Al,nQ2h
令㊁x+§=k兀（kGZ）,得x=2kκ—（∕c∈Z）t
故F（X）图象的对称中心为（2/cn-y,θj（∕c∈Z）,
当k=0时，/（x）图象的对称中心为（-誓‘OJo
4、（江苏宿迁开学调研）有下列四种变换方式，英中能将正弦曲线y=SinX的图象变为V=Sin（2x+-）的图
4象的是（）
A・横坐标变为原来的丄，再向左平移巴
24
B•横坐标变为原来的丄，再向左平移兰
28
C.向左平移兰，再将横坐标变为原来的丄
42
D.向左平移兰，再将横坐标变为原来的丄・
82
【答案】BC.
【解析】A.y=sinx横坐标变为原來的再向左平移彳，得J=Sin[2（x+^）]=sin（2A∙+∣）.故A不正确：
B.V=SinA-横坐标变为原來的丄，再向左平移兰，^V=Sin[‰+¾=sin（2v+-）,故BiE确：
2884
C.y=Sinx向左平移兰，再将横坐标变为原來的丄.得y=sin（2x+-）,故C正确：
424
D・3=sinx向左平移兰，再将横坐标变为原来的丄，得y=sin（2x+-）,故D不正确・
828
5、（2018苏北四市期末）若函数f（x）=A57∏（ωx+φ）（A>0,s>0）的图像与直线y=m的三个相邻交点的横
JlJIyπ
坐标分别是W，亍亍，则实数3的值为・
【答案】、.4
2JIH2刀
【解析】、由题意得函数f（x）的最小正周期T=—-y=-•从而3=4.
6、（2018镇江期末）函数y=3SM2x+[）的图像两相邻对称轴的距离为•
【答案】、^y
2刀*才
【解析】、由题知函数最小正周期T=—=儿图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期糸的一半即丁.
7、（2020江苏镇江期中考试）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（Ayω.0为参数，且A>0,eυ>0,0Zj的
部分图象如图所示，则0的值为・
【答案】I
【解析】由图象可得/（x）最小正周期：
T=^-×{^^-Λ-^∖=π,即込=龙，.∙S=2,
3\12O）CO
"冷，本题证确结果：
寻8、（2020江苏扬州高邮上学期开学考试）在平面直角坐标系XOy中，将函数y=sin2x+y|的图像向右
平移φ∖θ<φ<^∖个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则卩的值为
【？
九】7
O
f兀、八r、兀k兀Cπ
"2c?
H=K7Γ（kGZ）.∙.0=TOV0V—（P=—
坐标原点，所以3622屮b
9、（一题两空）已知函数√（x）=2sιn（ox+0）（e>O,∣0∣<^）—部分图象如图所示，则O=，函数√（x）
的单调递增区间为.
【答案】2一手+&刃，⅛+>tπU∈Z）
【解析】由图象知£=寸一（一十卜守，则周期T=Ut即牛j，则3=2、∕∙Cγ）=2sin（2x+Φ）.由五点对应法得2x（—才）+0=21,XΦG,所以≠=y.则f3=2sin（2x+~另•令2"—韦W2x+ππ5ππ「5HJt
y≤2A∏+∙pg∈Z,得一-γy+⅛∏WXWkH+0g∈Z,即函数的单调递增区间为L一右+1，u+kn[
A∈Z.
四、例题选讲
考点一、函数y=A5∏j（ωx+φ）的图像及其变换
例1已知函数y=25,』2x+£-
（1）求它的振幅、周期、初相；
⑵用“五点法”作出它在一个周期内的图像:
（3）说明y=R』2x+f）的图像可由y=s,"x的图像经过怎样的变换而得到.
（ji∖2"Jr
【解析】（l）y=2s,"∣2只+了；的振幅A=2，周期T=—=刀，初相Φ=y.
（2）令X=2x+y‘则y=2s』2x+T=25初X.
列表如F：
X
π
一T
JI
12
Jl
T
7刀
12
5H
V
X
O
Ji
T
.7
3刀
2
2刀
y=su?
X
O
1
O
-1
O
y=2sm（2x+y）
O
2
O
-2
O
描点画岀图像，如图所示:
（3）（方法1）把y=s,”x的图像上所有的点向左平移寸■个单位长度，得到y=s员x+亍）的图像：
再把尸s"[χ+T的图像上所有点的横坐标缩短到原来的壬倍（纵坐标不变）‘得到y=s/（2x+T的图像；最后把y=Sj”（2x+H）匕所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）‘即可得到y="初（2%+彳）的图像.
