100个小学数学问题.docx
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100个小学数学问题
※100个小学数学问题（摘自《小学数学研究》，高等教育出版社，第12章）
小学数学教学是一个复杂的系统工程，涉及数学、教育学、心理学、教学环境、教学资源，教学组织等诸多方面。
其中，数学内容是核心，却又往往被忽视。
一般人的印象里，似乎小学数学人人都能掌握，不必再研究学习了。
其实不然。
我们这里收集了100个问题，其中有的是宏观的思考，目的是提升小学老师的数学修养；有的则涉及微观的具体细节，有助于小学教师设计课堂教学，解答疑难。
对这些问题，这一章只能作一些简要的回答。
有些内容涉及过宽，则需要参考本书的其他各章，甚至书外的文献。
还要特别说明的是，有些问题的解答，还有不同的见解和答案。
这里所列的答案，只是本书编者的一得之见，仅供读者参考，并非“标准”的正确答案。
因此欢迎读者参加讨论，批评指正。
一．为什么说“数学是一门关系学”？
大百科全书（数学卷）对数学的定义是：
“研究现实世界数量关系和空间形式的科学”。
这就点明了数量关系是一切数学研究的核心。
进一步，空间形式中，也有许多关系，例如，两条直线的平行、垂直、相交、重合，就是位置关系。
至于面积、体积的计算，更是直接的数量关系。
小学数学中的数量关系主要有三类：
1．等价关系。
数的相等，式的恒等，图形的重合，方程的同解，以及各种各样的等价类。
2．顺序关系。
数的大小，位置记数，不等式等。
3．对应关系。
数的运算关系，函数关系。
特别地，自然数的四则运算是两个数和第三个数之间的对应关系。
表格，坐标图象，统计图都是对应关系。
从“关系”上认识数学，可以居高临下，在数学结构、数学思想、和数学观的高度审视小学数学。
不要说小学数学内容浅显，它的内容既能和日常生活相联系，也能在哲学层面进行思考。
二．小学数学（1-6年级）和中学阶段数学（7-9年级）的区别和联系是什么？
小学中的整数、小数、分数的运算是一切数学的基础，当然是中学数学的基础。
小学数学是一个变动着的概念。
许多数学内容，早年属于中学数学范围，现在已经渗透到小学数学范围。
最值得注意的是代数方法、函数思想、随机数学等三个重大数学内容向小学的渗透。
小学数学中的算术方法，正和代数方法互相融合。
算术基于“数”的运算，方程则基于“式”的运算。
小学不能正面研究有文字参与运算的“式”，只能用□○这样的符号代替未知数，出现3□+2=14这样的等式。
小学数学基于“逆运算”的思想求得方程的解，方法是用同加同乘保持等式成立，目的是避免负数运算。
函数思想的核心是变量，以及对应。
小学里多次出现这两个概念，但是没有明确提出函数的概念。
小学应该在数学情景和数学思想层面为中学数学提供函数素养。
随机数学，即基于概率理论的数学，正在逐渐进入小学。
小学和中学在这一领域的衔接，还在深入实践与研究之中。
小学的几何教学，除了一部分传统度量几何学（求面积、体积）之外，演绎几何的内容也在渐渐地渗入小学课程。
正确理解和处理小学数学与中学数学只间的相互交融、合理衔接，是小学数学教学的重要课题。
三．小学数学中的数学概念定义都是严密的吗？
不可能都做到严密。
小学数学中的定义有以下几类：
首先，有些概念不能定义，如点，集合，线段，对应等等是原始定义，自然数1，2，3……也是原始的抽象。
第二类概念不用定义，如关系，延长，相交，方向，距离，交换，结合等等，照字面意义理解即可。
第三类是描述性定义，如图形的面积，数的相等与大小，都不是严格的定义。
最后一类才是在逻辑上严密的“属和种差”式的定义。
如等边三角形定义为三边都相等的三角形。
小学数学中的概念，主要是理解其涵义，能够把握与运用，不要求外延十分清楚。
以为数学概念的定义越严密越好是不对的。
严谨性必须和学生的年龄特证吻合，也要和人的认知规律相适应。
