小学数学竞赛名师指导上册.docx

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小学数学竞赛名师指导上册

小学数学竞赛名师指导（上册）

一算得快

数，特别是整数，是人类最早认识的、最为人们所熟知的数．在整数的王国里，到处有前人为我们留下的奇珍异宝要我们去采撷，到处是令人着迷的问题等待我们去探索．这是一个令人神往的、美不胜收的世界，这是一个可供我们自由驰骋的世界．

学习数学，当然离不开计算，同学们一定希望自己在计算时算得既正确又迅速，那么怎样才能做到这一点呢？

首先，要熟练地掌握计算法则和运算顺序；其次，是要根据题目本身的特点，选用合理、灵活的计算方法．

例如，计算下列各题：

（1）28+49+72+51；

（2）763-278-322；

（3）125×56；（4）4500÷25÷4．

上面的四道计算题都非常简单，相信同学们都会计算出正确的结果．但是，你是怎么去计算的呢？

是否可以简化计算呢？

计算时，想必同学们都有这样的体会：

整十、整百、整千、……之间的计算要快得多．其实，从这一条基本经验中同学们就可以提炼出一种极为常用的速算方法——“凑整法”．

观察上面的算式，不难发现第

（1）题中的28与72、49与51的和恰好都可以凑成100，第

（2）题中的278与322的和是600，抓住这一特点，就可以心算出这两题的结果分别是200和163．根据125×8=1000，25×4=100，第（3）题可变为（125×8）×7；第（4）题可变为4500÷（25×4），于是，又可以迅速得到第（3）、（4）两题的结果分别为7000和45．

问题1．1计算下列各题：

（1）729+54+271；

（2）1361+972+639+28；

（3）12345+46801+87362+87655+53199+12638．

解

（1）729+54+271=（729+271）+54

=1000+54=1054；

（2）1361+972+639+28=（1361+639）+（972+28）

=2000+1000=3000；

（3）原式=（12345+87655）+（46801+53199）+（87362+12638）

=100000+100000+100000=300000．

从上述问题1．1的解答可以看出：

在计算几个加数的和时，运用加法的交换律、结合律，把能够“凑整”的两个数先相加，然后再把所得的和相加，这样就可以使计算大为简化．

问题1．2计算下列各题：

（1）66+75+38；

（2）9998+3+99+998+3+9；

（3）19999+1999+199+19+9．

分析观察这组题的特点．与问题1．1相比较，问题1．2中各题并没有直接给出可以“凑整”的两个数，但我们可以把其中的一个加数分解成两个数的和（或者添加一个数），使其中的一个数能与该题的某一加数“凑整”，所得和参加下一步的计算．这样，就可以转化为问题1．1的情形，从而简捷地计算出正确结果．

在

（1）中，看看66，把38分解为34与4的和；在

（2）中，看看9998，998，99，9，把两个3分解为2与1的和；在（3）中，看看19999，1999，199，19，把9分解为5和四个1的和，或者添加五个1，通过这样的处理，就可以把问题1．2转化为问题1．1的形式．

