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毕业设计
报告编码：
安阳师范学院本科学生毕业设计报告
磁悬浮小球系统建模及PID控制研究
作 者秦鲲
系（院）物理与电气工程学院
专 业电气工程及其自动化
年 级2007级
学 号071802050
指导教师郭季
日 期2011.5.25
学生诚信承诺书
本人郑重承诺：
所呈交的设计报告是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，报告中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在报告中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：
日期：
报告使用授权说明
本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位报告的规定，即：
学校有权保留送交报告的复印件，允许报告被查阅和借阅；学校可以公布报告的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存报告。
签名：
导师签名：
日期：
磁悬浮小球系统建模及PID控制研究
秦鲲
（安阳师范学院物理与电气工程学院，河南安阳455000）
摘要：
磁悬浮球系统是一个复杂的非线性、自然不稳定系统，同时又是非最小相位系统，其研究涉及控制理论、电磁场理论、电力电子技术、数字信号处理以及计算机科学等众多领域。
本文结合磁悬浮技术的发展趋势和实际应用背景，对磁悬浮求控制系统的硬件、控制算法进行了分析，介绍了磁悬浮球系统的组成，工作原理、数学模型，并在此基础上涉及了硬件结构，用PID控制器进行校正。
本文仿真结果表明，研究的PID控制器可到达预期效果。
关键字：
磁悬浮球；PID控制；Matlabsimulik环境仿真
1引言
磁悬浮球系统是一个非线性，不稳定系统，在本文中将非线性在一定条件下和范围内简化为线性系统进行研究，并设计PID控制进行校正。
只有当参数合理，建立的模型准确，才能设计出良好的控制系统。
PID（比例-积分-微分）控制器作为最早实用化的控制器已有50多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。
PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。
在工业工程控制中，很难建立起控制对象的精确数学模型，使用PID控制不需要控制对象的精确数学模型，是首选的控制策略之一。
2磁悬浮小球系统
2.1磁悬浮小球系统的发展意义
人类很久以前就梦想使物体无接触地悬浮于空中。
1842年英国剑桥大学的伊尔士教授发现只有用抗磁性材料才能依靠选择恰当的永久磁铁结构和相应的磁场分布实现稳定悬浮，即采用可控电磁铁。
这个思想成为日后磁悬浮列车和磁悬浮轴承技术的主导思想。
直到1957年，法国的Hispon-Suiza公司第一个提出了利用电磁铁和电感传感器组成主动磁悬浮系统的设想，这就是现代磁悬浮技术的开始。
上世纪60年代中期，日本和德国展开了对磁悬浮列车的研究。
按悬浮方式，磁悬浮列车可被分为常导磁吸型和超导排斥型。
两国占据领先地位，我国磁悬浮列车的研究工作起步较晚。
1989年3月，国防科技大学研制出我国第一台磁悬浮试验样车。
1995年，我国第一条磁悬浮列车实验线在西南交通大学建成，并且成功进行了稳定悬浮、导向和载人等试验。
2002年，我国建成了世界上第一条磁悬浮商业运营线。
我国对磁悬浮技术领域的探索起步较晚，发展空间很大。
这就催促我们必须不断地研究磁悬浮球系统，特别是其稳定性。
2.2磁悬浮小球的工作原理
磁悬浮球实验系统由传感器、控制器、电流驱动器和电磁铁、被控对象（钢球）等部分构成，这是一个典型的吸附式悬浮系统。
其系统基本结构如图1所示。
图1磁悬浮小球的工作原理
电磁铁绕组中通以一定的电流就会产生电磁力F，控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力mg相平衡，钢球就可以悬浮于空中而处于平衡状态。
但是这种平衡是一种不稳定平衡，因为电磁铁与钢球之间的电磁力的大小与它们之间的距离X成反比，只要平衡状态稍微受到扰动（如：
加在电磁铁线圈上的电压产生脉动，周围的振动、风等），就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住。
因此必须对系统实现闭环控制。
用光电源和传感器组成的测量装置检测钢球与电磁铁之间的距离变化，当钢球受到扰动下降，钢球与电磁铁之间的距离X增大，传感器输出电压增大，经控制器计算、功率放大器放大处理后，使电磁铁绕组中的控制电流相应增大，电磁力增大，钢球被吸回平衡位置。
反之亦然。
