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非线性方程的求解毕业论文
非线性方程的求解毕业论文
题目（中文）:
非线性方程的求解
（英文）:
TheSolutionofNonlinearEquations
绪论................................................................................................................................11非线性方程的简介.....................................................................................................1
1.1非线性方程的背景...........................................................................................1
1.2非线性方程的概念...........................................................................................22非线性方程求解的数值方法.......................................................................................3
2.1二分法..............................................................................................................3
2.1.1二分法的思想........................................................................................3
2.1.2二分法的推理........................................................................................3
2.1.3二分法的应用........................................................................................4
2.2牛顿迭代法......................................................................................................4
2.2.1迭代法...................................................................................................4
2.2.2牛顿迭代法...........................................................................................6
2.3改进牛顿迭代法............................................................................................10
2.3.1改进牛顿迭代法的背景......................................................................10
2.3.2改进的法................................................................................11Newton
3牛顿迭代法和改进牛顿迭代法的应用....................................................................12
3.1牛顿迭代法的应用.........................................................................................12
3.2改进牛顿迭代法的应用.................................................................................194结束语......................................................................................................................22参考文献......................................................................................................................23致谢..............................................................................................................................24
I
非线性方程的求解
摘要
非线性方程在实际问题中经常出现，很多熟悉的线性模型都是在一定的条件下由非线性问题简化得到的;非线性方程在科学与工程计算中的地位越来越重要,因此研究和探讨非线性方程求解的方法是非常有必要的。
本文先开始介绍了非线性方程的概念及相关背景，再着重描述了非线性方程的求解的一些常用分法:
二分法，迭代法，牛顿迭代法。
在这些方法当中，牛顿迭代法是求解非线性方程的一种非常常用并且有效的方法，但是牛顿迭代法有一些应用条件限制，因此提出了改进的牛顿迭代法;针对非线性方程的实例用上面提到的方法进行了数值计算，并且比较了牛顿迭代法和改进牛顿迭代法，最后介绍了牛顿迭代法在实际生活中的应用。
【关键字】非线性方程牛顿迭代法数值计算
II
TheSolutionofNonlinearEquations
Abstract
Nonlinearequationsappearfrequentlyinpracticalproblems,andmanyofusarefamiliarwiththelinearmodelobtainedbythesimplifiednonlinearproblemsundercertainconditions.Nonlinearequationsarebecomingmoreandmoreimportantinscienceandengineeringcomputing.Therefore,itisnecessarytostudyandexplorewaystosolvenonlinearequations.
Firstly,thispaperrecommendsomebasicconceptionsandrelatedbackgroundofnonlinearequations,thendescribesomemethodsofthesolutionofnonlinearequationemphatically,suchas:
theprocedureofdichotomy,theiteratemethod,theNewtoniteratemethodandtheimprovedNewtoniteratemethod.ItisveryusefulandeffectivetousetheNewtoniteratemethodforsolvingnonlinearequationsinthosemethods.However,weproposetheimprovedNewtoniteratemethodbecauseofthelimitsoftheNewtoniteratemethod.Also,wehavecarriedontheapproximatecalculationtothenonlinearequationsandhavecomparedtheNewtoniteratemethodwiththeimprovedNewtoniteratemethod,Intheend,weintroducetheapplicationoftheNewtoniteratemethodinthereallife.
【Keywords】ThenonlinearequationsTheNewtoniteratemethodNumerical
computation
III
绪论
非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定的条件下由非线性问题简化得到的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，从而产生非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱.非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的.从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质的不同，求解方法也有很大的差别.
非线性方程的数值解法在实际中有广泛的应用，特别是在各种非线性问题的科学计算中更显出它的重要性，而且，随着计算机的广泛应用，有更多的领域涉及到非线性方程的求解问题，例如，动力系统，非线性有限元问题，非线性力学问题，还有非线性最优化与非线性规划问题等，因此，研究性方程的解法就具有重要的实际意义.由于非线性方程的复杂性，在解法上除了极特殊的非线性方程外，直接法几乎是不能使用的，这需借助于二分法，迭代法来求解.从计算的经验来看,Newton迭代法用来求非线性方程一种非常常见的而且是有效的方法，所以我们有必要研究和探讨求解非线性方程的Newton方法.
1非线性方程的简介
1.1非线性方程的背景
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科.它是自20世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉
线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学为本世纪自然科学的“第三次革命”.非
的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法.科学界认为:
非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境的利用也具有实际意义.由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题.
1
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手.历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”.因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域.20世纪六十年代以来，情况发生了变化.人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破:
一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展.如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法;另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动.促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用.科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为.在数值计算中，非线性问题也是经常遇到的一类难题，特别是非线性方程组的数值求解问题构成了非线性科学的一个重要组成部分.
