第26讲Ysinwx+b的图像与性质解析版.docx

1、第26讲Ysinwx+b的图像与性质解析版第26讲：Y=Sin(Wx+b)的图像与性质一、课程标准1.了解y=sin(x)的实际意义：能借助计算器或计算机画出y=sin(x)的图象，观察参数人、3、对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2.基础知识回顾1.y=A57(x)的有关概念y=A57(x)(AO， 0)，xR振幅周期频率相位初相A2 T=一 3fT2n_ x + 0_卩2.用五点法画y=A5加(3+)(AO， 0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：X0 0Jl 3 H2卩 2 H -x+_0_T3T_

2、2h_y=Asin(x+0)0AO-A03.函数y=s加X的图像经变换得到y=A57H(x+)(A0 0)的图像的步骤如下:4、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是泄义域关于原点对称，奇函数一般可化为y=Asinsx或y=Atan s 的形式，而偶函数一般可化为y=cos x+b的形式常见的结论有：(1) y=sin(x+)为偶函数，则有 = j(cZ):若为奇函数，则有 =(kZ).(2)若y=4cos(3x+p)为偶函数，则有0=h(kZ):若为奇函数，则有0 0 -)的部分图像如图所示,则#斗厂I的值为( )第1题图D. -1【答案】D【解析】 由图像可得A=2，最小

3、正周期T=42.将函数f(x)=sj(2x+e)( O)个单位长度后得到函数g(x)的图像若f(x)， g(x)的图像都经过点P(O，芈)，则的值可以是() C T D- 6【答案】B【解析】VPO 乎)在 f(x)的图像上 rf(0尸商”()=2 *e(一2 2 ,* =y Uf(X)=S初(2x+y) .*.g()=sin(2 (X-(P) + 亍g(O)= ,3、(2019安徽江南十校联考)已知函数/(x) = sin(x)O, 的最小正周期为4m且xR,有 他虽)成立，则/(x)图象的一个对称中心坐标是()A(-爭,o) B(-詈,0)c(f 0) D.俘,0)【答案】A【解析】由/(

4、x) = sin(x+p)的最小正周期为4m M =.因为f(x)s期恒成立，所以f(x)max=眉)HPl+=+2k (kZ)由0, s0)的图像与直线y=m的三个相邻交点的横Jl JI y 坐标分别是W，亍亍，则实数3的值为 【答案】、.42 JI H 2 刀【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T=-y=-从而3=4.6、 (2018镇江期末)函数y=3SM2x+)的图像两相邻对称轴的距离为 【答案】、y2刀* 才【解析】、由题知函数最小正周期T=儿图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期糸的一半即丁.7、(2020江苏镇江期中考试)设函数f(x) = Asin(x+)(Ay.0为参数，

5、且A0,e0,0Zj的部分图象如图所示，则0的值为 【答案】I【解析】由图象可得/(x)最小正周期：T = - = ,即込=龙，.S = 2,3 12 O) CO冷，本题证确结果：寻 8、(2020江苏扬州高邮上学期开学考试)在平面直角坐标系XOy中，将函数y=sin 2x + y |的图像向右平移O,0t UZ)【解析】由图象知=寸一(一十卜守，则周期T=Ut即牛j，则3=2、C)=2sin(2x+ ).由五 点对应法得 2x(才)+0=21, X G,所以 =y.则 f3 =2sin(2x+另令 2韦W2x+ 5 5HJty2A +pgZ,得一-y+ WXWkH +0gZ,即函数的单调递增

6、区间为L一右+1，u+kn AZ.四、例题选讲考点一、函数y=A5j(x+)的图像及其变换例1已知函数y=25,2x+-(1)求它的振幅、周期、初相；用“五点法”作出它在一个周期内的图像:（3）说明y=R2x+f）的图像可由y=s,x的图像经过怎样的变换而得到.（ ji 2 Jr【解析】（l）y=2s, 2只+了；的振幅A=2，周期T=刀，初相 =y.（2）令 X=2x+y 则 y=2s2x+T=25初X.列表如F：X一 TJI12JlT7刀125 HVXOJiT.73刀22刀y=su?XO1O-1Oy=2sm(2x+y)O2O-2O描点画岀图像，如图所示:（3）（方法1）把y=s,”x的图像

7、上所有的点向左平移寸个单位长度，得到y=s员x+亍）的图像：再把尸 s+T的图像上所有点的横坐标缩短到原来的壬倍（纵坐标不变）得到y=s/（2x+T的图像；最后把y =Sj”（2x+H）匕所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）即可得到y=初（2%+彳）的图像.（方法2）将y=sj“x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的壬倍（纵坐标不变），得到y=s初2x的图像：再 将y=s加2x的图像向左平移彳个单位长度 得到y=sm； 2x+钊=SjM2x+#）的图像:再将y=s*2x+春 的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）即得到y=2s2x+#）的图像.变式1、 (1)(2019漳州

