小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析七二数字谜与数字问题.docx

1、小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析七二数字谜与数字问题小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析（七之二）数字谜与数字问题（二）数字谜与数字问题1数字串问题【找规律填数】例1 找规律填数（杭州市上城区小学数学竞赛试题）（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、（奇数）个数分别别是4和2。第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数得到了 例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。（1994年天津市小学数学竞赛试题）讲析

2、：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。【数列的有关问题】数是几分之几？（第一届从小爱数学邀请赛试题）讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5的分数个数，分别是1、3、5、7、9。所以，分母分别为1、2、39的分数共 例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，这个数列的第1993个数是_（首届现代小学数学邀请赛试题）讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。而19933=664余1，可知第1993个数是1。例

3、3 已知小数0.123456789101112139899的小数点后面的数字，是由自然数199依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是_。（1988年上海市小学数学竞赛试题）讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第88位上是4。例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。例5 如图5.4，除了每行两端的数之外，

4、其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_。（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。故第100行各数之和为10024=204.例6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：l、2、3。问：数到1991时，会落在哪个手指上？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。（19911）8=248余6，剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束。例7 如图5.6，自然

5、数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯问拐第二十个弯处是哪个数？（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），。将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、。从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。例8 自然数按图5.7顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问：1993排在第几行第几列？（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。每一斜行数的个数分别是1、2

6、、3、4、5、，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜行中的数由上向下排列。 斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。所以1993的列数、行数分别是：199319541=40（列），63-（19931954）=24（行）2算式谜【添运算符号】例1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？123456789=10（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：在只有加减法运算的算式中，如果只改变“”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。而12+9=45，是奇数。所以无论在中，怎样填“”、“-”符号，都不

7、能使结果为偶数。例2 在下列中分别填上适当的运算符号，使等式成立。12345678=1990（1990年广州市小学数学邀请赛试题）讲析：首先凑足与1990接近的数。12345=2040，然后调整为：12345-67-8=1990。例3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立（中南地区小学数学竞赛试题）讲析：可先凑足与1993接近的数。1122334455+66+7+7=1991。然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。【横式填数】例1 如果10+9-87+6-54=3，那么，“”中所表示的数是_。（上海市小

8、学数学竞赛试题）讲析：等式左边能计算的，可先计算出来，得556=3，=28。例2 在两个中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：时，等式都能成立。所以，A=1994；B=19931994=3974042。 （1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：A+B=3。例4 在下面的、和中分别填上不同的自然数，使等式成立。（1987年北大友好数学邀请赛试题）讲析：最大为： 所以，、和应填的数分别是2、3、9。例5 在下面的中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：（第一届从小爱数学邀请赛试题）讲析

9、：可从整数部分和小数部分分开考虑。要使减法式的值最大，必须使被减数最大而减数最小，从而可得要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。从【数字谜】例1 图5.8的算式里，每个代表一个数字。问：这6个中的数字总和是多少？（全国第三届“华杯赛”初赛试题）讲析：任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为：（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）之一种，故6个内的数字总和为9411=47。例2 已知两个四位数的差是8921（图5.9），那么这两个四位数的和最大是_。（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题

10、）讲析：要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。故被减数为9999。进而可求出减数为1078，两数和为99991078=11077。例3 如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）爱=_。（北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题）讲析：可从个位上开始思考。（学+学+学+学）的个位为2，则“学”只能是3或8。当“学”=8时，“数”=2。这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”“爱”）不可能个位上是9。所以，“学不等于8。当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。所以，（数+学+喜

11、）爱=（631）4=40。例4 如图5.11，竖式中四个是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：1992=222383。从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为24+83=17例5 在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。那么这个算式的乘积是_。（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：可用字母来代替各数字（如图5.13）。显然，F=K，E=O。又，只有274或176。C3。于是得B=3，C=7。又因ABD=10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为53