当采用闭环控制时，假设在参考位置上，钢球受到了一个扰动，就会偏离其参考位置，此时传感器检测出钢球偏离参考点的位移，将其转换成电压信号传给控制器，控制器将着一电压信号转换成控制信号，并传给功率放大器，功率放大器根据控制信号对电磁铁线圈中电流进行调整，使电磁铁磁力发生变化，从而驱动钢球返回原来的平衡位置。
不论钢球受到向上或向下的扰动，最终都会回到起初的平衡位置，即参考为重。
2.3磁悬浮小球的数学模型
对被控对象（钢球）进行受力分析，推导磁悬浮球系统的线性化数学模型。
控制要求：
调节电流，使小球的位置x始终保持在平衡位置。
下面来建立其控制系统传递函数。
忽略小球受到的其它干扰力，则受控对象小球在此系统中只受电磁吸力F和自身重力mg。
球在竖直方向的动力学方程可以如下描述：
（1）
式中：
x——磁极到小球的气隙，单位m；m——小球的质量，单位Kg；F（i,x）——电磁吸力，单位N；g——重力加速度，单位m/s2。
由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨格尔定律和能量守恒定律，可得电磁吸力为：
（2）
式中：
μ0——空气磁导率，4πX10-7H/m；A——铁芯的极面积，单位m2；N——电磁铁线圈匝数；x——小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙，单位m；i——电磁铁绕组中
的瞬时电流，单位A。
根据基尔霍夫定律，线圈上的电路关系如下：
（3）
式中：
L——线圈自身的电感，单位H；i——电磁铁中通过的瞬时电流，单位A；R——电磁铁的等效电阻，单位Ω。
当小球处于平衡状态时，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上电磁吸力，即：
（4）
综上所述，描述磁悬浮小球系统的方程可完全由下面方程确定：
（5）
（6）
（7）
以小球位移为输出，电压为输入，可得系统的传递函数为：
其中：
设系统参数如下表一所示：
表1系统参数一
序号
参数
数量
单位
1
m
28
g
2
R
13
Ω
3
L
118
mH
4
x0
15.5
mm
5
i0
1.2
A
6
k
4.587x10-5
Nm2/A2
则有：
表2系统参数二
k
K1
K2
K3
4.5877x10-5
1264.5
175032.09
110.17
磁悬浮球系统本是非线性的，可是在其平衡位置的一定范围内具有线性关系，并且本文忽略了外界干扰等因素，从而建立线性化模型。
3常规PID控制
3.1PID控制器概述
在过去的几十年里，PID控制器在工业控制中得到了广泛应用。
在控制理论技术飞速发展的今天，工业过程控制中95﹪以上的控制回路都具有PID结构，并且许多高级控制都是以PID控制为基础的。
PID控制在控制过程中应用广泛，拥有结构简单，参数易调等优点。
在工业工程控制中，很难建立起控制对象的精确数学模型，使用PID控制不需要控制对象的精确数学模型，是首选的控制策略之一。
PID控制器是一个在工业控制应用中常见的反馈回路部件。
这个控制器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，这个新的输入值的目的是可以让系统的数据达到或者保持在参考值。
和其他简单的控制运算不同，PID控制器可以根据历史数据和差别的出现率来调整输入值，这样可以使系统更加准确，更加稳定。
可以通过数学的方法证明，在其他控制方法导致系统有稳定误差或过程反复的情况下，一个PID反馈回路却可以保持系统的稳定
常见的理想PID控制器结构如图2所示
r（t）e（t）c（t）
图2PID控制器结构
PID控制器由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。
其输入e（t）与输出u （t）的关系为公式（8）
（8）
因此它的传递函数为公式（9）
（9）
3.2PID控制器的作用
比例调节作用：
是按比例反应系统的偏差,系统一旦出现了偏差,比例调节立即产生调节作用用以减少偏差。
比例作用大,可以加快调节,减少误差,但是过大的比例,使系统的稳定性下降,甚至造成系统的不稳定。
积分调节作用：
是使系统消除稳态误差,提高无差度。
因为有误差,积分调节就进行,直至无差,积分调节停止,积分调节输出一个常值。
积分作用常与另两种调节规律结合,组成PI调节器或PID调节器。
微分调节作用：
微分作用反映系统偏差信号的变化率,具有预见性,能预见偏差变化的趋势,因此能产生超前的控制作用,在偏差还没有形成之前,已被微分调节作用消除。
因此,可以改善系统的动态性能。
在微分时间选择合适情况下,可以减少超调,减少调节时间。
微分作用不能单独使用,需要与另外两种调节规律相结合,组成PD或PID控制器。
PID控制器由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数
（Kp，Ki和Kd）即可。
在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。