四．分类都必须“不重不漏”吗？
分类是一个重要的数学思想。
儿童心理学表明，先有分类，按类别形成集
合，然后才能形成运算。
分类是数学学习一个起点。
一个流行的说法是“数学分类必须不重不漏”，这一要求有逻辑上严格性的价值，但不能绝对化。
分类可以相重。
例如包含式分类：
自然数⊆整数⊆有理数⊆实数⊆复数
等边三角形⊆等腰三角形
分类可以不必“不漏”。
例如三角形分出等边三角形和等腰三角形就够了，何必来一个三边都不相等的三角形来？
没有什么意义。
再如方程概念，可以进行部分地分类，如一元一次方程，一元二次方程，却不可能对所有方程一个不漏地分类。
总之，套桶样的包含式分类也是常见的，对一部分对象进行分类也是允许的，要看情况进行处理。
五．分类：
正方形可以看作长方形吗？
由于过分强调“不重不漏”的分类原则，以及汉语中“正方的”、“长方的”概念互相排斥的认识，在小学低年级教材中，正方形不是长方形。
但是，权威的《辞海》是这样处理的：
[长方形]见矩形
[矩形]四个角为直角的四边形。
[正方形]边长相等的矩形。
这样，正方形就是特殊的矩形了。
因此，小学教材要相应地修改。
更改一个数学名词的含义需要一个过程。
希望小学数学教材教材能够如下处理：
1正方体与长方体
2正方形与长方形
六．分类：
平行四边形是梯形吗？
类似的问题有，“正方形是不是长方形？
”“圆是不是扇形？
”“x2+x+1=x2+2x-1是不是二次方程”“平角是角吗？
”等等。
这是一个分类的习惯问题。
中国的习惯是平行四边形，不属于梯形。
理由是分类必须“不重”。
如果用包含式分类，则答案应该是“平行四边形也是梯形”。
此外，我们还可以遵循一种习惯性的约定：
“一类对象中的退化对象仍然属于该类”，以便省掉一些无谓的区分。
根据这样的观点，平行四边形是特殊的梯形，正方形是特殊的长方形，圆是特殊的扇形，退化的二次方程也是二次方程，平角也是角。
至于通常讨论问题时，专指一般情形，不包括退化情形，以免逻辑上的混淆。
这种分类习惯，日常生活中也常见。
例如一般地说“中国人是黄种人”是对的，但是，有些少数民族有白种人成分，个别加入中国籍的外国人可能不是黄种人“。
特殊情况需要特殊处理。
如果一味追求逻辑严格，反而不方便了。
这样的习惯，是一种约定俗成的人为结果，当然可以改变。
“0是自然数”是一个典型的例子。
这里，没有科学性的正确与否问题。
不必太认真。
对这种涉及“习惯的人为规定”，尤其不宜作为“考题”，学生答不对就扣分并不合理。
七．数学证明和其他的证明有什么区别？
证明是说服别人展示某个结论正确性的手段。
证明的种类很多。
如引用名
人的话，历史证明，举例说明，调查表明，实验证实，举不出反例等等都是。
严格的数学证明是指用演绎方法进行的逻辑推理证明。
小学中这样的证明很多，只不过隐含着而已。
例如因为2×6=10，并且3×4=10，所以2×6=3×4。
数学证明的特点是保持绝对正确，其他的证明方法则可能不完全正确，因而受到人们的重视。
但是，世界是复杂的，大多数事实不可能用数学方法证明。
而且，逻辑证明只能是前提正确之下的推论，难以产生不同于前提的创新结论，因而也是有局限的。
八．为什么不宜要求学生猜想“1毫升=1立方厘米”？
有一个很优秀的教案，让学生了解毫升的意义，体验“毫升”的实际大小。
设计得很好。
但是，其中要求学生“猜想1毫升=1立方厘米”，未免失当。
因为猜想是指人对客观规律认识的一个前奏，而度量衡单位之间的换算，是人为规定，并非客观存在的规律。
中国以前也有“升、斗”的度量，那时的一升并非1立方分米，1毫升也不等于1立方厘米的。
以后与国际接轨，才有今天的“升”的大小规定。
对于“规定”，可以谈它的的合理性，却不需要猜想，也不能证明，只要遵守就是。
正如交通规则，中国大陆是靠右边走，到香港则靠左边走，不必猜想，照办就是。
