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离散数学习题整合

CH01复习题

§1.2

1.命题判断〔每空1分，共4分〕P32-

A小和小王是同班同学B小猪不是鲜花C3-2n<0D假如2+2=4，如此太阳从西方升起。

上述语句中，是简单命题，不是命题，是符合命题且真值为假，是符合命题且真值为真。

〔参考答案：

ACDB〕

2.命题符号化〔每空2分，共4分〕习题1.5（7）（3）P32-

p：

天下大雨，q：

他乘公共汽车去上班，命题“除非天下大雨，否如此他不乘公共汽车去上班〞可符号化为。

〔参考答案：

q→p必要条件为后件〕

r：

天很冷，s：

老来了，命题“虽然天很冷，老还是来了〞可符号化为。

〔参考答案r∧s〕

3.五个真值表〔每空2分，共4分〕习题1.6

（2）（4）P32-

设p的真值为0，r的真值为1，q、s都是命题，如此命题公式〔

的真值为，命题公式

的真值为。

〔参考答案：

0,1〕

4.用符号p、q填空。

〔每空1分，共4分〕根本概念

设p：

x>0〔其中x是整数〕，q：

太阳从西方升起，如此是命题，是命题变项，是命题常项，不是命题。

〔参考答案：

q，p，q，p〕

5.命题符号化，相容或与排斥或

设r：

现在小在图书馆，s：

现在小在学生宿舍，如此“现在小在图书馆或学生宿舍〞可符号化为。

〔参考答案：

B〕

Ar∨sB（r∧¬s）∨（¬r∧s）Cr∧sD（r∧¬s）或（¬r∧s）

§1.2命题公式与分类

：

A是含三个命题变项的命题公式，且A（001）=0，A（100）=1，如此A是。

〔D〕

A矛盾是B可满足式C重言式D非重言式的可满足式

§1.3等值演算

用等值演算法证明等值式：

（p∧q）→rp→（q→r）.（演算的每一步都要写依据）

§1.4式

6.〔每项1分，共4分〕命题公式A（p,q）的真值表

A（p,q）

求A的永主析取式、主合取式、成真赋值和成假赋值。

〔参考答案：

m1∨m3，M0∧M2，01、11，00、10〕

7.〔2分〕命题公式B（p,q,r）=（¬p∧r∧¬q）的主析取式是。

〔参考答案：

C〕

Am2BM6Cm1DM5E

命题公式B（p,q,r）=（¬p∨¬q∨r）的主析取式是。

〔参考答案：

A〕

Am0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7BM6Cm1DM1

§1.5全功能集〔2分〕

不是联结词全功能集。

〔参考答案：

D〕

A{↑}B{¬,→}C{¬,∨}D{∧,∨}

是联结词全功能集。

〔参考答案：

A〕

A{↓,}B{∨,∧}C{∨}D{∧}

§1.6组合电路

〔习题1.16〕有一盏灯由三个开关控制，要求按任何一个开关都能使灯由黒变亮或由亮变黑，试设计这样的一个电路。

〔解题根本步骤：

状态设置、设计真值表、写主析取式、化简、绘制电路.答案不唯一〕

§1.7推理理论

（习题1.19

（1））用直接证明法或归谬法证明下面的推理.

前提：

¬（p∧¬q），¬q∨r，¬r.结论：

¬p.

证明：

…

（习题1.19（3））用直附加前提法证明下面的推理.

前提：

P→q.结论：

P→（p∧q）.

证明：

…

〔例题1.28〕公安人员审查一件盗窃案，事实如下：

（1）或王盗窃了录音机；

（2）假如盗窃了录音机，如此作案时间不能发生在午夜前；

（3）假如王的证词正确，如此午夜时屋里灯光未灭；

（4）假如王的证词不正确，如此作案时间发生在午夜前；

（5）午夜时屋里灯光灭了.

试问盗窃录音机的是还是王，并证明你的结论。

参考答案：

王盗窃了录音机.

设p：

盗窃了录音机；

q：

王盗窃了录音机；

r：

作案时间发生在午夜前；

s：

王的证词正确；

t：

午夜时屋里灯光灭了.