8、八校联考)若函数/(x)=COS(2X升，为了得到函数g(.x)=sm 2x的图象，则只需将(x)的图象()已知函数IXX)=4cosx sn(x+号+的最大值为2.1求的值及金)的最小正周期;2画出XX)在0, 上的图象.y210Jr y卫25-1-2【解析】(1)函数y(x)=cos(2x?!=Sln(彳+2X-Wl=SIn(2x+刼，为了得到函数g(x)=sn2x的图象，则只需将XX)的图象向右平移彳个单位长度即可.故选A. (2)(X)=4COS XSm(X+?)+Q=3sn 2x+2cos2+=3si 2x+cos 2x+l + =2srn(2x+m+l+a的最大值为2,由知y(x)

9、=2sin(2x+|j,列表:X065122兀 Tll n2x+? O623兀 T2136夬x)=2sin(2x+劭120-2O1画图如下:变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调)将函数y=25h3x的图像向左平移名个单位长度得到y=f(x)的图 像，则f(亍)的值为 .【答案】、-2ISin= y2.解法2根据图像平移前后的关系，(亍)的值应和y=23x中x=yl y值相等，所以f(y) =变式3、(2019常州期末)已知函数f(x)=s初(3x+)(30, dR)是偶函数，点0)是函数y=(x)图像的对称中心，则的最小值为 【答案】、4【解析】解法 1 令 3x+=*5+k 刀，kZ,得

10、 X= .因为函数fc(x)=sin(x)(O, R)Z 3一 +k 兀是偶函数，则X= -=O得卩=斗+局n .因为点(1, 0)是函数=金)图像的对称中心，所以y(l)=0即 sm(e + e)=0,故 -k fo乙则 =k =k +(fc-Ari) n .又因为 0,所以当bh = l时，e取最小值为解法2函数f(x)是偶函数，所以图像关于x=0对称.又(1, 0)是函数f(x)的对称中心，所以j+T= 弓J=I,得3=巻丄兀，k乙又eO,所以Smn=今.变式4、(2019苏北三市期末)将函数f(x)=s沁X的图像向右平移彳个单位长度得到函数g(x)的图像，则以函数f(x)与g(x)的图

11、像的相邻三个交点为顶点的三角形的而积为.【答案】、4-4M【解析】、平移后的函数g(x)=s刊d2- -y)令 HX)=g(x)，得 sj2x=s,(2x一 ) Arn解法1 2-y= H-2x2k刀(kZ),即x=y-y(Ar Z),相邻的三个交点为 (，一乎)故所求而积为S=+x X3= .JI(P 1 3 ( Ji =SinlyLCOSCOSlyL S加丁=尹2x-专cos2x, 即 sh 2x+了；=0,贝仃 2x+丁=k(kZ), X=*+斗(AZ),相邻的三个交点为专，芈)，(一土，一半寻，一亨)解法 2 SUI2x=snl 2x-了)则所求面积5= 3=方法总结：1. y=Asm

12、(x+)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换2=ox+0计算五点坐标2.由函数V=Sin X的图象通过变换得到y=Jsm(x+)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸 缩后平移”考点二、求函数y=Asn(x+)的解析式例2、(2018苏州暑假测试)设函数()=Jsm(xM0，0，一今中弓，R的部分图像如图所示.(1)求函数y=x)的解析式；(2)当x-j，另时，求用)的取值范围.解析Z (1)由图像知，4=2, (2分)7 5 一 2又T= =可，30,所以 =2 =，得 3 = 1(4 分)所以 fix) =2Sin(x+ ),将点77 2 代入， =-2A (AZ)t 即 =+

13、2k (AZ) O O O又产巾违、所以(6分)所以 fix) =2sinx+ (8 分)6(2)：耳 x - , y时，+石 了，2ryl (10 分) 所以 Sinx+ 半，1,即 f(x) 羽,2. (14 分)变式1. (2019苏北四市期末)函数x)=2sm(x)(0)的部分图像如图所示，若曲=5，则3的值为【答案h J【解析】、如图，过点A作垂直于A-轴的直线，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线ZL忆和直线BM相 交于点 在 RtAAMB 中 TM=4 -= B=S ,由勾股怎理得 JW2+AW2 =452 ,所以 16+1-JZ Co 3 C0M -2 B变式2、已知函数(x)=

14、Jsm(x+)(JO, O OO, 的图象上的一个最高点和它相邻的一个 最低点的距离为2L且过点(2, ，则函数金)= .【答案】、(I)Bsm(步+却【解析】、由题图可知42, =2 V(-5J =4,故葺=4兀,解得e=g所以 =2Z), 解得0 = 2刼+乎UZ) 又00, o0)的解析式的步骤(1)求2, B,确定函数的最大值M和最小值加，贝IjJiC22t B=YL.(2)求4确左函数的周期乙则3 =(3)求s常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降 区间上)或把图象的最髙点或最低点代入；确左0值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口考

