上海高考数学真题和答案.docx

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上海高考数学真题和答案

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2018年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题

每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

的值为18分）（42018?

上海）行列式．1．（

：

二阶行列式的定义．OM【考点】

：

矩阵和变换．：

综合法；5R【专题】11：

计算题；49

直接利用行列式的定义，计算求解即可．【分析】

解：

行列式【解答】．2×1=18=4×5﹣

．18故答案为：

本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．【点评】

2．±的渐近线方程为上海）双曲线﹣y=12．（4分）（2018?

【考点】KC：

双曲线的性质．

【专题】11：

计算题．

【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最

后确定双曲线的渐近线方程．

【解答】解：

∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上

的渐近线方程为y=而双曲线±

∴双曲线的渐近线方程为y=±

±y=故答案为：

【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐

....

-----

近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想

72项的系数为）的二项展开式中，x3．（4分）（2018?

上海）在（1+x21（结

果用数值表示）．

【考点】DA：

二项式定理．

【专题】38：

对应思想；4O：

定义法；5P：

二项式定理．

2利用二项式展开式的通项公式求得展开式中【分析】的系数．x

7展开式的通项公式为解：

二项式（1+x）【解答】

r=T，?

xr+1

2的系数为，得展开式中x令r=2=21．

．故答案为：

【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．

4．（4分）（2018?

上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og（x+a）．若f（x）的2

反函数的图象经过点（3，1），则a=7．

【考点】4R：

反函数．

【专题】11：

计算题；33：

函数思想；4O：

定义法；51：

函数的性质及应

用．

【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og（x+a）的图象经过点（1，3），2

由此能求出a．

【解答】解：

∵常数a∈R，函数f（x）=1og（x+a）．2

f（x）的反函数的图象经过点（3，1），

∴函数f（x）=1og（x+a）的图象经过点（1，3），2

....

-----

∴log（1+a）=3，2

解得a=7．

故答案为：

7．

【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．（4分）（2018?

上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=

5．

【考点】A8：

复数的模．

【专题】38：

对应思想；4A：

数学模型法；5N：

数系的扩充和复数．

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求

模公式计算得答案．

【解答】解：

由（1+i）z=1﹣7i，

得，

．则|z|=

故答案为：

5．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

6．（4分）（2018?

上海）记等差数列{a}的前n项和为S，若a=0，a+a=14，763nn

则S=14．7

【考点】85：

等差数列的前n项和．

【专题】11：

计算题；34：

方程思想；4O：

定义法；54：

等差数列与等比

数列．

....

-----

【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a=﹣4，d=2，由此能求出

S．7

【解答】解：

∵等差数列{a}的前n项和为S，a=0，a+a=14，7n3n6

∴，

解得a=﹣4，d=2，1

∴S=7a+=﹣28+42=14．17

故答案为：

14．

【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

7．（5分）（2018?

上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f

α1．α=﹣0x）=x为奇函数，且在（，+∞）上递减，则（

4U：

幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【考点】

51：

函数的性质及应：

方程思想；4O：

定义法；11【专题】：

计算题；34

用．

α是奇数，a，+∞）上递减，得到）=x为奇函数，且在（0【分析】由幂函数f（x

且a＜0，由此能求出a的值．

【解答】解：

∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，

α∞）上递减，+0，=x幂函数f（x）为奇函数，且在（

∴a是奇数，且a＜0，

∴a=﹣1．

故答案为：

﹣1．

....

-----

【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解

能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8．（5分）（2018?

上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），

E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．

【考点】9O：

平面向量数量积的性质及其运算．

【专题】11：

计算题；35：

转化思想；41：

向量法；5A：

平面向量及应用．

【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，

或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小

值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．

【解答】解：

根据题意，设E（0，a），F（0，b）；

∴；

∴a=b+2，或b=a+2；

且；

；∴

当a=b+2；时，

2的最小值为﹣2∵；b+2b

的最小值为﹣3，同理求出∴b=a+2时，．3的最小值为﹣

故答案为：

﹣3．

【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及

向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．

9．（5分）（2018?

上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝

....

-----

码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的

概率是（结果用最简分数表示）．

【考点】CB：

古典概型及其概率计算公式．

【专题】11：

计算题；34：

方程思想；49：

综合法；5I：

概率与统计．

9克的事件总数，然后求出三个砝码的总质量为【分析】求出所有事件的总数，

求解概率即可．

5克、3克、1克砝码各一个，2解：

编号互不相同的五个砝码，其中【解答】

克砝码两个，

从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，

=10，所有的事件总数为：

9克的事件只有：

5，3，1或5，2，2两个，这三个砝码的总质量为

所以：

这三个砝码的总质量为9克的概率是：

=，

．故答案为：

【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．

*n1﹣的通项公式为分）（2018?

上海）设等比数列{a}．（105），前∈Nna=q（nn

．q=3，则项和为nS．若=n

【考点】8J：

数列的极限．

【专题】11：

计算题；34：

方程思想；35：

转化思想；49：

综合法；55：

点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解

公比即可．

....

-----

n1﹣a解：

等比数列{a}的通项公式为【解答】，），可得a=1=q（n∈N*n1

，1因为=，所以数列的公比不是

n．=q，an+1

可得====，

可得q=3．

故答案为：

3．

【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的

简单性质的应用，是基本知识的考查．

11．（5分）（2018?

上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P

p+q=36pq，则a=，）．若26．（p，），Q（q

【考点】3A：

函数的图象与图象的变换．

【专题】35：

转化思想；51：

函数的性质及应用．

【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．

【解答】解：

函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：

，

整理得：

=1，

2p+q=apq解得：

2，

....

