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最短线段解中考题

中考“最短线段”问题的重要应用

高尚军

甘肃省定西市安定区内官营中学743011

【摘要】数学的内容博大精深，“最短线段”问题相关中考试题可谓是千变万化，这一问题解题的思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折”为“直”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”来解决。

具备这一数学思想，中考涉及直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛物线等为载体的试题通过分类，可收到举一反三，事倍功半的效果。

【关键词】中考试题；最短问题；应用举例

一、问题探究在人教版八年级上册P42，有这样一个问题：

在这个问题中，利用轴对称将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等知识得到最短线段，这一类问题是当今中考的热点题型。

二、数学模型

1.两点之间线段最短

（1）如图1，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（3）如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小。

2.垂线段最短

1.如图5，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。

图5图6图7

2.如图6和7，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。

三、中考试题举例

（一）两点之间线段最短题型：

直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、函数等。

直线类

1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少

解：

作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M

则AM+BM=AM+B'M=AB'，水厂建在M点时，费用最小。

如右图，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40，EB'=30，所以：

AB'=50，总费用为：

50×3=150万。

变式．如图C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。

已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小

（3）根据

（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。

解：

（2）A、C、E三点共线时AC+CE最小，连接AE/，交BD于点C，则AE/就是AC+CE的最小值，最小值是10.

（3）如右图AE的长就是代数式（0≤x≤8）的最小值，在直角△AEF中,AF=5，EF=12根据勾股定理：

AE/=13.

角类

2．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

分析：

这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢我们可以用三角形的三边关系进行说明.

解：

分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

点评：

在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

3．如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，

交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，

则OP=OP1=OP2=10，且∠P1OP2=90°

由勾股定理得P1P2=10

三角形类

4．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

即在AC上作一点P，使PB+PE最小

作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E=PB'+PE=PB+PE，B'E的长就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3，根据勾股定理得B'E

7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小

作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。

在直角△DBC'中

DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=

8．等腰△ABC中，∠A=20°，AB=AC=20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值

分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

∵∠BAC’=∠BAC，∠CAB’=∠CAB

∴∠B’AC’=60°

∵AC’=AC，AB’=AB，AC=AB

∴AC’=AB’