九．什么是小学数学教学中的“基本数学活动”？
小学数学的教学目标，要使得学生掌握基本知识和基本技能，还要掌握基
本思想方法和基本活动经验。
广义地说，一切数学过程都是数学活动。
包括数学证明，数学解题，数学练习都属于数学思维活动。
狭义地说，则是通过对具体事物进行实际的操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所积淀下来的认识。
例如，测量、折纸、游戏、比喻、画图等等都是比较具体的数学活动。
我们应该重视所有的广义数学活动，并在教学中加以组织，但是更提倡那些狭义的数学活动，使得学生能够克服数学抽象性带来的理解困难，得到具象的或者实际意境的思考支撑。
一十．小学数学中蕴涵着哪些数学思想方法？
数学思想方法的教学，是中国数学教育的特点之一。
通常使用的数学思想方
法有一般的科学思想方法:
归纳、演绎、分析、综合、类比、联想等等。
数学方法有逻辑化归、数形转换，变换中的不变量，等价变换，函数关联等等。
还有一些具体的方法，如出入相补，逆向求解，“凑十”计算等等。
数学思想方法的教学，是潜移默化的，但是有时也要正面点拨。
一十一．现代数学会渗透进小学数学吗？
现代数学的发展一日千里。
其中的绝大部分不可能进入小学数学课程。
但是，
信息时代有些重大思想，会逐步渗入小学数学。
100年前，函数还是大学教学的内容，现在已经大举渗入小学数学课程。
晚近以来，以计算机技术为代表的信息技术，使得数学中的算法思想日益显得重要。
算法必将影响小学数学教学。
具体说来，大数的因数分解和密码，数的整除与身份证、书号中的检验码，都是直接进入小学数学的案例。
详见第五章相关内容。
一十二．小学数学教学中可以使用计算器吗？
计算器进入小学数学课堂,已经获得普遍公认，但是在具体的做法上世界各国有所不同。
我国比较一致的意见是在掌握了基本的计算方法后学习使用计算器计算，即在低、中年级不允许使用计算器，可以使学生集中精力学好练好基本的计算技巧，养成一定的口算、笔算能力。
到高年级允许学生使用计算器，有助于学生解决比较复杂的数学计算，减轻负担，把主要精力放在思维活动方面。
口算和笔算的顺利达标是使用计算器的前提。
检测的标准可以略高于课程标准的要求，这样即便有些回落也能保住基本的标准要求。
学习内容
速度要求
20以内的加减法和表内乘除法口算
每分钟8～10题
三位数以内的加减法
每分钟2～3题
两位数乘两位数
每分钟1～2题
除数是一位数、被除数不超过三位数的除法
每分钟1～2题
然后，到了第二学段就可以开始允许学生使用计算器了。
为了消除影响计算能力的顾虑，在学习过程中需要进行阶段性地监控计算能力：
每学期一次计算过关考核。
如不合格，则需要练习。
一十三．什么是“数感”？
数感是英文NumberSense的直译，由于21世纪初颁行的《数学课程标准（实验稿）》使用该词而在中国流行。
Sense的含义不仅是感觉，而是一种意识和直觉，专指不经过严密思考而对数字进行判断的思维活动。
比如，面对一种数量关系，你能区别它是随机现象还是确定性现象？
数量之间是等价关系，还是依赖关系，得到结论的精确度有多高，能否适合问题的需要？
对这些问题有一个大体上的直觉的判断，就是我们需要努力培养的数感。
数感是一种意识，数感是一种感悟（见史宁中等，以及喻平的文章，均见《数学教育学报》）。
目前，我们对数感还没有一个统一的、获得公认的界定。
但是，把数感仅仅理解为学习“一百万粒米有多大”，“装一百万元人民币的箱子有多大”之类的问题，恐怕是一种误解。
一十四．什么是符号感？
符号感是英文SymbolSense的中译文。
原文的本意是一种符号意识，即
善于使用符号表示数学意义的一种直觉性认识。
使用符号并非数学的特征，中文的方块字也是符号。
交通符号，商标符号，城市标志等等更都是常见的。
数学符号的特征在于“运算”。
