A.
1
B.
-1C.i
D
.-i
3.6名冋学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名冋学只去
1个场馆,
甲场馆安排1名,乙场馆安排2
名,
丙场馆安排
3名,则不冋的安排方法共有
A.
120种
B.
90种C
.60种
D.
30种
4•日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间•把地
球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为
A.20°B.40°C•50°D.90°
5•某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%勺学生喜欢足球或游泳,60%勺学生喜欢足球,82%勺学
生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A.62%B.56%C•46%D.42%
6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数•基本再生数指一个感染者传染的平均人
数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间•在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:
I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:
天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足
R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例
数增加1倍需要的时间约为(In2疋0.69)
A.1.2天
B.1.8天C.2.5天D.3.5天
7.已知P是边长为
2的正六边形ABCDE内的一点,贝UaPAb的取值范围是
A.(2,6)
B.(6,2)C.(2,4)D.(4,6)
8•若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减,且f
(2)=0,则满足xf(x1)0的x的取值范围是
A[1,叫[3,)B•[3,1町[0,1]C•[1,0]小1,)D•[1,0]小1,3]
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9•已知曲线C:
mx2ny21.
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.
若m=n>0,则C是圆,其半径为.n
D.若叶0,n>0,则C是两条直线
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,川,n,且
nn
P(Xi)Pi0(i1,2,川,n),r1,定义X的信息熵H(X)plog2p.i1i1
A.若n=1,则H:
X)=O
B.若n=2,则H:
X)随着p!
的增大而增大
1
C若pi一(i1,2,川,n),则HX)随着n的增大而增大
P2m1j(j1,2,卅,m),则H(X)
D.若n=2m随机变量Y所有可能的取值为1,2,川,m,且P(Yj)Pj
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.斜率为J3的直线过抛物线C:
y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB=
14.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.
15•某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.0为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的
圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFC为矩形,BCLDG垂足为C,tan/ODC3,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,
5
圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.
16•已知直四棱柱ABCDABCD的棱长均为2,ZBA!
=60°.以D1为球心,爲为半径的球面与侧面
BCCB的交线长为.
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①ac3,②csinA3,③c3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三
角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:
是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAJ3sinB,C-,?
6
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
已知公比大于1的等比数列{%}满足a28420,a38.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](mN*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和Soo.
19.(12分)
为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气
中的PM2.5和SO?
浓度(单位:
⑷/m3),得下表:
SO2
PM2.5、
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的22列联表:
、SQ
PM2.5、、
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
(3)根据
(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?
浓度有
关?
附:
K2
n(adbc)2
(ab)(cd)(ac)(bd)
3.8416.63510.828
20.(12分)
如图,四棱锥P-ABC的底面为正方形,PDL底面ABCD设平面PA与平面PBC勺交线为l.
(1)证明:
I丄平面PDC
(2)已知PD=AD=1,Q为I上的点,求PBW平面QC所成角的正弦值的最大值.
(12分)
已知函数f(x)aex1InxIna.
(1)当ae时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)>1,求a的取值范围.
22.
(12分)
爲1(ab0)的离心率为2,且过点A(2,1).b2
2已知椭圆C:
笃
a
(1)求C的方程:
(2)点MN在C上,且AMLANADLMND为垂足•证明:
存在定点Q,使得|DQ为定值.
参考答案
、选择题
1.C2.D
3.C4.B
5.C6.B
7.A8.D
二、选择题
9.ACD
10.BC
11.ABD12.
AC
三、填空题
“16
13.
14.3n22n
5
15.4
16.
2
3
2
2
四、解答题
17•解:
方案一:
选条件①.
222
由C-和余弦定理得a一bc3.
62ab2
由sinA丿3sinB及正弦定理得a,3b•
由①ac3,解得a.3,bc1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c1.
方案二:
选条件②.
由sinA■.3sinB及正弦定理得a.3b•
由②csinA3,所以cb23,a6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c23•
方案三:
选条件③.
由sinA3sinB及正弦定理得a3b.
由③c.3b,与bc矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
18解:
(1)设{a.}的公比为q•由题设得a1q叩20,a1q8.
1
解得q-(舍去),q2.由题设得耳2.
所以{an}的通项公式为an2n.
(2)由题设及
(1)知d0,且当2nm2n1时,bmn.
所以Soob
(b2
b3)(b4b5
b6
b7)川(b32b33
||b63)(b64
b65川Boo)
2
3
4
5
0122
2
32
42
5
26(10063)
480.
19.解:
(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为
32186864,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?
浓度不超过150的概率的估
64
计值为而°64.
(2)根据抽查数据,可得22列联表:
SO2
PM2.5、、
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10
又底面ABCD为正方形,所以ADDC,因此AD底面PDC.
因为AD//BC,AD平面PBC,所以ADII平面PBC.
由已知得I//AD.因此I平面PDC.
(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),
由
(1)可设Q(a,0,1),则DQ(a,0,1)
(x,y,z)是平面QCD的法向量,则
国0,即
DC0,
ax
z0,
0.
可取
n(1,0,a).
所以
cosn,PB
1a
|n||PB|;3.厂孑
设PB与平面QCD所成角为,则sin
_3|a1|
1a2
3
3
1三
因为罟&值为空.
3
解:
2a
2
a
f,当且仅当a
1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大
f(x)的定义域为
(0,
),f(x)aex1
(1)
ae时,
f(x)exlnx1,
f
(1)e1,
曲线
f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y(e1)(e1)(x1),即y(e1)x2.
2
直线
(e1)x2在x轴,y轴上的截距分别为,2.
e1
2
因此所求三角形的面积为—
e1
(2)当0a1时,f
(1)alna1.
1
当a1时,f(x)ex1Inx,f(x)ex1-.
x
当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.
所以当x1时,f(x)取得最小值,最小值为f
(1)1,从而f(x)1.
当a1时,f(x)aex1InxInaex1Inx1.
综上,a的取值范围是[1,).
22.解:
22
(〔)由题设得—7-21,—_』-,解得a6,b3.
aba2
22
所以C的方程为—1.
63
(2)设M(人,yj,N(X2,y2).
MN的方程为ykxm,
2
代入—
6
2y_
3
22
1得(12k)x
4kmx
2m60.
十曰
4km
2m26
于疋X1
X2
2,X1X?
2
.①
12k
12k
由AM
AN知AMAN0,
故(x
2)(X22)(%
若直线MN与x轴不垂直,设直线
1)(y21)0,
(m1)2
可得(k2
1)x^2(kmk
2)(X1X2)
竺(m1)2
2k2
故2k3m
是MN的方程为yk(x-)i(k
33
1).
所以直线MN过点P(2】).
3’3
22
(舍去),人
又xL1,可得3x18x140.解得x
63
此时直线MN过点P(21).
3’3
令Q为AP的中点,即Q(」).
33
2,2
3
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|—|AP|若D与P重合,则|DQ|-|AP|.
41
综上,存在点Q(_,),使得|DQ|为定值.
33