∴△AB’C’是等边三角形

∴B’C’=20

9．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值

因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，

过点B作BH⊥AC于点H，

则EH=AH–AE=3–2=1，BH===3

在直角△BHE中，BE===2

（四）正方形类

10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小

故作点D关于AC的对称点B，连接BM，

交AC于点N。

则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ

线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值

在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，

则ＢＭ＝１０

故DN＋ＭＮ的最小值是１０

11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．2B．2C．3D．

即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小

点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值

BE=AB=2

12．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小

因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点

DQ=PD+PQ=PB+PQ

故DQ的长就是PB+PQ的最小值

在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2

根据勾股定理，得，DQ=

13．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值

在直角△ABE中，求得AE的长为5

（五）矩形类

14．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；

作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值

直角△BCD中，CH=205错误！

未定义书签。

直角△BCH中，BH=8

△BCC'的面积为：

BH×CH=160

所以C'E×BC=2×160则CE'=16

（六）菱形类

15．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值

在等腰△EAB中，求得AE的长为5

（七）直角梯形类

16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）

A、B、C、D、3

作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P

则A'D=PA'+PD=PA+PD

A'D的长就是PA+PD的最小值

S△APD=4

在直角△ABP中，AB=4，BP=1

根据勾股定理，得AP=

所以AP上的高为：

2×417=1717

（八）圆类

17．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小

作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值

连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，

OA'=OB=4

根据勾股定理，A'B=4

18．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（）

A2BC1D2

即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小

作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，

则点P就是所要作的点

A'B的长就是PA+PB的最小值

连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形

所以A'B=

（九）一次函数类

19．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．

点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小

设直线A'B的解析式为y=kx+b，则

-2=-k+b

2=4k+b

解得：

k=（4/5）b=-（6/5）

所以：

y=（4/5）x-（6/5）

当x=1时，y=-（2/5）

故当n=-（2/5）时，AC+BC的值最小

20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

（1）由题意得：

0=2x+b

4=b

解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4

（2）

作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P

则C'D=C'P+PD=PC+PD

C'D就是PC+PD的最小值

连接CD，则CD=2，CC'=2

在直角△C'CD中，根据勾股定理C'D=2

求直线C'D的解析式，由C'（-1，0），D（1，2）

所以，有

0=-k+b

2=k+b

解得k=1，b=1，所以y=x+1

当x=0时，y=1，则P（0，1）

21．如图，一次函数y=12与反比例函数y=kx交于点A，AM⊥x轴于点M，S△OAM=1

（1）求k的值，

（2）点B为双曲线y=kx上不与A重合的一点，且B（1，n），在x轴上求一点P，使PA+PB最小

（1）由S△OAM=1知，k=2

（2）作点A关于x轴的对称点A’，连接A’B，交x轴于点P，连接PA，则PA+PB最小。

用待定系数法求直线A’B的解析式为y=-3x+5，

因为点P在x轴上，所以设y=0，即0=-3x+5，

解得x=53

所以P（53，0）

22．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：

B′、C′；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

（1）点B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B'（3，5）、C'（5，-2）

（2）坐标平面内任一点P（a，b）关于直线l的对称点P'的坐标为（b，a）

（3）作点E关于直线l的对称点E'，连接DE'，交直线l于点Q

则QE+QD的值最小

设直线DE'的解析式为：

y=kx+b，因为D（1，-3）、E'（-4,-1），则

-3=k+b

-1=-4k+b

解得：

k=-25，b=-135

所以y=-25x-135

当x=y时，有x=y=-137

则Q点的坐标为（-137，-137）

（十）二次函数类

23．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。

，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：

本题中的结果均保留根号）

（1）B（1，）

（2）3

（3）因为点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，

交对称轴于点C，则△BOC的周长最小

3，当x=-1时，y=33

所以C（-1，33）

24．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为（1，-33），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-）．

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．

判断四边形ADBC的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，

若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）

作点B关于AC的对称点G，连接DG，交AC于点F，则△FBD的周长最小

因为CF∥BD，CG=12，所以F（3）

25．如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m,0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

（1）y=32

（3）作点C关于x轴的对称点C’，连接C’D，交x轴于点M，则MC+MD的值最小，求出直线C’D的解析式，即可得到M点的坐标

2441

方法点拨：

此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。

有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。

26．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心，以AD为半径作圆A；

①证明：

当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；

②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。

（2）

连接BC，交直线l于点D，则DA+DC=DB+DC=BC，

BC的长就是AD+DC的最小值

BC：

y=-x+3

则直线BC与直线x=1的交点D（1，2），

27．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

（1）y=x2–4x-5

（2）BC：

y=x-5

P（2，-3）

28．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D（3，－2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．

（1）求直线BC的解析式；

（2）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；

（3）设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，

在直角△ACO中OA=1，AC=2

根据勾股定理，得OC=

故C（，0）

设直线BC的解析式为y=kx+b，则

3=b

0=+b

解得k=-，b=3

（2）因为抛物线关于y轴对称，所以设抛物线的解析式为y=ax2+c，则

1=c

-2=9a+c

解得a=-13，c=1

在直角△ACO中AC=2，OA=1，则∠ACO=30°

在直角△BCO中OC=，OB=3，则∠BCO=60°

所以CA是∠BCO的角平分线

即直线BC和x轴关于直线AC对称

因为点P关于直线AC的对称点在ｘ轴上

故点P应在直线BC和抛物线上，则有方程组

y=-+3

y=-13+1

解得x1=y1=0x2=2y2=-3

所以P（，0），或（2，-3）

（3）当点M在y轴上运动时，PM+CM没有最大值，只有最小值，所以

求PM+CM的取值范围，就是要求PM+CM的最小值

当点P与点C重合时，即Ｐ（，０）

点M在原点，PM+CM的值最小，PM+CM=2

所以PM+CM≥2

当点P（2，-3）时

作点C关于y轴的对称点E，过点P作x轴的垂线，垂足为F

在直角△EFP中，EF=3，PF=3

根据勾股定理，得EP=6

所以PM+CM的最小值是6，则PM+CM≥6

29．如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：

无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是

（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°若存在，请直接写出点的坐标．

（1）△OCP≌△ODP

（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线于点P，点P即为所求过点P作PM⊥BC于点M，则PM=12=1

所以点P的纵坐标为3，又因为点P在∠AOC的平分线上，

则P（3，3）

因为抛物线过原点，故设y=ax2+bx

又抛物线经过点P（3，3），D（2，0）

所以9a+3b=34a+2b=0解得a=1，b=-2

则抛物线的解析式为y=x2–2x

（3）点D关于∠AOC的平分线的对称点是点C，连接CE交OF于点P，则△PDE的周长最小

抛物线的解析式为y=x2–2x的顶点E（1，-1），C（0，2）

设直线CE的解析式为y=kx+b，则

-1=k+b2=b解得k=-3，b=2

直线CE的解析式为y=-3x+2

点P的坐标满足y=-3x+2x=y解得x=12,y=12

所以P（12，12）

△PDE的周长即是CE+DE=+

（4）存在这样的点P，使∠CPN=90°，坐标是（12，12）或（2，2）

30．已知：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．

试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

（1）由题意得9a-3b+c=0c=-2解得a=23，b=43，c=-2

∴抛物线的解析式为y=43

（2）点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点P，则△PBC的周长最小

设直线AC的解析式为y=kx+b，因为A（-3，0），C（0，-2），则

0=-3k+b-2=b解得k=23，b=-2

所以直线AC的解析式为y=23x–2

把x=-1代入得y=43，所以P（-1，43）

（3）S存在最大值

∵DE∥PC，∴ODOC，即2-m2

OE=3-32，AE=OA–OE=32

方法一，连接OP

S=S四边形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED

=43+12-m-32-m

=32=34

所以，当m=1时，S最大=34

方法二，

S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD

=32=34

（十一）建桥选址类

31．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近

作法：

设a、b的距离为r。

①把点B竖直