解

（1）66+75+38=（66+34）+（75+4）

=100+79=179；

（2）9998+3+99+998+3+9

=（9998+2）+（1+99）+（998+2）+（1+9）

=10000+100+1000+10=11110；

（3）19999+1999+199+19+9

=（19999+1）+（1999+1）+（19+1）+（19+1）+5

=20000+2000+200+20+5=22225．

第（3）题也可以这样计算：

19999+1999+199+19+9

=（19999+1）+（1999+1）+（199+1）+（19+1）+（9+1）-5

=20000+2000+200+20+10-5=22225．

问题1．3计算下列各题：

（1）76543+498；

（2）9999+999+99+9；

（3）1238+2759-98-997；

（4）27.6+16.5+72.4+18.7+43.5．

同学们利用上面所学的“凑整”方法，可以简捷地计算出问题1．3中各题的结果，不过对于（4），“凑整”无需凑成整十、整百、整千、……，只要凑成整数就可以了．

请同学们自己完成上述各题．

问题1．4计算下列各题：

（1）2059-1666-334；

（2）4812-943+143；

（3）9741-（341+350）；（4）3568-（568-179）．

分析这四道题如果按部就班地算，虽然也能得出正确结果，但算得不快．有什么简便方法吗？

当然有．不过要利用减法的一些性质：

（1）从某数中连续减去几个数，等于从这个数中减去这几个减数的和．即：

a-b-c-d=a-（b+c+d）．

（2）从某数中减去几个数的和，等于从这个数中连续减去这几个数．即：

a-（b+c+d）=a-b-c-d．

（3）一个数减去两个数的差，等于从这个数中减去第二个数，然后加上第三个数．即：

a-（b-c）=a-b+c．

（4）一个数减去第二个数，再加上第三个数，等于从第一个数中减去第二个数与第三个数的差．即：

a-b+c=a-（b-c）．

根据上述减法的性质，我们就可以简捷地计算问题1．4中的各题．

在

（1）中，两个减数1666与334可以“凑整”，可以利用减法性质

（1）计算；在

（2）中，第二个数943与第三个数143的末两位数相同，可以利用减法性质（4）计算；在（3）中，被减数9741与其中一个减数341的末两位数字相同，可以利用减法性质

（2）计算；在（4）中，我们可以利用减法性质（3）计算（想一想为什么？

）．

解

（1）2059-1666-334=2059-（1666+334）

=2059-2000=59；

（2）4812-943+143=4812-（943-143）

=4812-800=4012；

（3）9741-（341+350）=9741-341-350

=9400-350=9050；

（4）3568-（568-179）=3568-568+179

=3000+179=3179．

问题1．5计算下列各题：

（1）4×549×25；

（2）96×125；

（3）25×32×125；（4）125×（23×8）．

分析在

（1）中，4和25的积是100，我们可以利用乘法的交换律、结合律先把4和25相乘，“凑整”（整十、整百、整千、……），然后再把这积与乘数549相乘，就比较容易了．在

（2）中，对于乘数125，同学们一定知道125与8的积是1000，那么我们就可以考虑把96分解成12与8的乘积，利用乘法的交换律、结合律先把8与125相乘得积1000，然后再把这积与12相乘就可得出结果．小朋友想一想（3）、（4）两道题怎样计算简便些？

解

（1）4×549×25=（4×25）×549

=100×549=54900；

（2）96×125=12×（8×125）

=12×1000=12000；

（3）25×32×125=（25×4）×（8×125）

=100×1000=100000；

第（4）题请同学们自己完成．

问题1．6计算下列各题：

（1）4500÷25÷4；

（2）720÷（9×5）；

（3）4323×364÷182．

分析利用除法的运算性质可以使计算大为简化．

除法有以下运算性质：

（1）a÷b÷c=（a÷b）÷c=（a÷c）÷b=a÷（b×c）；

（2）a×b÷c=a×（b÷c）．

解

（1）4500÷25÷4=4500÷（25×4）

=4500÷100=45；

（2）720÷（9×5）=（720÷9）÷5=80÷5=16；

（3）4323×364÷182=4323×（364÷182）

=4323×2=8646．

问题1．7用简便方法计算：

（1）9999×7805；

（2）148×37+148×62+148．

分析直接计算较麻烦．我们可以综合利用前面所学过的知识，使计算简便．

在

（1）中，可将9999改写作10000—1，然后再计算；在

（2）中，可利用加法对乘法的分配律，使计算简化．

解

（1）9999×7805=（10000-1）×7805

=78050000-7805=78042195；

（2）148×37+148×62+148=（37+62+1）×148

=100×148=14800．

练习1

用简便方法计算：

1．37+46+63+54；

2．8376+2538+7462+1624；

3．9+99+999+9999；

4．2816-1347-653；

5．654-（54-37）；

6．4356-（356+154）；

7．125×56；

8．25×125×64；

9．9600÷4÷25；

10．401×287；

11．3448×182÷91；

12．736×193-736×46-47×736．

二找规律填数

要学好数学，必须善于观察，勤于思考，不会观察的人就不会思考．对于一些“数”或“形”，怎样从观察入手进行思考，迅速、准确地找出它们的特点或规律呢？

问题2．1观察分析下面各列数的变化规律，并填上合适的数．

（1）7，11，15，19，（），…；

（2）1，4，3，6，5，（），（），…；

（3）1，4，9，16，（），…；

（4）1，2，4，8，16，（），…．

分析观察分析一列数的变化规律，找出带有规律的东西．

在

（1）中，11-7=15-11=19-15=…=4．即在这一列数中，从第二个数起，每个数与它前一个数的差都等于4．根据这一规律，可以确定括号里应填23．

在

（2）中，第一、三、五、……位置上的数满足3-1=5-3=…=2，第二、四、六、……位置上的数满足6-4=8-6=…=2．根据这一规律，可以确定括号里的数应该填7、10．

