小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析七二数字谜与数字问题.docx

小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析七二数字谜与数字问题.docx

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小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析七二数字谜与数字问题

小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之二）数字谜与数字问题

（二）数字谜与数字问题

1．数字串问题

　　【找规律填数】

　　例1找规律填数

　　（杭州市上城区小学数学竞赛试题）

　　（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。

　　第

（1）小题各数的排列规律是:

第1、3、5、……（奇数）个数分别

别是4和2。

　　第

（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。

于是，运用分数

得到了　

　　例2右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。

按照这个规律在空格中填上合适的数。

　　（1994年天津市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。

不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。

所以空格中应填33。

　　【数列的有关问题】

数是几分之几？

　　（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）

　　讲析：

经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数个数，分别是1、3、5、7、9……。

所以，分母分别为1、2、3……9的分数共

　　例2有一串数：

1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第1993个数是______

　　（首届《现代小学数学》邀请赛试题）

　　讲析：

把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。

　　而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。

　　例3已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的。

则小数点后面第88位上的数字是______。

　　（1988年上海市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

将原小数的小数部分分成A、B两组：

　　A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。

所以，第88位上是4。

　　例4观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；

几行，自左向右的第几列。

（全国第三届“华杯赛”决赛试题）

　　讲析：

第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。

　　例5如图5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_______。

　　（广州市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

可试探着计算每行中各数之和。

第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。

故第100行各数之和为100×2＋4=204.

　　例6伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：

l、2、3……。

问：

数到1991时，会落在哪个手指上？

　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）

　　讲析：

除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。

∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束。

　　例7如图5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。

在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？

　　（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）

　　讲析：

写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：

（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……。

将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、……。

每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。

从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。

　　例8自然数按图5.7顺次排列。

数字3排在第二行第一列。

问：

1993排在第几行第几列？

　　（全国第四届“华杯赛”复赛试题）

　　讲析：

观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。

　　每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜行中的数由上向下排列。

斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。

　　由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。

所以1993的列数、行数分别是：

　　1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）

2．算式谜

　　【添运算符号】

　　例1能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？

　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=10

　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）

　　讲析：

在只有加减法运算的算式中，如果只改变“＋”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。

　　而1＋2+……＋9=45，是奇数。

所以无论在□中，怎样填“＋”、“-”符号，都不能使结果为偶数。

　　例2在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立。

　　12□34□5□6□7□8=1990

　　（1990年广州市小学数学邀请赛试题）

　　讲析：

首先凑足与1990接近的数。

12×34×5=2040，然后调整为：

12×34×5-6×7-8=1990。

　　例3在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立

　　（中南地区小学数学竞赛试题）

　　讲析：

可先凑足与1993接近的数。

　　1122＋334＋455+66+7+7=1991。

　　然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。

　　【横式填数】

　　例1如果10+9-8×7÷□+6-5×4=3，那么，“□”中所表示的数是______。

　　（上海市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

等式左边能计算的，可先计算出来，得5—56÷□=3，∴□=28。

　　例2在两个□中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。

　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）

　　讲析：

时，等式都能成立。

　　所以，A=1994；B=1993×1994=3974042。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

A+B=3。

　　例4在下面的○、□和△中分别填上不同的自然数，使等式成立。

　　（1987年北大友好数学邀请赛试题）

　　讲析：

最大为：

　　所以，○、□和△应填的数分别是2、3、9。

　　例5在下面的□中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：

　　（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）

　　讲析：

可从整数部分和小数部分分开考虑。

要使减法式的值最大，必须使被减数最大而减数最小，从而可得

　　要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。

从

　　【数字谜】

　　例1图5.8的算式里，每个□代表一个数字。

问：

这6个□中的数字总和是多少？

　　（全国第三届“华杯赛”初赛试题）

　　讲析：

任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为：

（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）之一种，故6个□内的数字总和为9×4＋11=47。

　　例2已知两个四位数的差是8921（图5.9），那么这两个四位数的和最大是______。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。

