最大公约数和最小公倍数问题.docx
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最大公约数和最小公倍数问题
最大公约数
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作(a、b),如果(a、b)=1、则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1:
一张长方形的纸,长7分米5厘米,宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法?
如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块?
分析7分米5厘米=75厘米,6分米=60厘米。
因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60,所以边长是75和60的公约数。
75和60的公约数有1、3、5、15,所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大,那么边长也应该最大,应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长,所以可以裁(75÷15)×(60÷15)=20块。
1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形,至少能裁多少块?
2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板,把它锯成若干块正方形而无剩余,所锯成的正方形的边长最长是多少厘米?
3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形,小正方形的面积最大是多少?
例题2:
一个长方体木块,长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,正方体的棱长最大是多少分米?
分析2.7米=270厘米,1.8分米=18厘米,1.5分米=15厘米。
要把长方体切成大小相等的正方体,不许有剩余,正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。
现要求正方体的棱长最大,所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
(270,18,15)=3、3厘米=0.3分米
1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米?
2、有50个梨,75个橘子和100个苹果,要把这些水果平均分给几个小组,并且每个小组分得的三种水果的个数也相同,最多可以分给几个小组?
3、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动,要把他们分成人数相等的小组,但各班同学不能打乱,最多每组多少人?
每班各可以分几组?
例题3:
有三根钢管,它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米,如果把它们截成同样长的小段,每小段最长可以是多少厘米?
分析要把三根钢管截成同样长的小段,每小段的长度数应该是240、200和480的公约数,而每小段要取最长,也就是求240、200和480的最大公约数。
240、200和480的最大公约数是40,所以每小段最长是40厘米。
1、有一个长方体木块,长60厘米、宽40厘米,高24厘米。
如果要切成同样大小的小正方体,这些正方体的棱长最长是多少厘米?
2、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸,剪成面积相等的正方形,并且最后没有剩余,这些正方形的边长最长是多少?
3、工人加工了三批零件,每加工一批零件,除了王师傅比其他工人多加工若干个外,其他工人加工的都同样多。
已知他们第一批共加工2100个,其中王师傅比每个工人多加工7个;第二批加工1800个,其中王师傅比每个工人多加工6个;第三批加工1600个,其中王师傅比每个工人多加工13个。
这批工人最多有多少人?
例题4:
一条道路由甲村经过乙村到丙村。
已知甲、乙村相距360米,乙、丙村相距675米。
现在准备在路边裁树,要求相邻两棵树之间距离相等,并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树,求相邻两棵树之间的距离最多是多少米?
分析由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树,所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段,并且使每段的长度最长。
因为(675、360)=45,而180=360÷2、337.5=675÷2、所以,45÷2=22.5,即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
1、一条公路由A经B到C。
已知A、B相距300米,B、C相距215米。
现在路边植树,要求相邻两树间的距离相等,并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵,那么两树间的距离最多有多少米?
2、有336支铅笔,252块橡皮,210个文具盒,用这些文具,最多可以分成多少份同样的礼物?
在每份礼物中,铅笔、橡皮、文具盒各有多少?
3、甲数是36,甲、乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,乙数是多少?
例题5:
用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸,剪成面积相等的正方形,并且最后没有剩余,这些正方形的边长最长是多少?
分析前面的例题已经告诉了我们,解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。
但是这题中,长和宽的数比较大,最大公约数比较难求出,这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。
第一步:
1072÷469,余134;
第二步:
469÷134,余67;
第三步:
134÷67,没有余数,所以用67毫米为正方形的边长来剪,正好能剪(1072÷67)×(469÷67)=112个正方形,即这些正方形的边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。
1、用辗转相除法求568和1065的最大公约数。
2、试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。
3、判断11111/15015是不是最简分数。
二、最小公倍数
(一)
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],当(a、b)=1时,[a、b]=a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即(a、b)×[a、b]=a×b
要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通过就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公约数问题混淆。
例题1:
两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
分析根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积,再把这个积分解成两个数。
根据题意:
当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=20,15×3=45。
所以,这两个数是15和90或者30和45。
1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
2、两个数的最大公约数是12、最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
3、两个数的最大公约数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?