在（3）中，第一个数1=1×1=12，第二个数4=2×2=22，第三个数9=3×3=32，第四个数16=4×4=42，…．根据这一规律，可以确定括号里应该填52=25．

在（4）中，2=1×2，4=2×2，8=4×2，16=8×2，…，即从第二个数起，每一个数都等于它前一个数的2倍．根据这一规律，括号里应该填32．解略．

问题2．2找规律填空．

（1）11，3，8，3，5，3，（），（）；

（2）15，6，13，7，11，8，（），（）；

（3）2，5，14，41，（）；

（4）1，1，2，3，5，8，13，21，（）．

分析在

（1）中，第一个数减去第三个数的差是3，第三个数减去第五个数的差也是3，而第二、四、六个数都是3．根据这一规律，可以确定括号里应该填2、3．

在

（2）中，第一个数减去2的差是第三个数，第三个数减去2的差是第五个数；第二个数加上1的和是第四个数，第四个数加上1的和是第六个数．根据这一规律，可以确定括号里应该填9、9．

在（3）中，2×3-1=5，5×3-1=14，14×3-1=41．也就是说，前一个数的3倍与1的差等于相邻的后面的数．根据这一规律．可以确定括号里应该填122（即122=41×3-1）．

在（4）中，1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，…，即前面两个数之和等于相邻后面的数．根据这一规律，可以确定括号里应该填34（即34=13+21）．

解略．

问题2．3先找出规律，然后在括号里填上适当的数．

（1）3，8，18，33，53，78，（）；

（2）0，1，3，8，21，（）．

分析在

（1）中，8-3=5=1×5，18-8=10=2×5，33-18=15=3×5，53-33=20=4×5，78-53=25=5×5，即从第二个数起，每一个数与它前一个数的差依次是5的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、……．根据这一规律，下一个差应是5的6倍，可以确定括号里应该镇108（即78+6×5=108）．

在

（2）中，1×3=0+3，3×3=1+8，8×3=3+21，即从第二个数起，每一个数的3倍正好是它前后相邻两个数的和．因此，21×3=8+（55），即括号里应该填55．

在（3）中，把方框中的四个数分为上下两部分，9÷3=3=1+2，15÷3=5=3+2，即下行两数相除所得的商，正好是上行两数之和；或者说，上行两数之和与下行左边的数的积正好是下行右边的数．根据这一规律，第三个方框里的括号内应该填10（即（2+3）×2=10）．

解略．

问题2．4找规律填数．

（1）0×9+（）=1；

（2）1×9+（）=11；

（3）12×9+（）=111；

（4）123×9+（）=（）；

（5）1234×9+（）=（）；

（6）12345×9+（）=（）；

（7）123456×9+（）=（）；

（8）1234567×9+（）=（）；

（9）12345678×9+（）=（）．

分析我们可以从

（1）、

（2）、（3）入手，根据“一个加数等于和减另一个加数”可得

（1）、

（2）、（3）的正确填法如下：

（1）0×9+

（1）=1；

（2）1×9+

（2）=11；

（3）12×9+（3）=111．

请同学们分析上述三个等式的特点和填数的规律，然后自己完成其余等式的填空．

解略．

问题2．5先观察前面三个算式，然后找出规律，并根据找出的规律，直接在（）内填上适当的数．

（1）123456789×9=1111111101；

（2）123456789×18=2222222202；

（3）123456789×27=3333333303；

（4）123456789×72=（）；

（5）123456789×63=（）；

（6）6666666606÷54=（）；

（7）9999999909÷81=（）；

（8）5555555505÷123456789=（）；

（9）4444444404÷123456789=（）．

请同学们认真分析

（1）、

（2）、（3）这三个等式的特点，找出它们的规律，并完成其余各等式的填空．

练习2

1．仔细观察每一排数的排列有什么规律，然后按规律在（）内填上适当的数．

（1）2，4，8，16，（），64．

（2）1，4，9，16，（），36，49．64．

（3）1，4，7，10，13，（），19，21．

（4）1，4，16，64，（），1024，4096．

（5）2，3，5，9，17，（），65，129．

（6）15，4，13，4，11，4，（），（）．

（7）8，15，10，13，12，11，（），（）．

2．空格里应填什么数？

3．找规律填数．

4．在○中填数：

已知9999÷9=1111，想一想：

在○中填上什么数字，才能使下面的等式成立？

（1）○999○÷9=2222；

（2）○999○÷9=3333；

（3）○999○÷9=4444；

（4）○999○÷9=7777；

（5）○999○÷9=9999．

三巧添运算符号

根据题目给定的一些数字和一定的要求，添上各种运算符号或括号，使等式成立，这种练习不仅能加深对四则运算意义的理解，提高计算能力，而且能够培养同学们思维的灵活性和敏捷性．