前提：

p∨q，p→¬r，s→t，¬s→r，¬t.结论：

证明：

…

CH02复习题

§2.1例2.1〔3〕

1将命题“假如一的成绩比王二高，王二的成绩比吴三高，那么一的成绩比吴三高〞用0元谓词符号化。

解：

设H（x,y）：

x的成绩比y高，a：

一，b：

王二，c:

吴三

如此命题可符号化为H（a,b）∧H（b,c）H（a,c）

§2.1例2.4〔4〕

2在一阶逻辑中将命题“素数不全是奇数〞符号化。

解：

设F（x）：

x是素数，G（x）：

x是奇数

如此命题可符号化为x（F（x）∧G（x））

或x（F（x）G（x））

3〔每空1分，共4分〕

给定解释I，对一阶逻辑合式公式中每个出现的指定中的一个元素，称作在下的赋值。

〔自由个体变项个体域解释I〕

4下面的一阶逻辑合式公式不是闭式。

（D有自由出现）

Ax（F（x）G（X））By（F（x,y）G（x））CxF（x）yG（y）DxF（x,y）yG（y）

5下面各种表示，不正确。

（C例2.8〔5〕）也可改造成正误判断题

A在给定的解释和赋值下，任何一阶逻辑合式公式都是命题√P45-

B闭公式的真值与赋值无关，只需要给定解释

C非闭式的公式的真值只与赋值有关

D可满足式可能是逻辑有效式

6在四个合式公式∀x∃y（F（x）→（G（y）∧H（x,y）））、∀x（F（x）→∃y（G（y）∧H（x,y）））、∀x⌝（F（x）∧G（x））、⌝∃x（F（x）∧G（x））中共有个是前束式。