符号和加减乘除、乘方开方，指数对数、正弦余弦、微分积分等等运算符号组合在一起，可以表达非常深刻的内在数量关系。
用符号代表数字，和运算符号一起列成方程，是运用符号的典型例证。
如果说，方块字形成的作品，读出来就明白其中的意思。
那么用数学符号写成的方程式，只是读出来并不能表达它的含义。
要能够解方程，把极度简洁、十分抽象的符号语言背后隐藏着深刻的关系揭示出来，才体现数学的价值。
数学家以创造符号和运用符号获得成功，不喜欢数学的人们看见符号就头疼，拿起书看见符号就不买了。
小学数学已经大量使用符号。
用数字，加减乘除，相等，大于小于，乃至○□等写成算式和公式，使得学生习惯、喜欢和善于运用，乃是数学素养的重要组成部分。
一十五．什么是估算？
估算是指在不需要精确计算的情况下，进行的一种简便的、粗略的计算。
估算是一种数感，也是一种能力。
小学数学中的估算有两类。
一类有关度量衡的体验，例如“黑板的面积有多大”，一本数学教科书有多重？
一扇门有多高？
等与学生的日常生活有关的体验。
至于100万粒米的体积有多大这样的问题，不必让小学生无体验。
另一类估算是两数运算的近似算法。
例如，“100元买3种生活用品够吗？
”这样的问题，是一种粗略的心算，在日常生活中很有用。
它的进一步发展是近似计算。
一十六．小学里怎样处理“无限”？
人能接触到的现实是有限的，但是人的思维能力是无限的。
无限存在于人的
想象之中。
能够想象无限是与生俱来的，儿童也是如此。
小学数学里有许多地方设计无限。
首先，自然数是无限的，一个接着一个，没完没了。
无限循环小数和无限不循环小数，直接使用“无限”二字，学生并不难以接受。
至于使用“无限延长也不相交”来定义直线的平行，更是用动态的操作体现无限过程。
因此，小学数学无法回避无限。
用基数和序数的方法研究无限集合，没这在小学数学中已经有所体现。
进一步，我们使用极限方法来处理无限，包括0.999……=1这样的问题。
至于判定两条直线是否平行，直接用“无限延长”是否相交是不行的，于是运用第三条直线形成同位角，用有限的同位角相等作为直线是否平行的判据。
无限是不能用具象的生活现实来表示的。
例如，数轴是无限的，但是我们只画有限的线段，加一个箭头，就能表示无限。
这是人类思维的能动性所支撑的。
一十七．数射线如何定义？
数射线，又称正半轴，可以为小学生学习自然数和分数提供直观的几何模型。
从几何直觉可以看到数射线上的点具有顺序，即对于数射线上任意两点P、Q，不是P位于Q前，就是P=Q或Q位于P前。
这个排序是可传递的：
P位于Q前，Q位于R前，则P位于R前。
起点为原点O.以某单位长在数射线上截取点A，点A标志1。
继续截取单位长度的线段AB、BC、CD……的序列。
得到点A、B、C、D……的序列，命名为1，2，3……。
由此形成数射线上的点列与自然数列之间的一一对应。
这是自然数的一个几何模型。
数的大小可以用点的顺序加以标记。
而且加法和乘法及它们的逆运算也可以用数射线上线段的叠加或缩短加以描述。
小学里从自然数扩充到分数（有理数）之后，也可以标记在数射线上。
同样可以描述分数的大小和运算。
一十八．小学数学中运用数轴（数射线）进行教学的重要性在哪里？
一般认为，数轴包括负数，是有向的直线。
小学不涉及负数，所以用半直线，即数射线的称呼较好。
用几何线段的长度表示数，是数与形结合的重要手段。
日常生活中有许多带刻度的尺，可以看作数射线的原型。
从自然数到正分数、正小数的扩充，相当于陆续在数射线填充新的点，非常直观。
在数射线上进行线段的加减乘除，是半抽象的模型。
因此，应当多加使用。
一十九．数射线要用手电筒作生活原型吗？
半射线是向由原点出发，向一个线段的右面无限延长的几何图形，选取单位之后，正的有理数就都可以在上面标志出来。
但是，我们实际能画出来的数射线，只是有限部分：
一点O，一个指向右方的箭头，以及单位1。