问题3．1在下面五个5之间，添上适当的运算符号+、-、×、÷和（），使下面的等式成立．

55555=10①

分析上述问题我们可以用硬凑的方法来做，不过这样做一般来说比较困难，而且难以找到解题的规律．下面我们一起来想办法解决这一问题．

我们从①式的左边倒推分析，最后一个5的前面如果要添运算符号的话，只可能是+、-、×、÷四种之一．

如果添的是“+”号，那么①式变成下面的②式：

5555+5=10②

这样就要求②式中加号前面的四个5添上适当的运算符号或括号后得到5．即

5555=5③

再重复上面的想法，如果③式左边最后一个5的前面又添上“+”号，那么③式就变成下面的④式：

555+5=5④

要④式成立，必须要加号前面的三个5添上适当运算符号或括号后变成0．即

555=0⑤

因为任何一个数与0的乘积结果都是0，因此不难得到⑤有如下三种填法：

（5-5）×5=0；（5-5）÷5=0；5×（5-5）=0．

这样我们已找到了三种添法．

如果③式左边最后一个5前南添的是“-”号，即

555-5=5

这就要求上式的前面三个5之间添上适当运算符号或括号，使它们的运算结果是10，即

555=10

经过试算可以发现，无论添上什么运算符号或括号，这个等式都不可能成立．也就是说，这个等式没有解．

同样地，如果③式左边最后一个5的前面添的是“×”或“÷”，也都没有解．

以上我们分析的是①式左边最后一个5的前面添的是“+”的一些情况，有下面三种添法：

（5-5）×5+5+5=10；

（5-5）÷5+5+5=10；

5×（5-5）+5-5=10．

下面我们来分析①式左边最后一个5的前面添的是“-”的情况，即

5555-5=10．

因为15-5=10，这就要求上式“-”号前面的四个5组成15，即

5555=15．⑥

如果这个式子的左边最后一个5的前面添上“+”号，即

555+5=15．

因为10+5=15，这就要求上式“+”号前面三个5组成10，根据前面的分析不可能实现．

同样可以分析⑥式左边最后一个5的前面如果添上“×”或“÷”号，无法使该等式成立，因此⑥式左边最后一个5的前面只能添上“-”号，即

555-5=15．

因为20-5=15，这就要求上面式子中左边“-”号前三个5组成20，即

555=20．

不难看出：

5×5-5=20．

这样我们又找到了一种添法．

如果①式左边最后一个5前面添上“×”号或“÷”号，同学们采用前面的倒推分析法，完全可以找到正确的添法．

解（5-5）×5+5+5=10；

（5-5）÷5+5+5=10；5×（5-5）+5+5=10；

5×5-5-5-5=10；（5÷5+5÷5）×5=10；

（5×5+5×5）÷5=10；55÷5-5÷5=10．

从上面的最后一个答案中我们可以看到，添运算符号不仅可以在两个数字之间添，也可以在相邻几个数字之间添，如最后一个等式．

我们在问题3．1中采用的分析方法，是从算式的最后一个数字开始逐步向前推想的，这种方法叫做倒推法．当题目给定的数字不多时，用这种方法是很容易奏效的．不过使用倒推法时，一定要考虑全面、周到．

同学们想一想，本题还有没有其它的解法？

问题3．2在下面的式子里，加上括号，使等式成立．

（1）7×9+12÷3-2=47；

（2）7×9+12÷3-2=75；

（3）7×9+12÷3-2=23；

（4）7×9+12÷3-2=35．

分析从问题3．1的解答我们看到倒推分析法是一种很重要的思维方法，这种方法同样适用于本题．

例如，在

（1）中，如果等号能够成立，因为49-2=47，所以只须

7×9+12÷3=49．

由于49=7×7，因此只须9+12÷3=7，而21÷7=3，所以只须把9+12用括号括起来就行了．即

（1）式的正确答案是：

7×[（9+12）÷3]-2=47．

在

（2）中，如果等式成立，因为77-2=75，所以只须7×9+12÷3=77．又因为7×11=77，所以只须9+12÷3=11．经试算，不论怎样加括号都不能成立，由此可见此路不通，得另想办法．