〔参考答案：

A〕

A2B3C1D0

〔*参考答案：

B〕

7F（x）=⌝∃x（M（x）∧F（x）），G1（x）=∀x⌝（M（x）∧F（x）），G2（x）=∀x（⌝M（x）∨⌝F（x）），

G3（x）=∀x（M（x）→⌝F（x）），如此在G1（x）、G2（x）和G3（x）中，有个是F（x）的前束式。

A0B3C2D1

例2.11〔3〕

8求公式xF（x）G（x）的前束式。

解：

xF（x）G（x）

xF（x）xG（x）（蕴涵等值式）

xF（x）xG（x）（量词否认等值式）

xF（x）G（x））（量词分配等值式）

解法2：

xF（x）G（x）

xF（x）yG（y）（换名规如此）

x（F（x）yG（y））（量词扩TH2.2

（2）

）

xyF（x）G（y））（量词扩TH2.2

（2）

）

解法3：

xF（x,）G（x）F（y）G（x））

设个体域D={a,b}，消去公式x（F（x）∧yG（y））中的量词。

离散CH03复习题

判断〔1分/每一小题〕

假如集合A={1，{1,2}，3}，如此2A〔×〕

假如集合B={2，{a，b}}，如此{a，b}B〔×〕

单项选择〔2分/每一小题〕

下面的集合算式不正确。

〔∵A=∴C〕

AA-（B∪C）=A-B）∪（A-C）BA-B=A∩～BCA=ADABA-B=

B={{a，b}，c}，如此|P（A）|=.〔∵P（A）={，{c}，{{a，b}}，B}，∴A〕

A|{，{c}，{{a，b}}，B}|B2C3D8

填空〔2分/每一小题〕

假如|P（A）|=128，如此|A|=.（∵|P（A）|=27,∴7）

设A={1,3,3}，如此|A|=.∵A={1,3}，∴2）

计算〔8分/每一小题〕

某班有48个学生，第一次作业优秀7人，第二次作业优秀6人，两次作业都没得优秀的41人，求两次作业都得优秀的人数。

〔求解过程参见[例3.12]，参考答案：

6〕

解：

用A、B分别表示第一次和第二次作业优秀的人数集合，E为某班全体学生的集合

如此：

|E|=48，|A|=7，|B|=6，|～A∩～B|=41

|～A∩～B|=|E|-（|A|+|B|）+|A∩B|

|A∩B|=41-48+（7+6）

A={{a，b}，c，d}，B={c，d}，计算A∩B、A∪B、A-B、AB。

〔P74-3.13

（1）〕

画图

画〔A∩～B〕∪〔C-B〕的文氏图。

〔3.15〔3〕〕

证明：

〔A∩～B〕∪〔C-B〕=〔A∪C〕-B

证：

左式=〔A∩～B〕∪〔C∩～B〕〔3.27/差交运算转换〕

=（A∪C）∩～B〔3.8/分配律〕

=（A∪C）-B〔3.27/差交运算转换〕

离散CH04复习题

判断〔1分/每一小题〕

1.A是任意集合，如此A×A的任何子集称作A上的二元关系。

〔√〕

2.假如集合B={2，{a，b}}，如此{a，b}B〔×〕

单项选择〔2分/每一小题〕

3.A是任意集合，{|xA}称作关系。

〔∵恒等关系蕴含其是A上的∴B〕

A空B恒等C全域DA上的

4.设A={a，b，c}，R={，，，，，}，如此是R的关系矩阵。

〔参见P80-，参考答案：

〔A〕

ABCD

设S={1,2,3,4}，R是S上的关系，其关系矩阵是，R的关系图中有个环。

A1B3C6D7

填空〔2分/每一小题〕

6.A、B是任意两个集合，假如|A|=m，|B|=n，如此|P（A×B）|=。

〔〕

7.设A是任意集合，|A|=n，如此A上有个不同的二元关系。

（,|A×A|=n2）

8.R是集合A上的等价关系，如果有序对R，如此记作。

〔a～b〕

集合A上的偏序关系，如此可将此偏序关系简记作；有序对，可记作。

〔ab〕

计算〔8分/每一小题〕

10.关系R={<2,{2}>，<{2},{2,{2}}>}，求RR、R{2}、R[{2}].（同例4.7理解定义4.9）

解：

RR={<2，{2,{2}}>}

R{2}={<2,{2}>}限制

R[{2}]=ran〔R{2}〕=ran{<2,{2}>}={{2}}像集

11.A={a，b，c，d}，R1和R2是A上的关系，且R1={，，}，

R2={，，，}。

求R2R1。

解：

∵R1R2，∴R2R1

R1R2，∴R2R1

故R2R1={，}

证明题

综合：

§1等值公式和等值运算+§3集合运算+§4关系性质的定义

12.设集合A上的两个关系R1和R2都是对称的，证明R1∩R2仍是对称的。

证明：

参见主教材P87-

13.试证任何集合A的幂集P（A）上的包含关系R是偏序关系

证明：

xP（A），都有xx，，R∴R是自反的

R∧x≠y

xy∧x≠y

xy〔集合包含关系的定义〕

R（包含关系的定义）∴R是反对称的

x、t、yP（A）,假如R∧R

如此xt∧ty（关系R的定义）

xy〔集合运算律〕

R〔关系R的定义〕∴R是传递的

14.R的关系图如如下图所示，画R的自反闭包r〔R〕、对称闭包s〔R〕、传递闭包t（R）.

15.画<{1,2,3,4,5,6,7,8}，R整除>的哈斯图。

16.判断函数f：

N→N，是否是满射、单射、双射，为什么?