（方法2）将y=sj“x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的壬倍（纵坐标不变），得到y=s初2x的图像：
再将y=s加2x的图像向左平移彳■个单位长度得到y=sm；2∣x+钊=SjM2x+#）的图像:
再将y=s*2x+春的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）•即得到y=2s』2x+#）的图像.
变式1、
（1）（2019漳州八校联考）若函数/（x）=COS（2X—升，为了得到函数g（.x）=sm2x的图象，则只需将√（x）
的图象（）
⑵已知函数IXX）=4cosxsιn（x+号+α的最大值为2.
1求α的值及金）的最小正周期;
2画出XX）在［0,π］上的图象.
y
2
1
0
Jr
πy
卫
2π
5π
π
-1
-2
【解析】
（1）函数y（x）=cos（2x—?
!
=Sln（彳+2X-Wl=SIn（2x+刼，为了得到函数g（x）=sιn2x的图象，则只需
将XX）的图象向右平移彳个单位长度即可.故选A.
（2）φ∕（X）=4COSXSm（X+?
）+Q
=∙∖∕3sιn2x+2cos2χ+α
=λ∕3siπ2x+cos2x+l+α
=2srn（2x+m+l+a的最大值为2,
②由①知y（x）=2sin（2x+|j,列表:
X
0
π
6
5π
12
2兀T
llπ~n
π
2x+?
O
π
6
π
2
π
3兀T
2κ
13π
6
夬x）=2sin（2x+劭
1
2
0
-2
O
1
画图如下:
变式2、（2019苏州三市、苏北四市二调）将函数y=25∕h3x的图像向左平移名个单位长度得到y=f（x）的图像，则f（亍）的值为.
【答案】、-√2
ISin^=~y∣2.
解法2根据图像平移前后的关系，（亍）的值应和y=2^3x中x=y÷⅛l⅛y值相等，所以f（y）=
变式3、（2019常州期末）已知函数f（x）=s初（3x+φ）（3>0,d>∈R）是偶函数，点⑴0）是函数y=√（x）图像
的对称中心，则ω的最小值为・
【答案】、4
【解析】解法1令3x+φ=*5^+kι刀，kι∈Z,得X=.因为函数fc∕（x）=sin（ωx÷φ）（ω>O,≠∈R）
Z3
~"一φ+k∖兀
是偶函数，则X=~-—
=O得卩=斗+局n.因为点（1,0）是函数｝=金）图像的对称中心，所以y（l）=0∙
即sm（e+e）=0,故ωλ-φ-kιπ>fo∈乙则ω=kι∏~φ=kιπ
γ+（fc>-Ari）n.又因为ω>0,
所以当b—h=l时，e取最小值为〒
解法2函数f（x）是偶函数，所以图像关于x=0对称.又（1,0）是函数f（x）的对称中心，所以j+^T=弓>・J=I,得3=巻丄兀，k∈乙又eυ>O,所以Smn=今.
变式4、（2019苏北三市期末）将函数f（x）=s沁X的图像向右平移彳个单位长度得到函数g（x）的图像，则以
函数f（x）与g（x）的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的而积为.
【答案】、4-
4M
【解析】、平移后的函数g（x）=s刊
d∖2χ--^y）∙令HX）=g（x），得sj"2x=s,"（2x一^）•
ππArn
解法12χ-y=H-2x÷2k刀（k∈Z）,即x=y÷-y（Ar∈Z）,相邻的三个交点为（¥，一乎）故所求而积为S=+xπX√3=^π.
JI
（P
ππ1λ∕3（Ji\
=SinlyLCOS^■—COSlyL∙S加丁=尹〃2x-专βcos2x,即shι∖2x+了；=0,贝∣］仃2x
+丁=k"（k∈Z）,X=—*+斗（A∙∈Z）,相邻的三个交点为［专，芈），（一土，一半［寻，一亨）
解法2SUI2x=sιn'l2x-了）
则所求面积5=∣×π×√3=^π
方法总结：
1.y=Asm（ωx+φ）的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换2=ox+0计算五点
坐标・
2.由函数V=SinX的图象通过变换得到y=Jsm（ωx+^）图象有两条途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”・
考点二、求函数y=Asιn（ωx+φ）的解析式
例2、（2018苏州暑假测试）设函数√（Λ）=Jsm（ωx÷^M>0，ω>0，一今中弓，χ∈R的部分图像如图所示.
（1）求函数y=Λx）的解析式；
（2）当x∈[-j，另时，求用）的取值范围.
