A.
1
B.
-1C.i
D
.-i
3.6名冋学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名冋学只去
1个场馆，
甲场馆安排1名，乙场馆安排2
名,
丙场馆安排
3名，则不冋的安排方法共有
A.
120种
B.
90种C
.60种
D.
30种
4•日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间•把地
球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为
A.20°B.40°C•50°D.90°
5•某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%勺学生喜欢足球或游泳，60%勺学生喜欢足球，82%勺学
生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A.62%B.56%C•46%D.42%
6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数•基本再生数指一个感染者传染的平均人
数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间•在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
I（t）ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：
天）的变化规律，指数增长率r与R0,T近似满足
R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例
数增加1倍需要的时间约为（In2疋0.69）
A.1.2天
B.1.8天C.2.5天D.3.5天
7.已知P是边长为
2的正六边形ABCDE内的一点，贝UaPAb的取值范围是
A.（2,6）
B.（6,2）C.（2,4）D.（4,6）
8•若定义在R的奇函数f（x）在（，0）单调递减，且f
（2）=0，则满足xf（x1）0的x的取值范围是
A[1,叫[3,）B•[3,1町[0,1]C•[1,0]小1,）D•[1,0]小1,3]
二、选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9•已知曲线C:
mx2ny21.
A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.
若m=n>0,则C是圆，其半径为.n
D.若叶0,n>0,则C是两条直线
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,川，n,且
nn
P（Xi）Pi0（i1,2,川,n）,r1，定义X的信息熵H（X）plog2p.i1i1
A.若n=1,则H：
X）=O
B.若n=2，则H：
X）随着p!
的增大而增大
1
C若pi一（i1,2，川,n），则HX）随着n的增大而增大
P2m1j（j1,2，卅,m），则H（X）
D.若n=2m随机变量Y所有可能的取值为1,2，川,m，且P（Yj）Pj
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.斜率为J3的直线过抛物线C:
y2=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则|AB=
14.将数列｛2n-1｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛an｝，则｛an｝的前n项和为.
15•某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.0为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的
圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFC为矩形，BCLDG垂足为C,tan/ODC3,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,
5
圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2.
16•已知直四棱柱ABCDABCD的棱长均为2,ZBA!
=60°.以D1为球心，爲为半径的球面与侧面
BCCB的交线长为.
四、解答题：
本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在①ac3，②csinA3，③c3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：
是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinAJ3sinB,C-，?
6
注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）
已知公比大于1的等比数列｛%｝满足a28420,a38.
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）记bm为｛an｝在区间（0,m]（mN*）中的项的个数，求数列｛bm｝的前100项和Soo.
19.（12分）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气
中的PM2.5和SO?
浓度（单位：
⑷/m3），得下表：
SO2
PM2.5、
[0,50]
（50,150]
（150,475]
[0,35]
32
18
4
（35,75]
6
8
12
（75,115]
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率;
（2）根据所给数据，完成下面的22列联表:
、SQ
PM2.5、、
[0,150]
（150,475]
[0,75]
（75,115]
（3）根据
（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?
浓度有
关？
附:
K2
n（adbc）2
（ab）（cd）（ac）（bd）
3.8416.63510.828
20.（12分）
如图，四棱锥P-ABC的底面为正方形，PDL底面ABCD设平面PA与平面PBC勺交线为l.
（1）证明：
I丄平面PDC
（2）已知PD=AD=1,Q为I上的点，求PBW平面QC所成角的正弦值的最大值.
（12分）
已知函数f（x）aex1InxIna.
（1）当ae时，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
（2）若f（x）>1,求a的取值范围.
22.
（12分）
爲1（ab0）的离心率为2,且过点A（2,1）.b2
2已知椭圆C:
笃
a
（1）求C的方程：
（2）点MN在C上，且AMLANADLMND为垂足•证明：
存在定点Q,使得|DQ为定值.