15、点三、三角函数图象与性质的综合问题例3、已知关于X的方程2si2-3sn 2x+w? 1 =0在(号，兀)上有两个不同的实数根，则In的取值范朗是【答案】、(一2, -1)【解析】、方租2sinx羽Sin 2x+加一1=0可转化为设2+*=r,则丘(#兀，号).由图象观察知，号的取值范围是(一 1, 一扌)，故In的取值范囤是(一2, 一1)变式1、(2019无锡期末)已知直线y=a(x+2)(a0)与函数y =ICo5x的图像恰有四个公共点A(x, y),B(X2, y2)，C(X3，y3)，D(x, y0,其中 X1X2X3 则 X4 = 【答案】、-2【解析】、根据图形可得直线y=a(x

16、2)与函数y=沁的图像相切于点g CoSx4),英中x4( 4 因为y=S加X,由导数的几何意义可得a=s初X4= 化简得X4-=2.X4 十 2 tan4的图象已知点PfO), (2(-2, -3)是图象上的最低点，7?是图象上的最髙点.(I)求函数f(x)的解析式;(2) ARPO = a.乙 QPO = Ma、0 均为锐角)，求 tan(2 + 7)的值.解析： 4)因为图象在一个周期内的最低点为Q(-2,-3),与JC轴的交点为P(YO),所以A = 3, T = 4(-2 + 6) = 16,卜 2M)所以 /(X) = 3Sin(IX+ ).将点。(-2, - 3)代入，得-3 =

17、 3Sin 所以一予+厂一马+ 2b ,tZ,所以 = - + 2k ,Z, 又0w,所以0=-右所以 /(x) 3Sin(IX-).Og0,10Ivti)是奇函数，将y = /(%)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的B. D. 2A. 2C. 2【答案】C【解析V/W 为奇函数,(O) = ASin 0 = 0,.0=Qr,乙.R=0, 0 = 0：又 g() = ASin-x,:. T22=-=2兀,：0 = 2，-22 , * A = 2,4 /(x) = 2Sin 2x 9 f () = 2.故选 C.82、2018年高考天

18、津理数】将函数y =r TT= sin(2x + )的图象向右平移一个单位长度，所得图象对应的函数 13Jr S TTA.在区间二上单调递增443JrB.在区间一,刃上单调递减45 7r 3 itC.在区间亍,石-上单调递增3D.在区间,2单调递减【答案】A= sin2x.【解析“辭图站移变换的性质可知：将严叫2喑的图象向右忤加单位长度之后的解析式为y = Sin则函数的单调递增区间满足2k-2x2k + (keZ),即k- x k + (k eZ) 令k = l可得一个单调递增区间为 44TT 3 TC 3j函数的单调递减区间满足:2 + y 2x Q , 2冗，所以OX1,所以T畑+由得0

19、 = 2L,故选A5、(2017徐州、连云港、宿迁三检)若函数/(x) = 2sin(2x + )(0)的图象过点(0.3),则函数f(x) 10.上的单调减区间是_ 【答案】、 【解析】、将点(0,J)代入得：SinP = ，因为0 V0V号，所以9 = ,所以(x) = 2sin(2- + ). ill2k + -2x + -2k + - k + -xk + - , RwZ,即函数 / 的单调减区间为2 3 2 12 12k + ,k + - (ReZ),所以数./Xx)在0,刃上的单调减区间是弓,耳12 12 12 12 6、2020江苏南京上学期开学考试】函数/= ASin(ex+0)

20、(AO, 0 0)的部分图象如图所示若函数y = fM在区间加上的值域为_血，2,则-加的最小值是 【答案】3【解析】由图象知:/(x)nm=2. .A = 2,又T = - = 2(6-2) = 8, ：.G) +(P = 2 , .a. = Ik t kwZ、/. f (X) = 2sin 12 )当 /(x) = -2 时，-x = - + 2k.或兰=竺+ 2/;T , cl Z , :. X = 8Zrl -1 或x = 8 + 5 , eZ ：4 4 4 4本题正确结果：37、2018年髙考北京卷理数】设函数/(x) =CoS(-0),若/(x)对任意的实数X都成立,64则3的最小值为 2【答案】-2 hO.所以,U=OM, 为土.38、2018年高考全国III理数】函数/(X) = COS【答案】3【解析】.o 解6 6 6 6 2 6 2 6 2 得x=,ft或Zzl故有3个零点9 9 99、2018年高考江苏卷】已知函数y = sin(2+)(-)的图象关于直线X =-对称，则0的值是2 2 3【?】6因为送SV守，所以0,歼冷 10、2017 年高考浙江卷】已知函数 /(x) = sin2 % - cos2 X