1.2非线性方程的概念
非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，一般可以表示为.这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等fx（）0,
32等.下面这些例子就是常见的非线性方程:
，，xxx,，，,10xx,,tan0
x.xae,,0
非线性方程可分为两类:
一类是多项式方程，这类方程可以定义为:
2n，.另一类是非多项式方程，fxxxx（）0,,，,，,，,,nNC,,,,,,,,01n012n
它不能用多项式方程的形式表示，没有固定的形式.求解第一类多项式方程，现在已经有了比较成熟的理论和方法.现在比较常用的一种数值方法是迭代法，能通过迭代次数的增加，从而越来越接近方程的解，求解第二类非多项式方程，是现在数学领域中的一个重点研究方向.一般来说，求解此类方程是采用随机搜索的办法.
2
2非线性方程求解的数值方法
2.1二分法
2.1.1二分法的思想
二分法是区间迭代法的一种.它是重复运用零点存在性定理,每次将区间压缩一
半且其中一个区间至少包含一个根,逐步缩短区间,直至最终区间长度满足一定的精
度要求为止.
2.1.2二分法的推理
先考察有根区间,a,b],取中点，将它分成两半，然后进行根的xab,，（）/20
*搜索，即检查与是否同号，如果确系同号，说明所求的根在x的右fx（）fa（）x00
axb侧，这时令=,=.b101
*否则必在x的左侧，这时令a=，b=x，不管出现哪一种情况，新的有xa0110
abab根区间[,]的长度仅为,,,的一半.对压缩了有根区间[,]又可施行同样ab1111
xabab的过程，即用中点=（+）/2，以将区间[,]再分为两半，然后通过根的搜11111
x[]abab索判定所求根在的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间，长度是[,]12,211
的一半.
如此反复二分下去，可得出一系列有根区间
，[,][,][][,]abababab,,,,,112,2kk
k其中每个区间都是前一个区间的一半，因此[,]ab的长度ba,=，（）/2ba,kkkk当时趋向零，就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将k,,
*收缩于一点x，该点显然就是所求的根.
[,]ab每次二分后，设取有根区间的中点xab,，（）/2作为根的近似值，则kkkkk
*在二分过程中可以获得一个近似根的序列xxxx,,,,，则该序列必以根x为012k极限.
不过在实际计算时，不可能完成这个无限过程，其实也没有这个必要，因为数
值分析的结果允许带有一定的的误差，由于:
3
*1k，||（）/2（）/2xxbaba,,,,,（2.1.1）kkk
*只要二分足够多次（即k充分大）便有,，这里为预定的精度.||xx,,,k
2.1.3二分法的应用
3例1求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数fxxx（）10,,,,（1.0,1.5）点后第二位.
解这里,而，取的中点x=将区间二fa（）（,）abab,,1.0,1.50,（）0fb,1.250
*等分，由于，即与同号，故所求的根在x右侧，这时应fx（）fx（）fa（）x,0000
a=x=,而得到新的有根区间[a,b].1.25,1.5bb,,10111
如此反复二分下去，二分过程无需贅述，现在预估所要二分的次数，按误差估计式，只要二分6次，便能达到预定的精度:
（6）k,（2.1.1）
*||0.005xx,,0
二分法计算结果如表1所示
表1二分法的计算结果数据表
kabxfx（）kkkk
01.01.51.25-
11.25…1.375+
2…1.3751.3125-
31.3125…1.3438+
4…1.34381.3281+
5…1.32811.3203-
61.3203…1.3242-
2.2牛顿迭代法
2.2.1迭代法
2.2.1.1迭代法的思想
迭代法是一种逐步逼近的方法，首先选定方程f（x）=0的一个近似根后，然后使用某个固定公式，反复校正这个根的近似值，使之逐步精确化，一直到满足给定的精度要求为止.
4
2.2.1.2迭代法的推理
设方程有根，把方程化为等价方程fx（）0,
xx,（）,（2.2.1）
这种方程是隐式的，不能直接得出它的根，但如果给出根的某个猜测值代x0
放在的右端，可得，然后，又可取x作为猜测值，进一步得到xx,,（）（2.2.1）110
，如此反复迭代如果按公式xx,,（）21
xxk,,,（）,0,1,2（2.2.2）kk，1
*确定的数列有极限，则称迭代过程式收敛，这时极限值xxx,lim（2.2.2）,,kk,,k
*显然就是方程的根.这种迭代法又称为不动点迭代法，由迭代过程所产xxx,（）,
生的数列并不都是收敛于某个数，与迭代方程的选取有关.2.2.1.3迭代法的误差公式
假定函数定理1满足下列条件:
（）x
o1对任意，有xab,[,]
axb,,（）,
o2L,1存在正数，使对任意，有xab,[,]
'|（）|1,xL,,（2.2.3）
*则迭代过程对任意初值均收敛于方程的根，且xx,,（）xab,[,]xx,（）x,kk，10有如下误差估计式:
*k||||/
（1）xxLxxL,,,,（2.2.4）k10
证明由式有（2.2.3）
|||（）（）|||xxxxLxx,,,,,,,kkkkkk，,,111
k,据此反复递推得||xx,，于是对任意正整数，有:
,Lxx||kk，110
||||||||xxxxxxxx,,,，,，，,kkkkkkkk，，，,，,，,，,,,,,1121
kpkpkk，,，,12，,，，，,,,,（）||||/
（1）LLLxxLxxL1010
*在上式中令,,,，注意到limxx,，即得（2.2.4），证毕.k，,,,,
5
2.2.1.4迭代法的局部收敛性
*'*'*定理2设为方程的根，在的邻近连续且，则迭代xxx,（）,（）xx,|（）|1,x,
*过程在邻近具有局部收敛性.xx,,（）xkk，1
**证明由连续函数的性质，存在的某个邻域R:
，使对任意x||xx,,,
'成立。
此外，对任意，总有，这是因为|（）|1,xL,,,（）xR,xR,xR,
****|（）||（）（）|||||,,,xxxxLxxxx,,,,,,,
于是，依据定理1可以断定，迭代过程对任意初值均收敛，xR,xx,,（）kk，10证毕.