解：

作f的对应关系图如右，由图可知

1无原像，故f非满射，也非双射。

但f是单射。

离散CH05

选择一个最适宜的答案

〔和边的交替〕序列Γ：

e0e1e2e3e4e5称为。

〔A〕

A简单通路B初级通路C通路D复杂通路

2.下面有向图中的顶点序列Γ：

V0V1V2V3V4V2V5称为。

〔C〕

A路径B初级通路C简单通路D复杂通路

3.能构成图的度数序列。

〔C〕

A〔3，3，2，1〕B〔2，3，2〕C〔1〕D〔3，3，3〕

填空：

4.设G〔V,E〕是n阶有向简单图，假如u，v∈V，都有，如此称G是n阶有向完全图。

〔∈E∧∈E〕

5.G〔V,E〕是n阶有向完全图，通常记为。

（Kn〕

6.在下面的有向图中，从v2到v2的长度为2的初级回路是。

v2e4v1e1v2

7.在下面的无向图中，顶点是割点，边是桥。

〔V2〕〔e3〕

8.设G是有向图或无向图，称p〔G〕是图G的。

〔连通分支个数〕

简答〔6分/每一小题〕

§5.2

9.下面三个无向图，它们之间哪些同构，哪些不同构。

假如不同构，为什么？

假如同构，请建立顶点之间的双射。

图G1图G2图G3

答：

图G1与图G2不同构，因为图G1与G2存在度不一样的顶点。

…2分

同理G2G3.…2分

G1G3.…2分

2cb

43da

建立顶点之间的如下对应关系f：

1→a，2→b，3→c，4→d，f是双射，并且两图的边也一一对应。

11.图强连通，图单向连通，图弱连通，图非连通。

参考答案：

D2、D3、D4、D1〕

12.应用题P133-[例5.6]

离散CH06

选择一个最适宜的答案

1.下面三种说法，其中不正确的有个。

（C还有必要条件）

Hall定理是二部图G（V1,V2,E）存在完备匹配的充要条件

无论是有向图还是无向图，都有判断其是否存在欧拉通路和欧拉回路的充要条件

目前只有判断哈密顿图的充分条件

A0B3C1D2

2.下面四种说法，其中正确的有个。

〔A〕

存在既是欧拉图又是哈密顿图的无向图

存在是欧拉图不是哈密顿图的无向图

存在不是欧拉图却是哈密顿图的无向图

存在既不是欧拉图又不是哈密顿图的无向图

A4B3C2D1

填空

3.用G（V1,V2,E）表示二部图G，|V1|=n，|V2|=m，记号表示图G为。

〔完全二部图〕

4.假如图G画在平面上使得除顶点处外没有出现，如此称G为平面图。

〔边交叉〕

5.下面的平面图共有个面，其中无限面R0的次数deg〔R0〕=。

〔3，8〕

平面图6-1

6.非连通的平面图6-2的外部面是R0，deg〔R0〕=。

〔9〕

非连通平面图6-2

应用题：

7.P151-习题6.5〔二部图的应用〕

8.P151-习题6.15〔哈密顿图的应用〕

9.P152-习题6.18〔欧拉通路或欧拉回路的应用〕

10.*P152-习题6.23〔平面图在作色中的应用〕

离散CH07复习题

1.P165-↓12设n阶连通无向图G（V,E）有m条边，G的生成树有条边，余树有条边。

〔n-1，m-n+1〕

2.P167-例7.5〔2〕画出4个顶点非同构无向树。

〔2种〕

3.P173-习题7.16〔3〕画出4个顶点非同构的根树〔4种〕

4.下面三条表示中有条正确。

〔B〕

①一阶零图是一棵树②只有一片树叶的树在同构意义下只有1种

③树中每条边都是桥④在树中任意两个不相邻顶点间加一条边会形成唯一一条初级回路

A0B3C2D1

计算题

5.〔6分〕一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶，如此该树有片树叶。

〔9<与P171-习题7.1同类型>〕

解：

设该树有x片树叶、n个节点、m条边

如此度数之和=4×2＋3×3＋1×x=17＋x

n=2＋3＋x=5＋x

m=n-1〔树〕=4＋x

17+x=2m〔握手定理〕=2（4+x）x=9

6.P171-最小生成树-习题7.8〔b〕

离散CH09

1R*是非零实数集，1是R*上普通乘法的幺元，*,对普通乘法，a的逆元是。

〔a-1或1/a〕

2n阶单位矩阵是n阶矩阵的幺元。

〔乘法〕

3在集合A的幂集P（A）上，是∪运算的幺元∩运算的零元。

〔∅〕

是∩运算的幺元∪运算的零元。

〔A〕

4正确。

〔D〕

A减法是自然数集N上的二元运算B除法是整数集上的二元运算

C加法是非零实数集R*上的二元运算D⊕是任意集合A的幂集P（A）上的二元运算

5错误。

〔C〕

A0是加法的幂等元B1是乘法的幂等元

C单位矩阵E是矩阵加法的幂等元D∅是幂集P（S）上⊕运算的幂等元

6={0,1}，λ表示空串，是回文语言，是镜像语言,。

（A，D）

A{0n10n|nN}={1,,00100,…}B{0n1n|nN}={λ,01,0011,…}

C{（01）n|nN}={λ,01,0101,…}D{01，10}

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