故最大值为f(0)=b=1,
所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a,
所以-a=-,所以a=.
故a=,b=1.
16.若函数f(x)=4x3-+3在[-,]上是单调函数,则实数a的取值范围为多少?
解 f′(x)=12x2-a,若f(x)在[-,]上为单调增函数,则f′(x)≥0在[-,]上恒成立,
即12x2-a≥0在[-,]上恒成立,
∴a≤12x2在[-,]上恒成立,∴a≤(12x2)=0.
当a=0时,f′(x)=12x2≥0恒成立(只有x=0时f′(x)=0).
∴a=0符合题意.
若f(x)在[-,]上为单调减函数,
则f′(x)≤0,在[-,]上恒成立,
即12x2-a≤0在[-,]上恒成立,
∴a≥12x2在[-,]上恒成立,
∴a≥(12x2)=3.
当a=3时,f′(x)=12x2-3=3(4x2-1)≤0恒成立(且只有x=±时f′(x)=0).
因此,a的取值范围为a≤0或a≥3.
17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2π=200π(元),底面的总成本为160πr2元,
所以蓄水池的总成本为(200π+160πr2)元.
又根据题意200π+160πr2=12000π,
所以h=(300-4r2),
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>0,又由h>0可得r<5,
故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),
故V′(r)=(300-12r2).
令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
17.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为:
y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解
(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时,
要耗油(×403-×40+8)×2.5=17.5(升).
(2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=(x3-x+8)=x2+-(0<x≤120),
h′(x)=-=(0<x≤120).
令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
18.已知函数f(x)=x3-x-(a∈R,a≠0).
(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围.
解
(1)当a=3时,f(x)=x3-3x-,f
(1)=0,
∴f′(x)=x2-,∴f′
(1)=-2,
∴曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程2x+y-2=0.
(2)f′(x)=x2-=(x>0).
①当a<0时,f′(x)=>0恒成立,函数f(x)的递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=或x=-(舍).
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
减
极小值
增
∴函数f(x)的递增区间为(,+∞),递减区间为(0,)
(3)对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需对任意的x∈[1,+∞),f(x)≥0.
①当a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴只需f
(1)≥0,而f
(1)=-1-=0,
∴a<0满足题意,
②当0<a≤1时,0<≤1,f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴只需f
(1)≥0而f
(1)=-1-=0,
∴0<a≤1满足题意;
③当a>1时,>1,f(x)在[1,]上是减函数,[,+∞)上是增函数,∴只需f()≥0即可,而f()<f
(1)=0,∴a>1不满足题意;
综上,a∈(-∞,0)∪(0,1].