届重庆一诊理科数学试题含答案定稿.docx

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届重庆一诊理科数学试题含答案定稿

[机密]2019年

1月25日前

高2019届学业质量调研抽测（第一次）

理科数学试题卷

理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.

一、选择题：

本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合={，，}，={，}，若∪={，，，}，则实数为

A.或B.或C.或D.或

2.命题:

；命题：

．则命题成立是命题成立的

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3.已知，则=

A．B．C．D．

4.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：

“是乙或丙获奖．”乙说：

“甲、丙都未获奖．”丙说：

“我获奖了.”丁说：

“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据表．

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

最高温

5

9

9

11

17

24

27

30

31

21

最低温

-12

-3

1

-2

7

17

19

23

25

10

已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论错误的是

A．最低温与最高温为正相关

B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加

C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月

D．1至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7至10月，波动性更大

6.如图所示的程序框图，运行程序后，输出的的值为

A．B．C．D．

7.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的

题目：

把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较多的

三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为

A.B.C.D.

8.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色，每个

格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有

A．种B．种C．种D．种

9.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，

则下列说法正确的是

A．函数的最小正周期为B．函数的最小值为

C．函数的图象关于对称D．函数在上单调递减

10.已知函数，若不等式成立，则实数的取值范围是

A．B．C．D．

11.已知抛物线C：

的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别

作两条直线，，直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两

点，若与的斜率的平方和为，则||+||的最小值为

A．B．C．D．

12.如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含

边界）的动点，设，则的最大值是

A．B．

C．D．

二、填空题：

本题共个小题，每小题分，共分．把答案填写在答题卡相应位置上．

13.已知复数，，则__________．

14.在的展开式中，常数项是　　（用数字作答）．

15.若直线：

与曲线C：

交于,两点，则的最小值为　　．

16.已知函数和的图象关于轴对称，当函数和在区间[，]上同时递增或者同时递减时，把区间[，]叫做函数的“不动区间”.若区间[，]为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是　　．

三、解答题：

共分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上．第题第题为必考题，每个试题考生都必须做答.第题第题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

共分.

17．（本小题满分分）

已知数列的前项和为，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，设数列的前项和为，求.

18．（本小题满分分）

自来水公司对某镇居民用水情况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得

到他们10月份的用水量（单位：

吨），用水量分组区间为[5，15]，（15，25]，

（25，35]，（35，45]，由此得到样本的用水量频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）求的值，并根据样本数据，试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值；

（Ⅱ）以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在

[5，15]内的用户数为，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分分）

如图所示，一公园有一块三角形空地，其中

．公园管理方拟在中间开挖一个三角形人工

湖，其中在边上（不与重合，

在之间），且．

第19题图

（Ⅰ）若在距离点处，求的长；

（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小．

设，试确定的大小，使的面积最小．

20．（本小题满分分）

如图，已知椭圆：

，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于,两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于，两点，且||、||、||构成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面积

为．试问：

是否存在直线，使得？

请说明

理由．

21．（本小题满分分）

已知，函数．

（Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设正实数、满足，求证：

对上的任意两个实数、，总有成立．

（二）选考题：

共分.请考生在第、题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：

坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（）若点的极坐标为，且点在直线上，求直线的直角坐标方程；

（II）若直线与曲线交于两点，当最小时，求直线的极坐标方程.

23.【选修4-5：

不等式选讲】（本小题满分10分）

已知函数．

（）求函数的图象与轴所围成的三角形的面积；

（II）设函数的最小值为，若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．

高2019届学业质量调研抽测（第一次）

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：

1-5DABDB6-10CADCD11-12CD

二、填空题：

13．，14.-84，15．，16．．

三、解答题：

17．解：

（）当时，利用公式，可得，.................4分

验证当时是适合的，即；..........................5分

（）,

......................7分

-得：

...........9分

，

............................................12分

18.解：

（）由题意得，（0.02+0.032++0.018）×10=1，解得=0.03；........2分

由最高矩形中点的横坐标为20，可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨；.......................................................4分

50户居民10月份用水量的平均值为：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（吨），

故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨．..............6分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2,

则～（3，），=0，1，2，3；

==；==；

==；==．.............10分

∴的分布列为：

0

1

2

3

．　.................12分

19.解：

（Ⅰ）在中，，

，.................................................2分

在中，由余弦定理得：

，

，..................................................5分

（Ⅱ），

在中，由，得，

在中，由，得，

..................................................................8分

＝＝

＝

＝．......................11分

当，即时，取最小值．

应设计，可使的面积最小．..................12分

20．解：

（）||、||、||构成等差数列，

2=||+||=2||=8，=4．....2分

又因为=2，所以=12，.....................3分

椭圆的方程为．...............4分

（）假设存在直线，使得，显然直线不能与，轴垂直．设方程为,..................................................5分

将其代入，整理得,....6分

设，，,

点的横坐标为，．.......8分

⊥，

，解得，即（，0）,

∵Rt△和Rt△相似，∴若，则||=||,..........10分

，整理得82+9=0．

方程82+9=0无解，不存在直线，使得．..............12分

21．解：

（），..................................1分

函数在上为减函数，即在上恒成立，也即在上恒成立，.................................3分

令，则在上为增函数，==，

；........................................................5分

（）设，令，，

则，，

，

，..................................................7分

又，，

在上是减函数，，，即，......................9分

在上是减函数，，

，，...........................11分

，有，

又，

.................................12分

22．解：

（）由为参数得，直线的直角坐标方程为：

..2分

由的极坐标为得：

的直角坐标为,............................3分

又点在直线上，代入得，...............................................4分

∴直线的直角坐标方程为：

.......................................5分

（II）由得曲线的直角坐标方程为：

即：

...........................................................6分

∴曲线C的圆心为，半径..............................................7分

∵直线：

过定点，且该点在圆内,..........................8分

∴直线与圆交于两点，当最小时,有,,...............9分

直线的直角坐标方程,

化为极坐标方程为：

.....................................10分

23.解：

（）原函数可化为：

................................