例题2:
两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。
根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。
又因为(甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数,所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。
当a和b是1和40时,所求的数是3×1=3和3×40=120;当a和b是5和8时,所求的数是3×5=15和3×8=24。
1、求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
2、已知两个数的积是3072、最大公约数是16,求这两个数。
3、已知两个数的最大公约数是13、最小公倍数是78,求这两个数的差。
例题3:
甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。
有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?
分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车?
2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷,二班的同学每6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家?
例题4:
一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?
分析把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?
2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?
3、一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体小块,不许有剩余,这些小正方体的棱长最多是多少分米?
例题5:
甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?
分析甲跑一圈需要600÷3=200秒,乙跑一圈需要600÷4=150秒,丙跑一圈需要600÷2=300秒。
要使三人再次从出发点一齐出发,经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。
200、150和300的最小公倍数是600,所以,经过600秒后三人又同时从出发点出发。
1、有一条长400米的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若二人同时同地出发,同向而行,则10分钟后第一次相遇。
已知甲比乙快,求二人的速度。
2、一环形跑道长240米,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8米,乙每秒行6米,丙每秒行5米。
至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?
3、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步,甲每秒跑4米,乙每秒跑5米,丙每秒跑3米。
若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出发?
二十七、最小公倍数
(二)
最小公倍数的应用题,解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时,我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法,使问题转换成已知数的最小公倍数,从而求出结果。
例题1:
有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1。
这个自然数最小是多少?
分析根据已知条件可知,假如把这个自然数增加3、所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除,即10、7和4的最小公倍数,然后再减去3就能得到所求的数了。
[10,7,4]=140
140-3=137
即:
这个自然数最小是137。
1、学校六年级有若干个同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人。
六年级最少多少人?
2、一个数能被3、5、7整除,但被11除余1。
这个数最小是多少?
3、一袋糖,平均分给15个小朋友或20个小朋友后,最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块?
例题2:
有一批水果,总数在1000个以内。
如果每24个装一箱,最后一箱差2个;如果每28个装一箱,最后一箱还差2个;如果每32个装一箱,最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个?
分析根据题意可知,这批水果再增加2个后,每24个装一箱,每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数,也就是说,只要把这批水果增加2个,就正好是24、28和32的公倍数。
我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672、再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24,28,32]=672
672-2=670(个)
即:
这批水果共有670个。
1、一所学校的同学排队做操,排成14行、16行、18行都正好能成长方形,这所学校至少有多少人?
2、有一批乒乓球,总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个?
3、食堂买回一些油,用甲种桶装最后一桶少3千克,用乙种桶装最后一桶只装了半桶油,用丙种桶装最后一桶少7千克。
如果甲种桶每桶能装8千克,乙种桶每桶能装10千克,丙种桶每桶能装12千克,那么,食堂至少买回多少千克油?
例题3:
一盒围棋子,4颗4颗数多3颗,6颗6颗数多5颗,15颗15颗数多14颗,这盒棋子在150至200颗之间,问共有多少颗?
分析由已知条件可知:
这盒棋子只要增加1颗,就正好是4、6、15的公倍数。
换句话说,这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。
我们可以先求4、6、15的最小公倍数,然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。
4、6、15的最小公倍数是60。
60×3-1=179颗,即这盒棋子共179颗。
1、有一批树苗,9棵一捆多7棵,10棵一捆多8棵,12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间,求共有多少棵树苗。
2、五
(1)班的五十多位同学去大扫除,平均分成4组多2人,平均分成5组多3人。
请你算一算,五
(1)班有多少位同学?
3、有一批水果,每箱放30个则多20个,每箱放35个则少10个。
这批水果至少有多少个?
例题4:
从学校到少年宫的这段公路上,一共有37根电线杆,原来每两根电线杆之间相距50米,现在要改成每两根之间相距60米,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动?
分析从学校到少年宫的这段路长50×(37-1)=1800米,从路的一端开始,是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。
因为50和60的最小公倍数是300,所以,从第一根开始,每隔300米就有一根不必移动。
1800÷300=6,就是6根不必移动。
去掉最后一根,中途共有5根不必移动。
1、插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米,现在改为5米。
如果起点一面不移动,还可以有几面不移动?
