－mg＝ma中的a不恒定，故B项不可能．
二、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中能量的转化
电磁感应过程实质是不同形式的能量相互转化的过程，其能量转化方式为：
2．求解电磁感应现象中能量问题的一般思路
（1）确定回路，分清电源和外电路．
（2）分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如：
①有滑动摩擦力做功，必有内能产生；
②有重力做功，重力势能必然发生变化；
③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能．
（3）列有关能量的关系式．
例2
如图3所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0m，下端连接R＝1.6Ω的电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0T.
图3
质量m＝0.5kg、电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行，当金属棒滑行s＝2.8m后速度保持不变．求：
（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2）
（1）金属棒匀速运动时的速度大小v；
（2）金属棒从静止到刚开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR.
答案
（1）4m/s
（2）1.28J
解析
（1）金属棒匀速运动时产生的感应电流为I＝
由平衡条件有F＝mgsinθ＋BIL
代入数据解得v＝4m/s.
（2）设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律有
Q＝Fs－mgs·sinθ－
mv2
而QR＝
Q，代入数据解得QR＝1.28J.
针对训练2 水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为L、质量为m的导体棒ab，ab处在磁感应强度大小为B、方向如图4所示的匀强磁场中，导轨的一端接一阻值为R的电阻，导轨及导体棒电阻不计．现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动，当通过的位移为x时，ab达到最大速度vm.此时撤去外力，最后ab静止在导轨上．在ab运动的整个过程中，下列说法正确的是（ ）
图4
A．撤去外力后，ab做匀减速运动
B．合力对ab做的功为Fx
C．R上释放的热量为Fx＋
mv
D．R上释放的热量为Fx
答案 D
解析 撤去外力后，导体棒水平方向只受安培力作用，而F安＝
，F安随v的变化而变化，故导体棒做加速度变化的变速运动，A错；对整个过程由动能定理得W合＝ΔEk＝0，B错；由能量守恒定律知，恒力F做的功等于整个回路产生的电能，电能又转化为R上释放的热量，即Q＝Fx，C错，D正确．
1．（多选）如图5所示，不计电阻的平行金属导轨ab、cd竖直放置，上端接有电阻R，ef是一根电阻不计的水平放置的导体棒，质量为m，棒的两端分别与ab、cd保持良好接触，且能沿导轨无摩擦下滑，整个装置放在与导轨垂直的匀强磁场中，当导体棒ef由静止下滑一段时间后闭合开关S，则S闭合后（ ）
图5
A．导体棒ef的加速度可能大于g
B．导体棒ef的加速度一定小于g
C．导体棒ef最终的速度随S闭合时刻的不同而不同
D．导体棒ef的机械能与回路内产生的热量之和一定守恒
答案 AD
解析 开关S闭合前，导体棒只受重力而加速下滑．闭合开关时有一定的初速度v0，若此时F安＞mg，则F安－mg＝ma.若F安＜mg，则mg－F安＝ma，F安不确定，故加速度的大小也不确定，选项A正确，选项B错误；无论闭合开关时初速度为多大，导体棒最终所受的安培力和重力都平衡，故选项C错误；根据能量守恒定律可知，选项D正确．
2.（多选）如图6所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，且上升的高度为h，在这一过程中（ ）
图6
A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和
C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案 AD
解析 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿斜面向下，做负功．匀速运动时，所受合力为零，故合力做功为零，A正确；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于R上产生的焦耳热，故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确．
3．如图7所示，空间存在B＝0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2m，电阻R＝0.3Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1kg、电阻r＝0.1Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，该过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：
图7
（1）导体棒所能达到的最大速度；
（2）试定性画出导体棒运动的速度－时间图象．
答案
（1）10m/s
（2）见解析图
解析
（1）导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势：
E＝BLv①
I＝
②
导体棒受到的安培力F安＝BIL③
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，
根据牛顿第二定律：
F－μmg－F安＝ma④
由①②③④得：
F－μmg－
＝ma⑤
由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大．
此时有F－μmg－
＝0⑥
可得：
vm＝
＝10m/s⑦
（2）导体棒运动的速度－时间图象如图所示．
一、选择题
1．如图1所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则（ ）
图1
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
答案 A
解析 ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIl＝
＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动．故A正确．
2．如图2所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于（ ）
图2
A．棒的机械能增加量B．棒的动能增加量
C．棒的重力势能增加量D．电阻R上放出的热量
答案 A
解析 棒加速上升时受到重力、拉力F及安培力．根据功能原理可知，力F与安培力做的功的代数和等于棒的机械能的增加量，A正确．
3．（多选）如图3所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（ ）
图3
A．Q1＞Q2B．Q1C．q1＝q2D．q1＞q2
答案 AC
解析 根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，
即Q1＝W1＝F1lbc＝
lbc＝
lab
同理Q2＝
lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；
因q＝
t＝
t＝
＝
，
故q1＝q2.因此A、C正确．
4．如图4所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1Ω.一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2kg，接入电路的电阻为1Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为（重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6）（ ）
图4
A．2.5m/s 1WB．5m/s 1W
C．7.5m/s 9WD．15m/s 9W
答案 B
解析 导体棒MN匀速下滑时受力如图所示，
由平衡条件可得F安＋μmgcos37°＝mgsin37°，所以F安＝mg（sin37°－μcos37°）＝0.4N，由
F安＝BIL得I＝
＝1A，所以E＝I（R灯＋RMN）＝2V，导体棒的运动速度v＝
＝5m/s，小灯泡消耗的电功率为P灯＝I2R灯＝1W．正确选项为B.