解析Z
（1）由图像知，4=2,（2分）
75πππ一2
又T==可，3>0,所以Γ=2π=—，得3=1・（4分）
所以fix）=2Sin（x+Φ）,将点77∙2代入，÷≠=-÷2A∏（A∈Z）t即Φ=~+2k^（A∈Z）>OOΔO
又—"产巾违、所以^θ^∙（6分）
所以fix）=2sinx+~（8分）
6
（2）：
耳x∈[—-,^y]时，χ+石∈[—了，2ry^l»（10分）所以Sinx+∙^~∈[―半，1],即f（x）∈[—羽,2].（14分）
变式1.（2019苏北四市期末）函数Λx）=2sm（ωx÷^）（ω>0）的部分图像如图所示，若曲=5，则3的值为
【答案hJ
【解析】、如图，过点A作垂直于A-轴的直线，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线ZL忆和直线BM相交于点在RtAAMB中TM=4⅜-=~B=S,由勾股怎理得J^W2+AW2=452,所以16+1-J
ZCo3∖C0∕
M∣-2B
变式2、⑴已知函数√（x）=Jsm（ωx+^）（J>O,ω>O>O<^<π）t英部分图象如图所示，则函数金）的解析式为（）
C.y（x）=2smQx+羽D.Xx）=2sm（2x+|）
（2）（2019皖南八校联考）已知函数√（x）=sm（ox+0）（cυ>O,—的图象上的一•个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2√L且过点（2,—》，则函数金）=.
【答案】、（I）B⑵sm（步+却
【解析】、⑴由题图可知42,Γ=2×V"（-5J=4π,故葺=4兀,解得e=g
所以^=2λπ÷¾⅛∈Z）,解得0=2刼+乎U∈Z）・又0<^<πt所以0=苧所以/（x）=2Sin（^+¥）.
故卩=务所以几V）=SInGx+彳）
方法总结：
确定y=Jsm（ωx+^）÷5（J>0,o>0）的解析式的步骤
（1）求2,B,确定函数的最大值M和最小值加，贝IjJ^iC22tB=^YL.
（2）求4确左函数的周期乙则3=〒
（3）求s常用方法有以下2种：
把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最髙点或最低点代入；确左0值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考点三、三角函数图象与性质的综合问题
例3、已知关于X的方程2siιι2χ-√3sιn2x+w?
—1=0在（号，兀）上有两个不同的实数根，则In的取值范朗是
【答案】、（一2,-1）
【解析】、方租2sin'x—羽Sin2x+加一1=0可转化为
设2χ+*=r,则「丘（#兀，号）.
由图象观察知，号的取值范围是（一1,一扌），
故In的取值范囤是（一2,一1）・
变式1、（2019无锡期末）已知直线y=a（x+2）（a>0）与函数y=ICo5x∣的图像恰有四个公共点A（xι,yι）,
B（X2,y2），C（X3，y3），D（x,y∙0,其中X1则X4÷^^^=・
【答案】、-2
【解析】、根据图形可得直线y=a（x÷2）与函数y=—沁的图像相切于点g—CoSx4）,英中x4∈（^4因为y=S加X,由导数的几何意义可得a=s初X4=—•化简得X4÷-=~2.
X4十2tan×4
的图象・已知点PfO）,（2（-2,-3）是图象上的最低点，7?
是图象上的最髙点.
（I）求函数・f（x）的解析式;
（2）^ARPO=a.乙QPO=Ma、0均为锐角），求tan（2α+∕7）的值.
解析：
4）因为图象在一个周期内的最低点为Q（-2,-3）,与JC轴的交点为P（YO）,
所以A=3,T=4（-2+6）=16,
卜2×M）
所以/（X）=3Sin（IX+^）.
将点。
（-2,-3）代入，得-3=3Sin所以一予+厂一马+2b,∕t∈Z,
所以φ=-^+2kπ,⅛∈Z,又∣0∣w∙∣,所以0=-右
所以/（x）≡3Sin（IX-≡）.
<2）点R的横坐标XR=P++丁=—2+8=6,所以R（6,3）∙
乂[λ∣为Q,”均为锐角，从而Iana=+,（an0=扌，
所以tan（2σ+∕7）=
tanIa+tanβ
1-tan2atanβ
方法总结：
三角函数性质的综合问题：
主要考査单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用.
函数零点（方程根）问题：
三角函数图象与X轴（或y=a）的交点，即数形之间的转化问题.
五、优化提升与真题演练1、【2019年高考天津卷理数】已知函数/O）=ASin（tυx+0）（A>Og>0,10Ivti）是奇函数，将y=/（%）
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）.若g（x）的
B.—
D.2
A.—2
C.√2
【答案】C
【解析]V/W为奇函数,∙∙∙∕（O）=ASin0=0,.∙.0=Qr,乙.∙.R=0,0=0：
又g（Λ）=ASin-ωx,:
.T
2
2π
=-—=2兀,・：
0=2，
-ω
2
∕2,∙*∙A=2,
4
∙'∙/（x）=2Sin2x9f（—）=√2.故选C.