参考答案
、选择题
1.C2.D
3.C4.B
5.C6.B
7.A8.D
二、选择题
9.ACD
10.BC
11.ABD12.
AC
三、填空题
“16
13.
14.3n22n
5
15.4
16.
2
3
2
2
四、解答题
17•解：
方案一：
选条件①.
222
由C-和余弦定理得a一bc3.
62ab2
由sinA丿3sinB及正弦定理得a,3b•
由①ac3，解得a.3,bc1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c1.
方案二：
选条件②.
由sinA■.3sinB及正弦定理得a.3b•
由②csinA3，所以cb23,a6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c23•
方案三：
选条件③.
由sinA3sinB及正弦定理得a3b.
由③c.3b，与bc矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
18解:
（1）设｛a.｝的公比为q•由题设得a1q叩20,a1q8.
1
解得q-（舍去），q2.由题设得耳2.
所以｛an｝的通项公式为an2n.
（2）由题设及
（1）知d0，且当2nm2n1时，bmn.
所以Soob
（b2
b3）（b4b5
b6
b7）川（b32b33
||b63）（b64
b65川Boo）
2
3
4
5
0122
2
32
42
5
26（10063）
480.
19.解:
（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为
32186864,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?
浓度不超过150的概率的估
64
计值为而°64.
（2）根据抽查数据，可得22列联表:
SO2
PM2.5、、
[0,150]
（150,475]
[0,75]
64
16
（75,115]
10
10
又底面ABCD为正方形，所以ADDC，因此AD底面PDC.
因为AD//BC,AD平面PBC，所以ADII平面PBC.
由已知得I//AD.因此I平面PDC.
（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则D（0,0,0）,C（0,1,0）,B（1,1,0）,P（0,0,1）,
由
（1）可设Q（a,0,1），则DQ（a,0,1）
（x,y,z）是平面QCD的法向量，则
国0,即
DC0,
ax
z0,
0.
可取
n（1,0,a）.
所以
cosn,PB
1a
|n||PB|；3.厂孑
设PB与平面QCD所成角为，则sin
_3|a1|
1a2
3
3
1三
因为罟&值为空.
3
解：
2a
2
a
f，当且仅当a
1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大
f（x）的定义域为
（0,
）,f（x）aex1
（1）
ae时,
f（x）exlnx1,
f
（1）e1,
曲线
f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为y（e1）（e1）（x1），即y（e1）x2.
2
直线
（e1）x2在x轴，y轴上的截距分别为,2.
e1
2
因此所求三角形的面积为—
e1
（2）当0a1时，f
（1）alna1.
1
当a1时，f（x）ex1Inx,f（x）ex1-.
x
当x（0,1）时，f（x）0;当x（1,）时，f（x）0.
所以当x1时，f（x）取得最小值，最小值为f
（1）1，从而f（x）1.
当a1时，f（x）aex1InxInaex1Inx1.
综上，a的取值范围是［1,）.
22.解:
22
（〔）由题设得—7-21，—_』-，解得a6，b3.
aba2
22
所以C的方程为—1.
63
（2）设M（人，yj,N（X2,y2）.
MN的方程为ykxm,
2
代入—
6
2y_
3
22
1得（12k）x
4kmx
2m60.
十曰
4km
2m26
于疋X1
X2
2,X1X?
2
.①
12k
12k
由AM
AN知AMAN0,
故（x
2）（X22）（%
若直线MN与x轴不垂直，设直线
1）（y21）0,
（m1）2
可得（k2
1）x^2（kmk
2）（X1X2）
竺（m1）2
2k2
故2k3m
是MN的方程为yk（x-）i（k
33
1）.
所以直线MN过点P（2】）.
3’3
22
（舍去），人
又xL1，可得3x18x140.解得x
63
此时直线MN过点P（21）.
3’3
令Q为AP的中点，即Q（」）.
33
2,2
3
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|—|AP|若D与P重合，则|DQ|-|AP|.
41
综上，存在点Q（_,），使得|DQ|为定值.
33
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