PID控制器是最早出现的控制器类型，因为其结构简单，各个控制器参数有着明显的物理意义，调整方便，所以这类控制器很受工程技术人员的喜爱。
3.3PID控制器的意义及优劣
（1）PID控制算法原理简明，使用方便，参数的物理意义明确，理论分析体系完整且应用经验丰富；PID参数（Kp，Ki和Kd）可根据过程动态特性及时调整。
（2）在工业过程中，其控制过程的动态特性大都具有高阶、非线性、大延迟及时变等特性，给以精确数学模型为基础的现代控制理论的应用带来了困难。
故其应用范围广，适应性强。
PID控制广泛适用与化工冶金、石油、热工等工业生产中。
（3）PID控制对于大多数过程都具有良好的控制效果和鲁棒性，即其控制品质对被控制对象特性的变化不太敏感。
但常规PID控制也有许多不足之处，最突出的一点就是有关PID参数的问题。
首先，常规PID无自适应能力。
PID控制器的参数必须相对于某一模型已知、系统参数已知的系统。
而且PID参数一旦整定完毕，便只能固定地实用于一种工况。
但实际的大多数生产过程都具有非线性，且特性随时间的变化而变化，显然固定的一一方面要求而整定的。
而之中人们要求的“设定值跟踪特性”和“干扰抑制特性”却往往满足不了要求，使控制效果达不到最佳。
组参数是不能满足这种变化的。
其次，常规PID的参数只能为满足生产过程控制目标的某一方面要求而整定的。
而之中人们要求的“设定值跟踪特性”和“干扰抑制特性”却往往满足不了要求，使控制效果达不到最佳。
在一些情况下针对特定的系统设计的PID控制器控制得很好，但它们所存在一些问题需要解决：
如果自整定要以模型为基础，为了PID参数的重新整定在线寻找和保持好过程模型是较难的。
闭环工作时，要求在过程中插入一个测试信号。
这个方法会引起扰动，所以基于模型的PID参数自整定在工业应用不是太好。
PID控制也有其固有的缺点。
PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，效果不是太好；最主要的是，如果PID控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。
虽然有这些缺点，PID控制器是最简单的有时却是最好的控制器。
4仿真研究
4.1仿真工具
MATLAB是国际上优秀的科技应用软件之一,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境,其强大的科学计算与可视化功能,简单易用的开放式可扩展环境,使得MATLAB成为控制领域进行计算机辅助分析与设计的一种非常好的工具和首选平台.
其中MATLAB的Simulink,即系统仿真工具箱用于该次仿真。
Simulink是MATLAB各种工具箱中比较特别的，一般工具箱只是把面向某一类问题的程序包集中起来，其中的程序都是用MATLAB语言编写的，这些工具箱都是MATLAB在量的方面的扩充，而Simulink工具箱却是从底层开放的一个完整的仿真环境和图形界面。
在这个环境中，用户可以利用鼠标和键盘，完成面向框图系统仿真的全部过程，并且可以更加直观、快速和准确地达到仿真的目标。
原来的MATLAB是在文本窗口中编程，图形窗口只是用来显示，而Simulink则把图形窗口扩展为可以用框图方式来编程，使MATLAB的功能有了一个质的飞跃。
本论文设计中PID参数的整定用到的是MATLAB中simulink,它是一个强大的软件包，在磁悬浮球系统仿真中只需要做数学模型的推导工作。
用simulink对设计好的系统进行仿真，可以预知效果，检验设计的正确性，为设计人员提供参考。
其仿真结果是否可用，取决于数学模型正确与否，因此要注意模型的合理及输入系统的参数值要准确。
4.2仿真过程与分析
4.2.1磁悬浮球仿真
未加入PID控制器的磁悬浮球系统是一个开环不稳定的系统，其传递函数为：
R（S）C（S）
数据参考表2，代入可得：
在MATLAB的simulik环境下输入建立的传递函数，连接示波器（scope）,最终得到图3的控制系统方框图。
图3磁悬浮球控制系统方框图
参数设置如图4所示，运行仿真，双击示波器得到图5的仿真结果。
图4参数设置
图5磁悬浮球系统仿真波形
从示波器所显示的特性可以看出，此系统是一开环不稳定系统，当有一微小扰动时，小球将偏离平衡位置。
因此，我们需要使用某种方法来控制小球的位置。
下面，我们将使用PID控制器来稳定系统。
4.2.2有PID控制的磁悬浮球仿真
利用MATLAB设计具有PID调节器的磁悬浮小球控制系统，其控制系统系统如图6。
图6具有PID调节器的磁悬浮球控制系统
根据开环传递函数建立步骤，在Matlab中的Simulink环境下，建立系统的控制总方框图，如图7所示。
其中传感器的输出电压与小球位移的关系为U=1178*X，X的单位为米，U的单位为伏。
控制电压与功放电压的关系为Up=2*Uc，单位都是为伏。
图7具有PID调节器的磁悬浮球控制系统方框图