2.2.2牛顿迭代法
2.2.2.1牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法（Newton'smethod）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson
method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要.
2.2.2.2牛顿迭代法的推导
1通过Taylor进行理论推导
xx设是f（x）=0的一个近似根，把f（x）在处泰勒展开:
kk
'''2fxfxfxxxfxxx（）（）（）（）（）（）/2!
，,，,，kkkkk
若取前两项近似代替fx（），则fx（）=0的近似线性方程为
'fxfxfxxx（）（）（）（）0,，,,kkk
'xx设fx（）0,，设其根为，则的计算公式为k，1k，1k
fx（）k（0,1,2）k,（2.2.5）,,xx，1kk'fx（）k
这即是牛顿法，称（2.2.5）为牛顿迭代公式，其迭代函数为
fx（）,,,（2.2.6）（）xx'fx（）
2通过微分中值定理进行推导
6
*设是根的某个预测值，用迭代公式校正一次得，而由微分中值xxx,,（）x010
定理有
*'*xxxx,,,,,（）（）10
*其中介于与之间.x,x0
'假定改变不大，近似地取某个近似值L，则由,（）x
**xxLxx,,,（）10
1L*得xxx,,1011,,LL可以期望，按上式右端可得
1LLxxxxxx,,,，,（）210110111,,,LLL
x是比更好的近似值.1
将每得到一次改进值算作一步，并用和x分别表示第步的校正值和改进值，xkkk则加速迭代计算方案可表述如下:
校正xx,（）,kk，1
L改进（2.2.7）,，,（）xxxxkkkk，，，1111,L其中xx,（）中的,（）x可以是多种多样的，当,（）x,，xfx（）时，相应的迭代公式,
是
xxfx,，（）（2.2.8）kkk，1
运用前面的加速技巧，对于迭代过程，其加速公式如下:
（2.2.8）
xxfx（）,，kkk，1,,Lxxxx,，,（）,kkkk，，，111,,1LML,,1记，上面两个式子可以合并写成
fx（）k,,xx，1kkM
7
这种迭代公式通常称为简化的公式，其相应的的迭代函数是Newton
fx（）,,,（2.2.9）（）xxM
'L需要注意的是，由于是的估计值，而，这里的实际ML,,1,（）x,（）（）xxfx,，
''M上是的估计值，如果用代替式中的，则得如下形式的迭代函fx（）fx（）（2.2.9）数:
fx（）,,,，（）xx'fx（）其相应的迭代公式
fx（）k（2.2.10）,,xx，1kk'fx（）k
这就是著名的公式.Newton
2.2.2.3法的几何解释Newton
对于方程，如果是线性函数，则对它求根是容易的，法fx（）0,fx（）Newton
实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线fx（）0,性方程来求解.
图1与轴的交点图fx（）x
8
*方程的解可解释为曲线与轴的交点的横坐标,（见图1）fx（）0,yfx,（）xx
取初值，将在初值处作Taylor展开得:
fx（）xx00
''fx（）'20fxfxfxxxxx（）（）（）（）（）,，,，,，00002!
''取线性部分作为的近似值，有:
，若，fx（）fxfxxx（）（）（）0，,,fx（）0,0000则有
fx（）0xx,,10'fx（）0
类似，我们也能得到:
fx（）1xx,,21'fx（）1
这样一直下去，我们可以得到迭代序列
fx（）k,,xx，1kk'fx（）k
由上面图可知，过曲线上横坐标为的点引切线，并将该切线与X轴xPyfx,（）00
的交点的横坐标坐为新的近似值，类似这样下去，我们可以得一个切线方程:
x1
'yfxfxxx,，,（）（）（）kkk
这样求得的值必满足式，由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.x（2.2.10）k，1
2.2.2.4法的局部收敛性
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