山东省新高考真题演练数学试题及答案.docx

1、山东省新高考真题演练数学试题及答案山东省2021年新高考真题演练数学试题及答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。1 设集合 A=x|1 xw 3, B=x|2x4，则 AU B=A.2. 21x|2 x 3i2iB.x|2 w x 3 C x|1w x4D.x|1 xn0,则C是椭圆，其焦点在 y轴上B. 若m=n0,则C是圆，其半径为.nD.若叶0, n0,则C是两条直线12 .信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,川，n ,且n nP(X i) Pi

2、 0(i 1,2,川,n), r 1，定义 X 的信息熵 H(X) p log2 p . i 1 i 1A.若 n=1,则 H：X)=OB.若n=2，则H：X)随着p!的增大而增大1C若pi 一 (i 1,2，川,n)，则HX)随着n的增大而增大P2m 1 j(j 1,2，卅,m)，则 H(X)D.若n=2m随机变量Y所有可能的取值为1,2，川,m，且P(Y j) Pj三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .斜率为J3的直线过抛物线 C: y2=4x的焦点，且与 C交于A, B两点，则|AB = 14.将数列2 n - 1与3 n - 2的公共项从小到大排列得到数列 an，则

3、an的前n项和为 .15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. 0为圆孔及轮廓圆弧 AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFC为矩形，BCL DG 垂足为 C, tan / ODC3 , BH/ DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A到直线 DE和 EF的距离均为 7 cm ,5圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.16已知直四棱柱 ABCD ABCD的棱长均为 2,Z BA!=60.以D1为球心， 爲为半径的球面与侧面BCCB的交线长为 .四、解答题：本题共 6小题，共70分。解答应写出文字说明、

4、证明过程或演算步骤。17.(10 分)在ac 3，csinA 3，c 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在 ABC，它的内角A, B, C的对边分别为a,b, c，且 sin A J3sin B , C -， ?6 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12 分)已知公比大于1的等比数列%满足a2 84 20,a3 8 .(1)求an的通项公式；(2) 记bm为 an在区间(0, m( m N*)中的项的个数，求数列 bm的前100项和Soo.19.(12 分)为加强环境保护，治理空气污染

5、，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100天空气中的PM2.5和SO?浓度(单位： /m3)，得下表：SO2PM2.5 、0,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中 PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150 ”的概率;(2)根据所给数据，完成下面的 2 2列联表:、SQPM2.5 、0,150(150,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5浓度与SO?浓度有关？附: K2n (ad bc)2 (a b)(c d)(

6、a c)(b d)3.841 6.635 10.82820.( 12分)如图，四棱锥P-ABC的底面为正方形，PDL底面ABCD设平面PA与平面PBC勺交线为l .(1)证明：I丄平面PDC(2)已知PD=AD=1, Q为I上的点，求PBW平面QC所成角的正弦值的最大值.(12分)已知函数 f (x) aex 1 In x In a .(1 )当a e时，求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2 )若f (x) 1,求a的取值范围.22.(12分)爲 1(a b 0)的离心率为 2 ,且过点A (2 , 1). b 22 已知椭圆C:笃a(1)求C的

7、方程：(2) 点M N在 C上，且AML AN ADL MN D为垂足证明：存在定点 Q,使得| DQ为定值.参考答案、选择题1. C 2. D3. C 4. B5 . C 6. B7. A 8. D二、选择题9. ACD10. BC11. ABD 12.AC三、填空题“ 1613.14. 3n2 2n515. 416.2322四、解答题17解：方案一：选条件.2 2 2由C -和余弦定理得a一b c 3 .6 2ab 2由sin A 丿3sin B及正弦定理得 a ,3b 由ac 3，解得a .3,b c 1 .因此，选条件时问题中的三角形存在，此时 c 1 .方案二：选条件.由sin A

8、. 3sin B及正弦定理得 a . 3b 由 csin A 3，所以 c b 2 3,a 6 .因此，选条件时问题中的三角形存在，此时 c 2 3 方案三：选条件.由sin A 3sin B及正弦定理得 a 3b .由c . 3b，与b c矛盾.因此，选条件时问题中的三角形不存在.18解:(1) 设a.的公比为q 由题设得a1q 叩 20, a1q 8 .1解得q -(舍去)，q 2 .由题设得耳2.所以an的通项公式为an 2n .(2) 由题设及(1 )知d 0，且当2n m 2n 1时，bm n .所以Soo b(b2b3) (b4 b5b6b7 )川(b32 b33| b63) (b

9、64b65 川 Boo)2345012223 24 252 6 (100 63)480 .19.解:(1)根据抽查数据，该市 100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32 18 6 8 64,因此，该市一天空气中 PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率的估64计值为而64.(2)根据抽查数据，可得 2 2列联表:SO2PM2.5 、0,150(150,4750,756416(75,1151010又底面ABCD为正方形，所以 AD DC，因此AD 底面PDC .因为AD /BC , AD 平面PBC，所以AD II平面PBC .由已知得I /A

10、D .因此I 平面PDC . (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz .则 D(0,0,0), C(0,1,0), B(1,1,0), P(0,0,1),由( 1)可设 Q(a,0,1)，则 DQ (a,0,1)(x,y,z)是平面QCD的法向量，则国0,即DC 0,axz 0,0.可取n (1,0, a).所以cos n ,PB1 a|n| |PB| ；3.厂孑设PB与平面QCD所成角为 ，则sin_3 |a 1|1 a2331三因为罟& 值为空.3解：2a2af，当且仅当a1时等号成立，所以 PB与平面QCD所成角的正弦值的最大f (x)的定

11、义域为(0,),f (x) aex 1(1)a e时,f (x) ex lnx 1,f (1) e 1 ,曲线f (x)在点(1,f (1)处的切线方程为 y (e 1) (e 1)(x 1)，即 y (e 1)x 2 .2直线(e 1)x 2在x轴，y轴上的截距分别为 ,2 .e 12因此所求三角形的面积为 e 1(2)当 0 a 1 时，f(1) a ln a 1 .1当 a 1 时，f(x) ex1 Inx , f (x) ex 1 -.x当 x (0,1)时，f(x) 0 ;当 x (1,)时，f (x) 0 .所以当x 1时，f(x)取得最小值，最小值为 f(1) 1，从而f (x)

12、 1.当 a 1 时，f(x) aex 1 In x Ina ex 1 In x 1 .综上，a的取值范围是1,).22.解:2 2()由题设得 7 -2 1， _ -，解得a 6， b 3 .a b a 22 2所以C的方程为1.6 3(2)设 M (人，yj , N(X2,y2).MN的方程为y kx m ,2代入62 y_32 21 得(1 2k )x4kmx2m 6 0 .十曰4km2m2 6于疋X1X22 ,X1X?2.1 2k1 2k由AMAN 知 AM AN 0 ,故(x2)(X2 2) (%若直线MN与x轴不垂直，设直线1)(y2 1) 0,(m 1)2可得（k21)x2 (km k2)(X1 X2)竺(m 1)22k2故 2k 3m是MN的方程为y k(x -) i(k3 31).所以直线MN过点P（2】）.3 32 2（舍去），人又 xL 1，可得 3x1 8x1 4 0.解得 x6 3此时直线MN过点P（2 1）.3 3令Q为AP的中点，即Q（）.3 32,23若D与P不重合，则由题设知 AP是Rt ADP的斜边，故| DQ | | AP | 若D与P重合，则|DQ| - | AP |.4 1综上，存在点Q(_,)，使得|DQ |为定值.3 3