调整PID参数，观察系统瞬态响应和稳态响应的变化；设置参数为KP=1，KI=0.05，KD=8，其仿真结果如图8所示。
图8具有PID调节器的磁悬浮球控制系统波形仿真
通过仿真曲线可以看出，加入的PID控制器，加快了系统的响应速度，提高系统的调节精度,消除系统的稳态误差,改善系统的动态性能。
校正后的系统稳定性良好，小球最终保持在平衡位置。
系统由不稳定变得稳定，并且具有良好的响应速度、超调和振荡都被改善。
4.2.3给定正弦干扰的PID控制仿真
在实际工作中，不可避免的会有干扰出现，为进一步研究PID的校正效果，故在以上PID控制下，给稳定系统加入正弦扰动信号，观察系统响应，并记录系统出现不稳定的情况。
仿真框图如图9所示。
其中正弦信号的设置如图10所示。
图9给定正弦干扰的PID控制总方框图
图10参数设定
图11给定正弦干扰的PID控制系统仿真波形
运行仿真，双击示波器，输出结果如图11所示。
可以看出系统基本能保持稳定，但出现了震荡过程。
加入正弦扰动的PID校正系统仿真结果表明：
当再有干扰的情况下，PID校正系统依旧能保持良好的稳态性能和动态性能，满足了系统的应用要求。
5结论
仿真结果分析：
图5所显示的特性可以看出，此系统是一开环不稳定系统，当有一微小扰动时，小球将偏离平衡位置。
图8为加入PID控制器后的仿真结果，校正后的系统稳定性良好，小球最终保持在平衡位置。
从仿真结果可以看出，PID控制器有效地校正了磁悬浮小球系统稳定性能。
通过对仿真曲线的分析，可以知道应用PID控制时，系统由不稳定变得稳定，并且具有良好的响应速度、超调和振荡都被改善，并且在有干扰的情况下（如图11）依旧能保持良好的稳态性能和动态性能，满足了系统的现实应用要求。
6致谢
经过几个月的时间，我的毕业设计已经告一段落，在这几个月时间的设计过程中有过因面对困难而有的踌躇，有过因某一细节而沮丧，但更多的是解决问题后的喜悦和战胜困难后的骄傲。
在论文完成之际，我要感谢所有关怀、鼓励、帮助过我的良师益友。
本论文是在我的导师郭季老师的精心指导下完成的表。
几个月以来，老师在指导中给予了我极大地鼓励与关怀，论文字里行间无不浸透着她的心血和汗水，同时他严谨的治学作风、渊博的专业知识、一丝不苟的工作态度给我留下了深刻的印象，令我受益匪浅，并永远激励着我今后更加努力的工作和学习，为此向郭季老师致以最衷心的感谢！
由于本人的知识和能力有限，论文中难免存在许多不足的地方，敬请各位老师给予批评指正.
参考文献
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清华大学出版社,
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机械工业出版社
[7]王正林等.MATLAB/SIMULINK与控制系统仿真.[M].北京：
电子工业出版社
MaglevBallSystemModelingandPIDControlResearch
QinKun
（SchoolofPhysicsandElectricalEngineering,AnyangNormalUniversity,Anyang,Henan
455000）
Abstract：
Maglevballsystemisacomplexnonlinearandnaturalunstablesystem,atthesametimeitisaminimumphasesystem,itsresearchinvolvescontroltheory,electromagneticfieldtheory,powerelectronictechnology,digitalsignalprocessingandcomputerscience,etc.Combiningwiththedevelopmenttrendofmaglevtechnologyandactualapplicationbackground，thehardwareofmaglevcontrolsystemandthecontrolalgorithmareanalyzed.Byintroducingthecompositionofmaglevballsystem,workingprinciple,mathematicalmodel,andonthisbasiswiththehardwarestructure,involvingthePIDcontrolalgorithm,themaglevballsystemiscorrected.Inthispaper,thesimulationresultsshowthatthePIDcontrollercanbereachedtheexpectedeffect.
KeyWords:
MaglevballsystemPIDControlMatlabsimulik
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