三角形经典问题总结.docx

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三角形经典问题总结

《三角形》三类经典知识应用

一、三角形外角定理应用

①三角形外角定理：

_______________________________;

如图，∵∠1是△ABC的外角（），

∴∠___=∠___+∠___（）．

推论：

三角形的一个外角一定大于___________________________________。

②三角形外角和定理：

三角形外角和等于______________________度．

③推广到n边形的内角和等于___________________；外角和等于_____________________．

练习：

三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有________个锐角．

例1如图，AB⊥BC，请用四种方法说明为什么∠P=∠A+∠B+∠C？

例2如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B.

例3探索下列有关角平分线的性质：

（1）如图l，P点是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，猜想∠P和∠A的数量关系；

（2）如图2，P点是∠ABC和∠ACE的角平分线交点，猜想∠P和∠A的数量关系；

（3）如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线交点，猜想∠P和∠A的数量关系；

例4如图，将△DEC沿DE翻折过来得△DEF，则∠E和∠1,∠2之间存在的关系是什么？

.

例5已知如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE。

求证：

∠1>∠2

例6如图

（1）~（3）中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F分别等于______，______，______，

（1）

（2）（3）

二、三角形全等

（1）全等的基本性质

图形全等的定义：

_________________________________________;

三角形全等的定义：

_________________________________________;

三角形全等的性质：

全等三角形的对应边_______,对应角_______.

（2）全等三角形判定

①__________________________的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS”．

②__________________________的两个二角形全等，简称“角边角”或"ASA”．

③__________________________的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”．

④__________________________的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”．

⑤__________________________的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边定理”或“HL”．注意这个方法仅适用于什么样的三角形？

答：

__________________.

典型题例1.下列判断中错误的是（）

A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

2．尺规作图作

的平分线方法如下：

以

为圆心，任意长为半径画弧交

、

于

、

，再分别以点

、

为圆心，以大于

长为半径画弧，两弧交于点

，作射线

由作法得

的根据是（）

A．SASB．ASAC．AAS　　D．SSS

（3）三角形全等类型分类（写出各种类型全等的对应边和对应角）

平移型

翻折轴对称型

旋转型

大山型组合型（平移+旋转）

注意事项：

1．用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这一个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.这个性质不仅仅体现在三脚架的稳定这一物理性质的浅层次的理解，更深层次的是体现在一个三角形三边如果确定，则三角形的形状大小就会随之确定这一特点．这实质上是全等判定公理的应用．

2．说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．另外证明全等难度在于公共边或公共角，对顶角等隐含在图中的信息能否被及时地发现．

3．注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．即全等证明公理或定理中没有“SSA”，要求会用反例说明问题．请用尺规作图的方式说明为什么SSA不总成立．

（4）两个重要定理

①角平分线定理__________________________________________．

符号语言：

如图，∵__________________________________（）

∴________________（）

其作用主要可以利用这个定理代替再次利用全等得出两条特殊的线段相等，再利用这个结论为证明其他结论做铺垫．

注：

该定理难点在于定理前提点到两边的“距离”的理解上，这个“距离”不是角平分线上的点到两边上任意两点间的距离，而是该点到两边上的垂线段的长度。

②垂直平分线定理：

_________________________________________________________．

符号语言：

如图，∵____________________________________（）

∴________________（）

其作用主要可以利用这个定理代替再次利用全等得出两条特殊的线段相等，从而构成等腰三角形．再利用这个结论为证明其他结论做铺垫．

上述两个定理其正确性都是根据什么公理推理出来的？

__________________

上述两个定理其实都是____________________________的体现。

这两个定理对于利用作图解决实际问题非常有用

（5）典型题例

例1．若两个三角形同是锐角三角形或同是钝角三角形（且两锐角或两钝角相互对应）呢？

SSA是不是总成立呢？

如下图，若∠B=∠E，AB=DE，AC=DF，请问此时两三角形全等吗？

请说明你的理由．

例2．有一个池塘，要测量池塘两端AB的距离，你能利用全等的知识间接地测量出AB的距离吗？

请说出你的办法，并说出你的道理．

例3．如图要测量两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C,D使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A,C,E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？

例4．如图，△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的对应边上的中线，则AD与A’D’有什么关系？

请用全等的知识证明你的结论.