12、72=3816例6 在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，代表一位自然数。要使算式成立，“盼”字代表数字_。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9。而当为3时，式中的积除以3所得的商，一定含有相同的数字。这与题意矛盾。所以为9。经检验，“盼”字代表“7”。被乘数是 86419753。例7 把图5.15中的算式补充完整。（辽宁省首届小学数学竞赛试题）讲析：为方便起见，可将算式中各数分别用字母代替（如图5.16）。3附录：数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两

13、条对角线上的三个数之和都相等。（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。（l+2+3+9）3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉

14、7。每列为（917）4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。三个奇数和为21的有两种：21=19+11=35+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个22的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是_。（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个22的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。设中间两个小正方形分别填上a和b，则

15、（65ab）之和必须是 3的倍数。所以，（ab）之和至少是7。故，和数的最小值是24。【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“”四个数，那么“”代表的数是_。（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。同理可推导出横格各数，其中“”=5。例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经

16、分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图5.25）显然a=5，g=9。则有：bc=10，ef=6，cde=15。经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。例3 如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是_。（全国第一届“华杯赛”决赛试题）讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。所

17、以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。202=10，102+3+5。所以，六个质数积为223355=900。例4 在图5.27的七个中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数，那么X=_。（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。则d=15。由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。例5 图5.29中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数

18、都等于相邻三个顶点（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得 即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=04数的组成【数字组数】例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成_个质数。（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和689。所以，最多能组成六个质数。例2 用0、1、2、9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和

19、是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的和是_。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所以它们的十位上分别是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：（9+8+7+6+4）10+（1+2+3+5）=351。351即本题答案。例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互

20、不被吃掉。现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4。这6个三位数是_。（第五届从小爱数学邀请赛试题）讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。即：114，123，132。当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。即：213，222，231。经检验，这六个数符合要求。例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八

21、个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是_。（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一个2和3。经调试，得23421314，此数即为所答。【条件数字问题】例1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，925。其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_（1993年全国小

22、学数学奥林匹克决赛试题）讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：百位上五个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。经观察比较，可知724符合要求。例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_个（首届现代小学数学）邀请赛试题）讲析：可先求出1500个数字可编多少页。从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到第99页，共用去290=180（个）数字；余下的数字可编（1500-189）3=437（页）所以，这本书共有536页。l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个

23、“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。所以，共用去211个数字3。例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_个。（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得（100，101、109），（110、111、119），（990、991、999）共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共有290=180（个）。例4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。这六个和中最小的四个数是

24、83、87、92、94，原因数中最小的是_。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。所以，原四数中最小的数是38或39。abcd=_（广州市小学数学竞赛试题）讲析：原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四位数（如图5.29）。从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。则例6 有两个两位数，它们的个位数

25、字相同，十位数字之和是11。这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字？（1990年小学生报小学数学竞赛试题）讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个数的积，那是很麻烦的。设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b=11，两数分别为（10a+c)，（10b+c）。字。能是6、8。例7 期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）。第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为921129。这个数恰好左右对称。因此这样的日期

26、是“吉祥日”。问：从87年9月1日到93年6月30日，共有_个吉祥日。（第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有11月份。而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。所以是共有3个吉祥日：901109、911119、921129。5小数和分数【小数问题】例1 某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_。（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。所以，原数为25.659=2.85。例2 甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于

27、甲数，甲数是_。（1993年广州市小学数学竞赛试题）讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。所以，乙数是171.66（10+1）=15.6，甲数是15.6。例3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是_。（1990年小学生报小学数学竞赛试题）讲析：因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.4499=1.56可知，这个整数是156。【分数问题】（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析： 2011+2=222，1511=16

28、5。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。c，则三个分数的和为6。求这三个真分数。（第三届从小爱数学邀请赛试题）因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。故三个真分数分别是例4 地同时满足下列条件的分数共有多少个？（2）分子和分母都是质数；（3）分母是两位数。请列举出所有满足条件的分数。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）讲析：100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、即把不等式中三个分数的