故被减数为9999。

进而可求出减数为1078，两数和为9999＋1078=11077。

　　例3如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）×爱=______。

　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题）

　　讲析：

可从个位上开始思考。

（学+学+学+学）的个位为2，则“学”只能是3或8。

当“学”=8时，“数”=2。

这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”＋“爱”）不可能个位上是9。

　　所以，“学’不等于8。

　　当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。

所以，（数+学+喜）×爱=（6＋3＋1）×4=40。

　　例4如图5.11，竖式中四个□是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？

　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）

　　讲析：

1992=2×2×2×3×83。

从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为2＋4+8＋3=17

　　例5在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。

那么这个算式的乘积是______。

　　（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

可用字母来代替各数字（如图5.13）。

显然，F=K，E=O。

又，

只有27×4或17×6。

C≠3。

　　于是得B=3，C=7。

　　又因AB×D=10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为53×72=3816

　　例6在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，□代表一位自然数。

要使算式成立，“盼”字代表数字______。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

　　讲析：

经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9。

而当□为3时，式中的积除以3所得的商，一定含有相同的数字。

这与题意矛盾。

所以□为9。

　　经检验，“盼”字代表“7”。

被乘数是86419753。

　　例7把图5.15中的算式补充完整。

　　（辽宁省首届小学数学竞赛试题）

　　讲析：

为方便起见，可将算式中各数分别用字母代替（如图5.16）。

3．附录：

数阵图

　　【方阵】

　　例1将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

　　（长沙地区小学数学竞赛试题）

　　讲析：

中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

　　（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。

显然，中间一数填“5”。

　　再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。

　　例2从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

　　（“新苗杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

据题意，所选的十二个数之和必须既能被3整除，又能被4整除，（三行四列）。

所以，能被12整除。

十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。

每列为（91—7）÷4=21

　　而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。

　　三个奇数和为21的有两种：

21=1＋9+11=3＋5+13。

经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。

　　例3十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。

那么，这个和数的最小值是______。

　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

不难得出十个数为:

2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。

它们的和是65。

在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。

　　设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是3的倍数。

所以，（a＋b）之和至少是7。

　　故，和数的最小值是24。

　　【其他数阵】

　　例1如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

　　已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。

　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

可先看竖格。

因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。

从而容易推出，竖格各数从上而下是：

3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。

　　同理可推导出横格各数，其中“×”=5。

　　例2如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）　

　　讲析：

可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。

（如图5.25）

　　显然a=5，g=9。

　　则有：

b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。

经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。

　　例3如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。

那么，这六个质数的积是______。

　　（全国第一届“华杯赛”决赛试题）

　　讲析：

最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。

所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。

　　同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。

　　20÷2=10，10＝2+3+5。

　　所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。

　　例4在图5.27的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。

现已填好两个数，那么X=_______。

　　（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。

　　则d=15。

　　由15+c+a=17+c+b，得：

a比b多2。

　　所以，b=13+2=15。

进而容易算出，x=19。

　　例5图5.29中8个顶点处标注的数字：

　　a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点

　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

　　讲析：

将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得

　　即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0

4．数的组成

　　【数字组数】

　　例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。

　　（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。

于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：

41和689。

所以，最多能组成六个质数。

　　例2用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。

那么，这五个两位数的和是______。

　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。

所以它们的十位上分别　是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。

但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：

　　（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。

　　351即本题答案。

　　例3一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。

例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉。

现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4。

　　这6个三位数是_______。

　　（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）

　　讲析：

六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。

　　当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。

即：

114，123，132。

当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。

即：

213，222，231。

经检验，这六个数符合要求。

　　例4将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间有四个数字。

那么这样的八位数中的一个是______。

　　（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314。

然后可添上另一个2和3。

　　经调试，得23421314，此数即为所答。

　　【条件数字问题】

　　例1某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：

874，765，123，364，925。

其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______

　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：

百位上五个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。

故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。

经观察比较，可知724符合要求。

　　例2给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______个

　　（首届《现代小学数学）》邀请赛试题）

　　讲析：

可先求出1500个数字可编多少页。

　　从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到第99页，共用去2×90=180（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（页）

　　所以，这本书共有536页。

　　l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。

所以，共用去211个数字3。

　　例3在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。

　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）

　　讲析：

可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得

　　（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999）

　　共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共有2×90=180（个）。

　　例4有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。

这六个和中最小的四个数是83、87、92、94，原因数中最小的是______。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：

设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。

而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。

　　当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。

　　当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。

　　所以，原四数中最小的数是38或39。

abcd=______

　　（广州市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四位数（如图5.29）。

从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。

则

　　例6有两个两位数，它们的个位数字相同，十位数字之和是11。

这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字？

　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

　　讲析：

由题意可知，两个数的十位上为（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而个上则可以是0至9的任意一个数字。

如果分别去求这两个数的积，那是很麻烦的。

　　设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b=11，两数分别为（10a+c），（10b+c）。

字。

能是6、8。

　　例7期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）。

　　第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为921129。

这个数恰好左右对称。

因此这样的日期是“吉祥日”。

问：

从87年9月1日到93年6月30日，共有_______个吉祥日。

（第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有11月份。

而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。

　　所以是共有3个吉祥日：

901109、911119、921129。

5．小数和分数

　　【小数问题】

　　例1某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_______。

　　（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。

所以，原数为25.65÷9=2.85。

　　例2甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是________。

　　（1993年广州市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。

所以，乙数是171.66÷（10+1）=15.6，甲数是15.6。

　　例3用一个小数减去末位数字不为零的整数。

如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是________。

　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

　　讲析：

因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.44÷99=1.56可知，这个整数是156。

　　【分数问题】

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

　　讲析：

　　20×11+2=222，15×11=165。

　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。

c，则三个分数的和为6。

求这三个真分数。

　　（第三届《从小爱数学》邀请赛试题）

　　因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。

　　经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。

故三个真分数分别是

　　例4地同时满足下列条件的分数共有多少个？

（2）分子和分母都是质数；

　　（3）分母是两位数。

　　请列举出所有满足条件的分数。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

　　讲析：

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、

　　即把不等式中三个分数的