高中数学必修4三角恒等变换复习专题汇编.docx

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高中数学必修4三角恒等变换复习专题汇编

考点一　平面向量的有关概念

【例1】给出下列命题：

6①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中真命题的序号是________．

考点二　平面向量的线性运算

例2】如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，B＝，＝.试用a，b表示，及.

【训练2】

（1））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.

（2））已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有（　　）．

A.＝2B.＝2C.＝2D.＝2

考点三　向量共线定理及其应用

【例3】（2013·郑州一中月考）设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【训练3】已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d同向，则实数λ的值为_____．

方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算

【典例】设a，b是两个非零向量．（　　）．

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

【自主体验】在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝（　　）．A.B.C.D.

基础巩固题组

1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（　　）．

A.＝＋B.＝－C.＝－＋D.＝－－

3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．下列命题中，正确的是（　　）．A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．若ka＝0，则k＝0或a＝0D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|

5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为（　　）．

A.B.C.D.

.6．）给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是

7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________（用a，b表示）．

8．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．

9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一条直线上？

能力提升题组

1．知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的（　　）．

A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点

2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若＝x＋（1－x），则实数x的取值范围是（　　）．A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－1,0）D．（0,1）

3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示考点一　平面向量基本定理的应用

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.

【训练1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若A＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）．　A.B.C.D.

考点二　平面向量的坐标运算

【例2】已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4），设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标．

【训练2】

（1）已知平面向量a＝（1,1），b＝（1，－1），则向量a－b＝（　　）．A．（－2，－1）B．（－2,1）C．（－1,0）D．（－1,2）

（2）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝（2,4），＝（1,3），则＝A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3,5）D．（2,4）

考点三　平面向量共线的坐标表示

【例3】平面内给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1）．

（1）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k；

（2）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝，求d的坐标．

【训练3】已知向量a＝（1,2），b＝（1,0），c＝（3,4）．若λ为实数，（a＋λb）∥c，则λ＝（　　）．

A.B.C．1D．2

（2）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A（1,2），B（2,1），C（4,2），则点D的坐标为

思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用

1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.

2．已知向量a＝，b＝（x,1），其中x>0，若（a－2b）∥（2a＋b），则x＝________.

基础巩固题组

1如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：

①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（　　）．

A．①②B．③④C．①③D．①④

2．已知点A（－1,5）和向量a＝（2,3），若＝3a，则点B的坐标为（　　）．

A．（7,4）B．（7,14）C．（5,4）D．（5,14）

3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则（　　）．

A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝

4．已知向量a＝（－1,1），b＝（3，m），a∥（a＋b），则m＝（　　）．A．2B．－2C．－3D．3

5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2P，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（　　）．A．（－2,7）B．（－6,21）C．（2，－7）D．（6，－21）

6．若三点A（2,2），B（a,0），C（0，b）（ab≠0）共线，则＋的值为________．

7．已知向量＝（3，－4），＝（0，－3），＝（5－m，－3－m），若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．

8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

9．已知a＝（1,2），b＝（－3,2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？

平行时它们是同向还是反向？

10．已知点O为坐标原点，A（0,2），B（4,6），＝t1＋t2.

（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；

（2）求证：

当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．

能力提升题组

1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝（a＋c，b），q＝（b－a，c－a），若p∥q，则角C的大小为（　　）．A．30°B．60°C．90°D．120°

2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋，则m＋n的取值范围是（　　）．A．（0,1）B．（1，＋∞）C．（－∞，－1）D．（－1,0）

3．设＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b,0），a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．

4.如图，已知点A（1,0），B（0,2），C（－1，－2），求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐

第3讲　平面向量的数量积

考点一　平面向量数量积的运算

【例1】

（1）已知a＝（1,2），2a－b＝（3,1），则a·b＝（　　）．

A．2B．3C．4D．5

（2）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．

．【训练1】

（1）若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x）满足条件（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）．

A．6B．5C．4D．3

（2）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为

考点二　向量的夹角与向量的模

【例2】

（1）若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

（2）已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.

【训练2】

（1）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

（2）若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是________．考点三　平面向量的垂直问题

【例3】已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ）（0<α<β<π）．

（1）求证：

a＋b与a－b互相垂直；

（2）若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α（其中k为非零实数）．

，【训练3】已知平面向量a＝（，－1），b＝.

（1）证明：

a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋（t2－3）b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f（t）．

教你审题5——数量积的计算问题

【典例】在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

【自主体验】在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

基础巩固题组

1．向量a＝（1,2），b＝（0,2），则a·b＝（　　）．

A．2B．（0,4）C．4D．（1,4）

2．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则在方向上的投影为（　　）．

A.B.C．1D．2

．3已知向量a＝（，1），b＝（0,1），c＝（k，）．若a＋2b与c垂直，则k＝（　　）．

A．－3B．－2C．－1D．1

4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且（2a＋b）·b＝0，则向量a，b的夹角为（　　）．

A.B.C.D.

5．在四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－4,2），则该四边形的面积为（　　）．

A.B．2C．5D．10

6已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b.若b·c＝0，则t＝________.

7在平面直角坐标系xOy中，已知＝（3，－1），＝（0,2）．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为________．

8.，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，<，>＝60°，则||＝________.

9．已知平面向量a＝（1，x），b＝（2x＋3，