例5．如图∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5，DE=1.7，求BE的长．

例6．四边形ABCD和CEFG都是正方形，判断BG和DE的数量关系和位置关系

例7．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？

说明理由。

例8．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。

试探索AP与AQ的关系，并说明理由。

例9．在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问△BHD≌△ACD，为什么？

例10．已知B、C、D在一条直线上，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=900，问BD=AB+ED吗？

例11．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．

（1）求证AB⊥ED；

（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

例12．如图，在等腰

中，

，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持

．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①

是等腰直角三角形；

②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8．

其中正确的结论是（）

A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤

三、等腰等腰三角形

定义：

________________________________________________

性质1：

________________________________

如图1，符号语言是：

∵_________=______（）

∴∠__________=∠_________（）

性质2：

________________________________________________________________

符号语言：

如图1

1．∵AC=BC，且_____⊥_____，∴_____=_____，∠_____=∠_____（）

2．∵AC=BC，且_____=_____，∴_____⊥_____，∠_____=∠_____（）

3．∵AC=BC，且∠_____=∠_____，∴_____=_____，_____⊥_____（）

注意：

“三线合一”是等腰三角形的性质，不是判定。

用“三线合一”时的前提一是要强调三角形是____________三角形不是一般的三角形，二是要强调是_____的平分线，______上的高和_____________的中线，而不是其他角的平分线其他边上的高线和中线．而在等腰三角形的判定方法中不能称作“三线合一”．

判定：

1.定义法：

____________________________________________________

2.定理法：

____________________________________________________

如图，符号语言是：

∵∠__________=∠_________（）

∴_________=______（）

典型例题

1．若一个三角形中一个角平分线和对边上的高线重合，请说明该三角形是等腰三角形．若∠ACO=∠BCO，CO⊥AB，请证明CA=CB。

2．若一个三角形中一个角平分线和对边上的中线重合，请说明该三角形是等腰三角形．若∠ACO=∠BCO，OA=OB，请证明CA=CB。

3．若一个三角形中一个边上的中线和高线重合，请说明该三角形是等腰三角形。

若CO⊥AB，OA=OB，请证明CA=CB。

等边三角形的性质和判定

定义：

_______________________________________________

性质1：

等边三角形的三个内角都________，且都等于___________度．

性质2：

等边三角形每一个角的平分线都和对边上的_______和对边上的_______重合．

性质3：

等边三角形有_______条对称轴．

性质4：

等边三角形是的等腰三角形，所以等腰三角形所具有的性质，等边三角形都__________．

判定1：

三个角都_______的三角形是等边三角形．

判定2.有两个角都等于_______度的三角形是等边三角形．

判定3.有一个角等于_______度的等腰三角形是等边三角形．

典型例题

1．已知△ABC和△ECD都是等边三角形，请问AD和BE有什么关系？

（针对每一个图都要进行证明）

2．如图，在

中，

，分别以

为边作两个等腰直角三角形

和

，使

．

（1）求

的度数；

（2）求证：

．

3．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．

4．△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ADE也是等边三角形，猜想CE，AC，CD三条线段之间的关系并给与证明．

5．如图，△ABC中，D为AC上一点，DC=

AD，∠ACB=45°，∠ADB=60°，AE⊥BD，E为垂足，连结AE.

写出图中所有相等的线段，并证明；

6．两个全等的含

，

角的三角板

和三角板

如图所示放置，

，

，

三点在一条直线上，连结

，取

的中点

，连结

，

，试判断

的形状，并说明理由．

7．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．

（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；

（2）求证：

△AB’O≌△CDO．

8．已知：

如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．

（1）求证：

AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD

的数量关系，并说明理由．

9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°．

恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．

10．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．

求证：

CE⊥BE．

11．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，

求证：

FM=MH，FM⊥MH；

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，

求证：

△FMH是等腰直角三角形；

（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，

△FMH还是等腰直角三角形吗？

（不必

说明理由）

12．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论？

（均不要求证明）