有个教案认为，小学生认为“火柴”象射线是错的，因为它有限。
于是教师拿出手电筒来，一束光线从手电筒射向远方，认为这就是数射线和日常生活相联系。
了解数射线是否要借助手电筒，是一个值得讨论的问题。
线，本身是一个想象中的数学对象：
无宽、无厚。
两点间确定线段，然后向两端无限延长即直线。
人们能够感受的只是有限的直线段，包括手电筒发出的光线。
无限永远存在于想象之中。
反倒是“火柴”很象一根射线，有起点，有方向，符合可以无限延长的想象。
数射线的教学，不是回归到具象的实体，而是要培养想象的空间，以及数学的表示方法（用有限的表示想象无限）。
二十．什么是集合？
什么是集合论？
集合是一个原始概念，只能用同义词加以描述，不能使用“属和种差”的方
式严格定义。
集合是按照某种特征进行分类的结果，不能分类，就不能形成集合。
例如，年轻人就不是一个集合，因为哪些人算“年轻”，无法确定。
也就是说，一个确定的集合，其外延十分清晰。
一个对象要么属于集合，要么不属于集合，必须分明，不可含糊。
集合本来是一个朴素的普通名词。
由于集合有“并、交、差”的运算，才成为数学上的专有名词。
鉴于集合及其运算的普遍适用性，成为整个数学的出发点。
数系是在集合上附加各种结构形成的数学对象。
小学数学虽然没有集合的定义，但是经常在使用。
自然数及其运算，是从集合开始的（见第二章）。
集合论是的国数学家G.康托（Cantor，）于１８７２年研究无限集合， 提出无限大的基数和序数而发展起来的。
康托向无限进军，将无限大分成各种层次， 是一项历史功绩。
小学里不涉及无限大的“基数”和“序数”， 因而不涉及集合论。
在本数中使用的也只是集合语言， 没有到达集合论的高度。
二十一．基数和序数如何在小学数学教学中体现？
案例1：
在教学“2”的认识时，教学2的主题图后，教师让学生动手：
摆2根小棒，拿出2支铅笔，伸出2个手指，拍手2下等。
……
在教学“3”的认识时，教师先出示3的主题图（或出示挂图，或使用投影，有条件的可用电脑软盘）。
引导学生观察图意，并用一问一答的形式引导学生说出：
图中有3位工人阿姨在装配电视机，每人装配1台，共3台。
3位阿姨、3台电视，它们的数量都是3。
案例2：
为了使学生直观感受到2在3的前面，3在2的后面，2添上1是3，3去掉1是2，一位教师依据教材，设计了包含三个层次的教学设计案例：
第一层次：
用拨算珠直观感受3和2的关系。
教师出示计数器，边说边在计数器上拨珠，先拨两个珠子，再拨1个珠子（学生观察教师的拨珠动作），教师提问：
“先拨两个珠子再拨1个珠子，一共拨了几个珠子？
”“3个珠子去掉1个珠子是几个珠子？
”
第二层次：
学生动手操作直接体会3和2的关系。
教师请全班学生动手：
先摆2根小棒，再添1根小棒。
然后观察并回答“一共摆了几根小棒？
”跟着，教师又追问：
“2根小棒添上几根小棒是3根小棒？
”
第三层次：
摆点子图，使学生明确3以内数的排列顺序是1、2、3。
教师出示磁性黑板，先摆出1个点子，提问：
“这是几个点子？
”学生回答后，教师在1个点子图的下面摆出数1；教师再在1个点子的右边分别摆出2个点子和3个点子，提问并在学生回答后，在2个点子图和3个点子图的下面分别摆出数2和数3。
教师告诉学生：
现在这3个数排好了，请一名同学按顺序把这3个数读一读。
然后进一步提出问：
“按照数的顺序，2的后面一个数是几？
2添上几是3？
”“3的前面一个数是几？
3去掉几是2？
”
分析：
自然数的含义有两种，它可以表示“几个”（基数含义）和“第几个”（序数含义）。
这里，案例1主要是教学数的基数含义，但没有给出“基数”这个词，仅仅要求学生知道数能表示“几个”。
同时，蕴含着“一一对应”等思想。
案例2则是进行3以内数的顺序的教学，旨在使学生体会“第几个”（序数含义）。
更进一步地，进行8、9、10的教学将涉及数位等思想。