-----

p+q=36pq，由于：

2，=36所以：

，0由于a＞

故：

a=6．

故答案为：

【点评】本题考查的知识要点：

函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．

2222，=1+yy满足：

x+y=1，x、12．（5分）（2018?

上海）已知实数xx、y、22112121

xx+yy=，则+的最大值为+．2211

【考点】7F：

基本不等式及其应用；IT：

点到直线的距离公式．

【专题】35：

转化思想；48：

分析法；59：

不等式的解法及应用．

【分析】设A（x，y），B（x，y），=（x，y），=（x，y），由圆的方22122111

OAB程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，AB=1，

+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离

d与d之和，由两平行线的距离可得所求最大值．21

【解答】解：

设A（x，y），B（x，y），2121

=（x，y），=（x，y），1122

2222由x+y=1，x+y=1，xx+yy=，2121212122可得A，B两点在圆x+y=1上，

且?

=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

....

-----

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

+的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d与d之和，21

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：

x+y+t=0，（t＞0），

d=AB的距离由圆心O到直线，

可得2=1，解得t=，

即有两平行线的距离为，=

的最大值为+，+即

故答案为：

．+

【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点

与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确

选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．（5分）（2018?

上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两

个焦点的距离之和为（）

D．4A．2B．2C．2

【考点】K4：

椭圆的性质．

....

-----

【专题】11：

计算题；49：

综合法；5D：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转

化求解即可．

【解答】解：

椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，

P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：

则P到该椭圆的两个焦点的

距离之和为．2a=2

故选：

C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考

查．

14．（5分）（2018?

上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜

）”的（1

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

【考点】29：

充分条件、必要条件、充要条件．

【专题】11：

计算题；34：

方程思想；4O：

定义法；5L：

简易逻辑．

【分析】“a＞1”?

“”，“”?

“a＞1或a＜0”，由此能求出结

果．

【解答】解：

a∈R，则“a＞1”?

“”，

“”?

“a＞1或a＜0”，

∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．

故选：

A．

....

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【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

15．（5分）（2018?

上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底

面的四棱锥为阳马，设AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱1

）柱的顶点为顶点、以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（1

A．4B．8C．12D．16

【考点】D8：

排列、组合的实际应用．

【专题】11：

计算题；38：

对应思想；4R：

转化法；5O：

排列组合．

【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．

【解答】解：

根据正六边形的性质，则D﹣AABB，D﹣AAFF满足题意，而111111

C，E，C，D，E，和D一样，有2×6=12，111

当AACC为底面矩形，有2个满足题意，11

当AAEE为底面矩形，有2个满足题意，11

故有12+2+2=16

故选：

D．

....

-----

【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中

档题．

16．（5分）（2018?

上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的

函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，

）的可能取值只能是（（1f）

0A．．D．B．C

【考点】3A：

函数的图象与图象的变换．

【专题】35：

转化思想；51：

函数的性质及应用；56：

三角函数的求值．

直接利用定义函数的应用求出结果．【分析】

12个点为一组，每次绕原点逆时解：

由题意得到：

问题相当于圆上由【解答】

个单位后与下一个点会重合．针旋转

，01f（）=时，此时得到的圆心角，我们可以通过代入和赋值的方法当

，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道，为

x只能对应一个y，因此只有当x=，函数的定义就是要求一个，此时旋转

．，因此答案就选：

B此时满足一个x只会对应一个y

．故选：

【点评】本题考查的知识要点：

定义性函数的应用．

....

-----

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应

位置写出必要的步骤.

17．（14分）（2018?

上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．

（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°M，为线段AB的中点，

如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．

【考点】LM：

异面直线及其所成的角；L5：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】11：

计算题；31：

数形结合；41：

向量法；5F：

空间位置关系与

距离；5G：

空间角．

【分析】

（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4

能求出圆锥的体积．

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．

【解答】解：

（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长

为4，

∴圆锥的体积V==

=．

....

-----

（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，

的中点，ABM为线段

轴，为zx轴，OB为y轴，OP∴以O为原点，OA为

建立空间直角坐标系，

），，0（2，0，0），B（0，2AP（0，0，4），

00，），），O（0，0M（1，1，

），，﹣（1，14=），0，02，=（

，θOB设异面直线PM与所成的角为

．=θ则cos==

．=arccos∴θ

．arccosOB所成的角的为PM∴异面直线与

【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考

查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查

函数与方程思想，是基础题．

2．18．（=asin2x+2cos）x（fR∈a上海）设常数2018?

分）（14，函数x

....

-----

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

【考点】GP：

两角和与差的三角函数；GS：

二倍角的三角函数．

【专题】11：

计算题；38：

对应思想；4R：

转化法；58：

解三角形．

【分析】

（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，

（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求2x，x）=asin2x+2cos出．【解答】解：

（1）∵f（2，﹣asin2x+2cosx∴f（﹣x）=

（x）为偶函数，∵f），x）=f（∴f（﹣x22x=asin2x+2cosx，∴﹣asin2x+2cos

∴2asin2x=0，

a=0；∴

（2）∵f（）=+1，

2（+2cos）=a+1=∴asin+1，

a=∴，

2x=）=sin2x+2cos∴f（xsin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣，

∴2sin（2x+）+1=1﹣，

∴sin（2x+）=﹣，

∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

....

-----

∵x∈[﹣π，π]，

∴x=或x=或x=﹣或x=﹣

【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．

19．（14分）（2018?

上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员

从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通

勤．分析显示：

当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤

时间为

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