8
2、［2018年高考天津理数】将函数y=
τrTT
=sin（2x+—）的图象向右平移一个单位长度，所得图象对应的函数1
3JrSTT
A.在区间［二上单调递增
44
3Jr
B.在区间［一,刃上单调递减
4
57r3it
C.在区间［亍,石-］上单调递增
3π
D.在区间［―,2π］±单调递减
【答案】A
=sin2x.
【解析“辭图站移变换的性质可知：
将严叫2喑的图象向右忤加单位长度之后的解
析式为y=Sin
则函数的单调递增区间满足2kπ-^≤2x<2kπ+^（keZ）,即kπ-^≤x≤kπ+^（keZ）
■■
令k=l可得一个单调递增区间为—・
44
TT3ττTC3jγ
函数的单调递减区间满足:
2^π+y≤2x<2kπ+^y（eZ）.Hpbr+≤x≤⅛π÷^∙（Z;∈Z）.
令R=I可得一个单调递减区间为:
5兀7π
故选A.
3、［2017年高考全国回理数】已知曲线y=cosX,C2≡y=sin（2x+一），则下而结论正确的是
A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移仝个单位长度，得6
到曲线C2
到曲线C2
到曲线C2
到曲线C2
【答案】D
【解析】因为CPC2函数名不同，所以先将q利用诱导公式转化成mc∣相同的函数名，则
CJy=sin（2x+—）=cos（2.v+—--）=cos（2x+-）,则由C1I:
K点的横坐标缩短到原來的丄倍变33262
为y=Cos2a•再将曲线向左T^-个；心2好J到G,故选D.
12・
4.[2017年髙考天津卷理数】设函数∕U）=2sin（≡+^）tXeR,其中ω>Q,∖φ∖<π.若八=）=2,
8
/（
¾=0,且/（X）的最小正周期大于2兀・则
O
【答案】A
56M’兀
+φ=2κlπ+-
82
116MI
——+φ=k2π
2ττ2I
又”万>2冗，所以O由<π得0=2L,故选A・
5、（2017徐州、连云港、宿迁三检）若函数/（x）=2sin（2x+^）（0<^<∣）的图象过点（0.√3）,则函数f（x）1⅛
［0.π］上的单调减区间是_▲
【答案】、⅛⅞］<^⅛⅞>
【解析】、将点（0,√J）代入得：
SinP=¥，因为0V0V号，所以9>=∣,所以∕∙（x）=2sin（2Λ-+∣）.ill
2kπ+-≤2x+-≤2kπ+-πkπ+-≤x≤kπ+-,RwZ,即函数/⑴的单调减区间为
2321212
［kπ+^,kπ+-］（ReZ）,所以数./Xx）在［0,刃上的单调减区间是［弓,耳］•
121212126、［2020江苏南京上学期开学考试】函数/⑴=ASin（ex+0）（A>O,0>0）的部分图象如图所示・若函
数y=fM在区间［加」］上的值域为［_血，2］,则"-加的最小值是
【答案】3・
【解析】由图象知:
/（x）nm=2..∙.A=2,又T=-^=2×（6-2）=8,：
.G）^—+（P=2,.a.φ=IkπtkwZ、/.f（X）=2sin12）
当/（x）=->∕2时，-x=--+2k.π或兰λ∙=竺+2/;T,∕cl∈Z,:
.X=8Zrl-1或x=8«+5,«eZ：
4444
本题正确结果：
3・
7、［2018年髙考北京卷理数】设函数/（x）=CoS（^-⅛>0）,若/（x）≤∕Λ对任意的实数X都成立,
64
则3的最小值为•
2
【答案】-
2hω>O.所以',U=O∣M,ω为土.
3
8、［2018年高考全国III理数】函数/（X）=COS
【答案】3
【解析】∙.∙o<χ≤7t,.∙.Z≤3χ+Z≤凹，由题可^i3λ+Δ=Δ,3x+-=-*或3x+-=—>解
666626262得x=Ξ,fΞt或Zzl故有3个零点•
999
9、［2018年高考江苏卷】已知函数y=sin（2Λ+^）（--<^<^）的图象关于直线X=-对称，则0的值是
223
【?
"】
6
因为送SV守，所以"0,歼冷10、［2017年高考浙江卷】已知函数/（x）=sin2%-cos2X
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