二十二．用空集构造自然数的冯·诺依曼方法的价值在哪里？
自然数的特征是“一个一个地，不断地“数ν”出来。
在皮亚诺公理中使用“后继”的运算， 即源于此。
冯·诺依曼从空集开始， 一个一个地构造性地把自然数“作”出来（见本书第二章第一节），符合人们的认识过程。
它同时也为“０是自然数”提供了支持。
二十三．自然数的四则运算，和有限集合的运算有什么关联？
自然数的“加法”运算，相当于集合的不相交的并集运算； 减法运算相当于“集合对其真子集的‘差’运算；乘法运算相当于集合的笛卡儿乘积运算。
这是理解自然数运算的关键。
小学数学虽然不出现集合运算的名词， 但实质上就是集合运算。
例如，“一共多少？
”的问句， 其实就是作两个集合的并集。
二十四．皮亚诺的自然数公理的重要性在哪里？
公理化思想是人类文明的组成部分。
欧几里得的《几何原本》是古希腊数
学的集中体现。
它是用公理方法写成的。
中国古代数学有辉煌的成就， 长于计算，但是没有使用“公理化”的体系，缺乏演绎推理的理性精神。
因此， 东方文化中需要补上这一课。
几何的演绎推理在中学几何课程中得到相当的体现。
然而， 数和数系的知识， 同样可以使用公理化的方法进行处理。
这就是第二章第四节所介绍的自然数的皮亚诺公理体系。
我们同样要学习这种思想方法所提倡的理性思维精神， 作为小学数学教师的必要数学修养。
二十五．我们现在有那几种进位制？
教学中如何处理？
中学里的进位制， 主要是１０进制。
这是因为我们有两只手， 总共１０个手指头。
古代巴比伦人最初以360天为一年，将圆周分为360度。
太阳每天运行一度。
圆内接正六边形的每边都等於圆的半径，每边所对的圆心角恰好等於60°，六十进位制由此而来。
如1小时等於60分；1分等於60秒等。
时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：
使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。
以1/60作为单位，就正好具有这个性质。
譬如：
1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……。
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。
例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
12进制来源于一年有12个月。
欧洲在度量衡制度上大量使用12进制。
如12个称为一打。
一英尺等于12英寸，1英磅=12先令等等，我国没有采用这种度量衡制度。
不过我国把一昼夜看作12个时辰。
生肖也是12个。
天干、地支的记年法实际上也是一种六十进位制。
历史上中国的重量进位种曾经长期使用16两为一斤的制度，因而有“半斤八两”的说法。
但是现在已经弃置不用。
电子计算机的设计使用2进制和8进制。
这在小学不宜进行教学。
小学数学课程中的进位制，主要是10进制和60进制（时间的分秒）。
12进制偶尔会碰到（钟面上12个数字）。
二十六．怎样结合现实生活解释进位制？
数的进制有日常生活的原型。
10进制时，用小棒10个一扎，10扎一捆，
10捆一把，就是原型。
259就是位于第2捆、第5扎的第9根小棒。
类似地，也可以有8进制的原型。
例如某产品8只一包，8包一盒，8盒一箱，就能把产品都编成号。
这时，每位数字不能超过8，即不会有259的数码。
1256号，就是第1箱第3盒第5包中的第6号产品。
二十七．什么是量纲？
数学中的数字都是没有量纲的，量纲是物理学中的名词。
将一个物理量,用若干个基本量的乘方之积表示出来的式子，称为该物理量的量纲
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