）2-2，

即f（x）=

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．

（3）解　函数f（x）的单调区间为

[-3，-1），[-1,0），[0,1），[1,3]．

f（x）在区间[-3，-1）和[0,1）上为减函数，

在[-1,0），[1,3]上为增函数．

（4）解　当x≥0时，函数f（x）=（x-1）2-2的最小值为-2，最大值为f（3）=2；

当x<0时，函数f（x）=（x+1）2-2的最小值为-2，最大值为f（-3）=2.故函数f（x）的值域为[-2,2]．

11．（13分）（2010·湖州联考）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－xlg（2－x），求f（x）的解析式．

解　∵f（x）是奇函数，可得f（0）＝－f（0），∴f（0）＝0.

当x>0时，－x<0，由已知f（－x）＝xlg（2＋x），

∴－f（x）＝xlg（2＋x），即f（x）＝－xlg（2＋x）（x>0）．

∴f（x）＝

即f（x）＝－xlg（2＋|x|）（x∈R）．

12．（14分）（2010·舟山调研）已知函数f（x）＝x2＋（x≠0，常数a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在[2，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝0时，f（x）＝x2对任意

x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），

有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x），∴f（x）为偶函数．

当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0，常数a∈R），

若x＝±1，则f（－1）＋f

（1）＝2≠0；

∴f（－1）≠－f

（1），f（－1）≠f

（1）．

∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

综上所述，当a＝0时，f（x）为偶函数；

当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．

（2）设2≤x1

f（x1）－f（x2）＝x＋－x－

＝[x1x2（x1＋x2）－a]，

要使函数f（x）在x∈[2，＋∞）上为增函数，

必须f（x1）－f（x2）<0恒成立．

∵x1－x2<0，x1x2>4，

即a

又∵x1＋x2>4，∴x1x2（x1＋x2）>16，

∴a的取值范围是（－∞，16]．

§2.4　指数与指数函数

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．（2010·滨州一模）下列等式＝2a；＝；－3＝中一定成立的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

解析　＝a≠2a；＝－<0，

＝＝>0，∴≠；

－3<0，>0，∴－3≠.

答案　A

2．（2009·新乡模拟）函数f（x）=ax-b的图象如右图，其中a、b为常数，则下

列结论正确的是（　　）

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．00

D．0

解析　由图象得函数是减函数，

∴0

又分析得，图象是由y=ax的图象向左平移所得，

∴-b>0，即b<0.从而D正确．

答案　D

3．（2010·菏泽联考）已知函数y＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x的取值范围是（　　）

A．[2,4]B．（－∞，0]

C．（0,1]∪[2,4]D．（－∞，0]∪[1,2]

解析　y＝（2x）2－3×2x＋3＝2＋∈[1,7]，

∴2∈.

∴2x－∈∪.

∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x∈（－∞，0]∪[1,2]．

答案　D

4．（2009·温州模拟）定义运算：

a*b＝，

如1]（　　）

A．RB．（0，＋∞）

C．（0,1]D．[1，＋∞）

解析　f（x）＝2x*2－x＝，∴f（x）在（－∞，0]上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数，∴0

答案　C

5．（2009·珠海模拟）若函数f（x）＝，则该函数在（－∞，＋∞）上是（　　）

A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值

C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值

解析　令u（x）＝2x＋1，则f（u）＝.因为u（x）在（－∞，＋∞）上单调递增且u（x）>1，