2、一行小树苗,从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树,由于小树长大了,必须改为每隔5米植一棵。
如果两端不算,中间有几棵不必移动?
3、学校开运动会,在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗,一共插了25面。
后来增加了一些彩旗,就把彩旗间隔缩短了,起点彩旗不动,重新插完后发现一共有5面彩旗没动。
问:
现在彩旗的间隔是多少米?
例题5:
在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记,分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析因为10、12和15的最小公倍数是60,所以,设这根木棍长60厘米。
三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米,60÷12=5厘米,60÷15=4厘米。
因为5和6的最小公倍数是30,所以红黄两种标记重复的地方有60÷30-1=1处,另两种情况分别有2处和4处。
因此,木棍总共被锯成(10+12+15-2)-1-2-4=28段。
1、用红笔在一根木棍上做了三次记号,第一次把木棍分成12等份,第二次把棍分成15等份,第三次把木棍分成20等份,然后沿着这些红记号把木棍锯开,一共锯成多少小段?
2、父子二人在雪地散步,父亲在前,每步80厘米,儿子在后,每步60厘米。
在120米内一共留下多少个脚印?
3、在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球,绿气球每隔6米挂一个,黄气球每隔4米挂一个。
如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球,那么,除两端外,中间挂有多少个红气球?
最大公约数与最小公倍数应用
(一)
一、知识要点:
1、性质1:
如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md,b=nd,并且(m,n)=1。
例如:
(24,54)=6,24=4×6,54=9×6,(4,9)=1。
2、性质2:
两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数,并且a×b=[a,b]×(a,b)。
例如:
(18,12)=,[18,12]=(18,12)×[18,12]=
3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
4、辗转相除法
二、热点考题:
例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
(运用性质2)
练一练:
甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解:
如果将两个自然数都除以7,则原题变为:
“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”
例3已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
分析与解:
因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。
再由[a,b,c]=120知,a只能是60或120。
[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15。
练一练:
已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?
例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
习题四
1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。
2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。
3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。
4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。
5.已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。
6.已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。
7、五年一班去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6个,如果减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人?
8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几?
9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且A×B=42,求B。
10、已知A和B的最大公约数是31,且A×B=5766,求A和B。
11、有一盘水果,3个3个地数余2个,4个4个数余3,5个5个数余4个,问这个盘子里最少有多少个水果?
家庭练习
1.拖拉机前轮直径64厘米,后轮直径96厘米,拖拉机开动后,前轮至少转多少圈,才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地?
2.现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班?
每个班至少分到了三种水果各多少千克?
3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几?
4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
5、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组?
例1用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?
分析与解:
因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
所求数是(48,36,84)=12。
例2现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
分析与解:
只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。
只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。
因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
所以所求数是101。
练习:
1、在1000到2000之间,能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个?
2、三个连续偶数,它们分别是12、14、16的倍数,比它们大的这样三个偶数最小各是多少?
3、四个连续自然数,它们分别是6、7、8、9的倍数,比它们大的这样四个自然数最小各是多少?
4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步,甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米。
至少经过多少时间三人又同时从出发点出发?
5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少?
6、甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。
三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?
7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。
8、有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。
这堆桔子至少有多少个?
【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛,狐狸每次跳4.5米,袋鼠每次跳2.75米,它们每秒都只跳一次。
比赛途中,从起点开始,每隔12.375米设一个陷阱,当它们之中一个先掉进陷阱时,另一个跳了多少米?
【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体,至少需要多少块这样的长方体木块?
【例6】
(1)A、B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。
A、B两数的最大公因数是多少?
(2)甲乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,甲数是36,乙数是多少?
【例7】加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
练习:
1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少?
乙数是多少?
2.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?
每相邻两棵之间的距离是多少米?
3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。
4.有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗,一共用了91个碗。
参加野炊的至少有多少同学?
带余数的除法
前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:
16÷3=5…1,即16=5×3+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r。
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为a÷b=q…r,0≤r<b。
例1一个两位数去除251,得到的余数