5.如图5所示，边长为L的正方形导线框质量为m，由距磁场H高处自由下落，其下边ab进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边dc刚刚穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时的一半，磁场的宽度也为L，则线框穿过匀强磁场过程中产生的焦耳热为（ ）
图5
A．2mgLB．2mgL＋mgH
C．2mgL＋
mgHD．2mgL＋
mgH
答案 C
解析 设线框刚进入磁场时的速度为v1，刚穿出磁场时的速度v2＝
①
线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为2L.由题意得
mv
＝mgH②
mv
＋mg·2L＝
mv
＋Q③
由①②③得Q＝2mgL＋
mgH.选项C正确．
6．（多选）如图6所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框，ab边的质量为m，电阻为R，其他三边的质量和电阻均不计．cd边上装有固定的水平轴，将金属框自水平位置由静止释放，第一次转到竖直位置时，ab边的速度为v，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
图6
A．通过ab边的电流方向为a→b
B．ab边经过最低点时的速度v＝
C．ab边经过最低点时的速度v＜
D．金属框中产生的焦耳热为mgL－
mv2
答案 CD
解析 ab边向下摆动过程中，金属框内磁通量逐渐减小，根据楞次定律及右手螺旋定则可知感应电流方向为b→a，选项A错误；ab边由水平位置到达最低点过程中，机械能一部分转化为焦耳热，故v＜
，所以选项B错误，C正确；根据能量守恒定律可知，金属框中产生的焦耳热应等于此过程中机械能的损失，故选项D正确．
7.（多选）如图7所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S＝0.5m2，线圈电阻r＝0.2Ω，磁感应强度B在0～1s内从零均匀变化到2T，则（ ）
图7
A．0.5s时线圈内感应电动势的大小为1V
B．0.5s时线圈内感应电流的大小为10A
C．0～1s内通过线圈的电荷量为5C
D．0～0.5s内线圈产生的焦耳热为5J
答案 AC
解析 根据法拉第电磁感应定律E＝n
可得：
E＝
＝1V，故选项A正确；线圈内感应电流的大小I＝
＝
A＝5A，故选项B错误；0～1s内通过线圈的电荷量q＝It＝5×1C＝5C，故选项C正确；0～0.5s内线圈产生的焦耳热Q＝I2rt＝52×0.2×0.5J＝2.5J，故选项D错误．
8.（多选）如图8所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则（ ）
图8
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
答案 BC
解析 金属杆由静止开始滑下的过程中，金属杆就是一个电源，与电阻R构成一个闭合回路；其受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：
mgsinα－
＝ma
所以金属杆由静止开始做加速度减小的加速运动，当a＝0，即mgsinα＝
时，此时达到最大速度vm，可得：
vm＝
，故由此式知选项B、C正确．
9．（多选）如图9所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好．则金属棒穿过磁场区域的过程中（ ）
图9
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒产生的焦耳热为
（mgh－μmgd）
答案 AD
解析 金属棒下滑到底端时的速度为v＝
，感应电动势E＝BLv，所以流过金属棒的最大电流为I＝
；通过金属棒的电荷量为q＝
＝
；克服安培力所做的功为W＝mgh－μmgd；电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，所以金属棒产生的焦耳热为
（mgh－μmgd）．选项A、D正确．
二、非选择题
10.如图10所示，电阻r＝0.3Ω、质量m＝0.1kg的金属棒CD静止在位于水平面上的两条平行光滑的金属导轨上，棒与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻不计，导轨的左端接有阻值为R＝0.5Ω的电阻，有一个理想电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过导轨平面．现给金属棒加一个水平向右的恒定外力F，观察到电压表的示数逐渐变大，最后稳定在1.0V，此时金属棒的速度为2m/s.
图10
（1）求拉动金属棒的外力F的大小．
（2）当电压表读数稳定后某一时刻，撤去外力F，求此后电阻R上产生的热量．
答案
（1）1.6N
（2）0.125J
解析
（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv
电路中的感应电流I＝
，
金属棒受到的安培力F安＝BIL，
金属棒匀速运动有F＝F安
由题意可知E＝
·（R＋r），
联立以上各式解得F＝1.6N.
（2）金属棒的动能转化为内能，则
mv2＝Q，
电阻R上产生的热量QR＝
Q，
解得QR＝0.125J.
11．如图11所示，相距为L的光滑平行金属导轨ab、cd固定在水平桌面上，上面放有两根垂直于导轨的金属棒MN和PQ，金属棒质量均为m，电阻值均为R.其中MN被系于中点的细绳束缚住，PQ的中点与一绕过定滑轮的细绳相连，绳的另一端系一质量也为m的物块，绳处于拉直状态．整个装置放于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B.若导轨的电阻、滑轮的质量及一切摩擦均忽略不计，当物块由静止释放后，求：
（重力加速度为g，金属导轨足够长）
图11
（1）细绳对金属棒MN的最大拉力；
（2）金属棒PQ能达到的最大速度．
答案
（1）mg
（2）
解析
（1）对棒PQ，开始时做加速度逐渐减小、速度逐渐增大的变加速运动，当加速度为零时，速度达到最大，此时感应电流最大．此后棒PQ做匀速直线运动．
对棒PQ，F安＝BLIm＝mg
对棒MN，Fm＝F安＝BLIm＝mg.
（2）对棒PQ，F安－mg＝0时速度最大
E＝BLvm，I＝
，F安＝BLI
解得vm＝
.
升级会员 