二轮微专题以分段函数为载体的应用题.docx
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二轮微专题以分段函数为载体的应用题
微专题39 以分段函数为载体的应用题
数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题（17或18题）的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍以分段函数型的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用所给条件建立分段函数的数学模型，利用所学数学的知识与方法予以解决.
如图39 1所示，某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x台机器人的总成本为p（x）＝
x2＋x＋150万元．
图39 1
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按
（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图所示）．经实验知，每台机器人的日平均分拣量为q（m）＝
（单位：
件）．已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
以分段函数为背景的应用题，解题的关键是体现分段函数的解题特点：
及时、正确运用分类讨论思想方法．本题分别计算1≤m≤30与m>30两种情况下，q（m）的最大值，然后求得日平均分拣量最大时的用人数和减少的比例.
某网店专卖当地某种特产，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：
千克）与销售价格x（单位：
元/千克，1＜x≤5）满足：
当1＜x≤3时，y＝a（x－3）2＋
（a，b为常数）；当3＜x≤5时，y＝－70x＋490，已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大（x精确到0.01元/千克）．
如图39 2，已知半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，其中该半圆的半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f（t）万元，经测算f（t）＝
（1）用t表示线段EF的长；
图39 2
（2）求修建参观线路的最低费用．
某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完，公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图39 4所示，其中图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
图39 4
（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；
（2）国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？
若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
某地发生某种自然灾害，使当地的水质受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知一次投放m个质量单位的药剂后，经过x（x∈N*）天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝
，当投放的药剂在水中释放的浓度不低于6个浓度单位时称为水质达到有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6个浓度单位且不高于18个浓度单位时称为水质达到最佳净化．
（1）如果一次投放4个质量单位的药剂，试问水质达到有效净化一共可经过几天？
（2）一次投放m个质量单位的药剂后，经过1天至经过6天水质都能达到最佳净化，试确定m的最小值与最大值；
（3）通过控制一次投放药剂的质量m，可以使最佳净化的天数尽可能多，问：
一次投放多少药剂，可以使经过一天后水质开始连续达到最佳净化，且连续达到最佳净化的天数最多？
某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*.根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与（18－x）2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与1－
成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．
（1）求该公司的月利润f（x）（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？
并求出最大值．
（本题满分16分）（2019·南通二模）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图39 5所示），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案．
方案①：
以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；
方案②：
以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
图39 5
（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
（1）
dm；
（2）2
.
设所得圆柱的半径为rdm，则（2πr＋2r）×4r＝100，
………………………………………………………………………………………2分（列出方程（2πr＋2r）×4r＝100）
解得r＝
.………………………………………………………………………………………………4分（求出r）
所以圆柱的底面半径为
设所得正四棱柱的底面边长为adm，则
即
……………………………………………………………………………………6分（求出a与x满足的不等式组）
所得正四棱柱的体积V＝a2x≤
………………………………………………………9分（求出正四棱柱的体积V关于x的函数及最值（关于x））
记函数p（x）＝
则p（x）在（0,2
]上单调递增，在[2
，＋∞）上单调递减，所以当x＝2
时，
…………………11分（设p（x）＝
利用导数判断p（x）的单调性）
p（x）max＝20
.
答：
当x＝2
，a＝
时，Vmax＝20
dm3.
……………………………………………………………14分（由p（x）的单调性求出p（x）max进而求出Vmax）
2a≤x≤
，从而a≤
.
所得正四棱柱的体积V＝a2x≤a2
＝20a≤20
.
所以当a＝
，x＝2
时，Vmax＝20
dm3.
答：
当x为2
时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.16分
第一步：
由题设列出关于r的方程；
第二步：
从第一步的方程中求出r的值；
第三步：
由题设列出关于a与x的不等式组；
第四步：
写出正四棱柱的体积V（x）并得出V（x）≤p（x）（用x表示）；
第五步：
利用导数判断p（x）的单调性；
第六步：
由p（x）的单调性导出V（x）max及对应的x.
作业评价
（2020·上海模拟）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：
exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：
E＝t2＋20t＋16a；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.
（1）当a＝1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E＝f（t），并求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H（t）；若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．
某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间满足关系：
P＝
（其中c为小于6的正常数）．
（注：
次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
（2020·江苏模拟）为了积极响应国家的环保政策，某公司购买了某种处理污水的机器，在每台机器的使用过程中，机器的去污指数y与时间x（单位：
年）的关系近似为y＝
.已知使用7年时机器的去污指数为4.当机器的去污指数低于3时，排出的污水不能达到国家有关标准．
（1）求一台这种污水处理机最多可使用几年；
（2）若该公司先购买一台机器，当该机器使用3年时，又购买了一台机器，两台机器同时处理污水，写出两台机器共同使用时，去污指数y与时间x（从购买第一台机器开始计算时间）的函数关系式，并判断接下来的10年，该公司排出污水能否达到国家的标准．（注：
若多台机器共同使用，则某个时间的去污指数为每台机器在此时间的去污指数之和）
图39 6所示，某地打算在一块长方形地块上修建一个植物园（ABCDEF围成的封闭区域），其中AB长12百米，BC长4百米，CD＝8.5百米，AF长0.5百米，DEF是一段曲线形公路，该植物园的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，且MP＝PQ，植物园大门位于公路DEF上的M处，音乐广场P位于AB的中点处，为了能够让游客更好地观赏园中的景观，现决定修建一条观光栈道，起点位于距离音乐广场P处2百米的O点所示位置，终点位于美食广场Q处．图39 7所示，建立平面直角坐标系，若M（x，f（x））满足
f（x）＝
（1）求f（x）的解析式；
（2）求观光栈道OQ的长度的最小值．
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