在

（2）中，如果等式成立，因为7×9=63，而63+12=75，因此只须12÷3-2=12，又因为12÷1=12，所以只须将3-2用括号括起来就行了．即

（2）式的正确答案是：

7×9+12÷（3-2）=75．

同学们根据倒推分析法不难得到（3）、（4）两式的正确答案．

解

（1）7×[（9+12）÷3]-2=47；

（2）7×9+12÷（3-2）=75；

（3）（7×9+12）÷3-2=23；

（4）7×[（9+12）÷3-2]=35．

问题3．3在下面等式的合适的地方，添上适当的运算符号+、-、×、÷和（），使得等式成立．

123456789=1①

分析要①式成立，可以先考虑在9的前面添“-”或“÷”号．

如果添减号，则①式可变为：

12345678-9=1．

因为10-9=1，所以只须

12345678=10．

容易得到：

1+2+3+4+5-6-7+8=10．

于是我们找到了一个答案．

如果添“÷”号，则①式为

12345678÷9=1．

因为9÷9=1，这样只须

12345678=9．

也容易得到：

1×2+3+4+5-6-7+8=9．

这样我们又找到了一个答案．

另外，我们还可以先试着找出一个比较接近于1的数，然后再去凑结果，如：

23-4×5=3．现在只要6，7，8，9凑成2即可，而9-8+7-6=2，这样就有1×23-4×5+6-7+8-9=1．又找到了一个答案．

同学们动一动脑筋，还可以得到一些答案．

解符合题目要求的一些答案有：

1+2+3+4+5-6-7+8-9=1；

（1×2+3+4+5-6-7+8）÷9=1；

1×23-4×5+6-7+8-9=1；

1+23-（4+5+6+7）+8-9=1；

（1+2）÷3×45÷（6+7-8）×9=1；

（1×2+3+4-5+6+7）÷（8+9）=1．

在下面15个8之间添上+、-、×、÷，

使下面的等式成立．

888888888888888=1988．

分析本题由于所给的数字较多，采用倒推分析法会相当麻烦，一时难以找到正确的答案，为了使问题便到尽快的解决，我们可以先找出一个比较接近1988的数，如：

8888÷8+888=1999．

这样我们用八个8凑成了1999，而1999-1988=11，那么问题就转化为能否用7个8凑出11来，而88÷8=11，这样问题又转化为能否用4个8凑出0来．而8÷8-8÷8=0或8+8-8-8=0，8×8-8×8=0，于是问题很快得到解决．正确答案是：

8888÷8+888-88÷8+8÷8-8÷8=1988

或8888÷8+888-88÷8+8+8-8-8=1988

或8888÷8+888-88÷8+8×8-8×8=1988．

同学们想一想还有其它的填法吗？

练习3

1．在5个3之间，填上适当的运算符号，使等式成立．

33333=0；33333=1；

33333=2；33333=3；

33333=4；33333=5；

33333=6；33333=7；

33333=8；33333=9；

33333=10．

2．在等号左边的数字之间填上适当的运算符号，使计算结果都等于51．

1234567=51；

2345671=51；

3456712=51；

4567123=51；

5671234=51；

6712345=51；

7123456=51．

3．在下面的式子里加上括号，使它们成为正确的算式．

5+7×8+12÷4-2=20；

5+7×8+12÷4-2=25；

5+7×8+12÷4-2=75；

5+7×8+12÷4-2=102；

5+7×8+12÷4-2=120．

4．在15个8之间合适的地方添上+、-、×、÷或（），使下面的算式成立．

888888888888888=1991．

5．在10个8之间合适的地方添上+、-、×、÷或（），使下面的算式成立．

8888888888=1992．

四算式谜

有一本旧算术书被虫子蛀得到处是窟窿，许多数字弄不清楚了．我们可以开动脑筋，通过分析把那些被虫子吃掉的数字重新填写完整，这类题目就是算式谜问题．

问题4.1在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．

分析这是一道加法算式，除几个已知数字之外，还可知道两个加数都是三位数，相加所得的和是四位数．先填哪个空格