角的相关计算和证明 Microsoft Word 文档.docx

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角的相关计算和证明MicrosoftWord文档

几何证明（每日一题）

1.（12月8日）请根据过程示范，完成下列各题．

例：

已知：

如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，

∠2=50°，求∠1的度数．

过程示范如下：

解：

如图

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

∵∠2=50°（已知）

∴∠1=50°（等量代换）

（1）已知：

如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，

∠1=70°，求∠2的度数．

解：

如图

∵_________（已知）

∴_________（____________________）

∵∠1=70°（已知）

∴_________（____________________）

（2）已知：

如图，直线AB，CD被直线EF，GH所截，AB∥CD，

∠1=70°，∠3=110°．求∠2+∠4的度数．

解：

如图

∵_________（已知）

∴_________（____________________）

∵∠1=70°（已知）

∴_________（____________________）

∵_________（已知）

∴_________（____________________）

∵∠3=110°（已知）

∴∠4=180°-∠3

=180°-110°

=70°（____________________）

∴∠2+∠4=______+______

=____（等式性质）

2.（12月9日）请根据第1题中的过程示范，完成下列各题．

（1）已知：

如图，AB，CD被射线l所截，AB∥CD，∠1=110°，

求∠2的度数．

（2）如图，AD∥BC，∠1=40°，∠2=78°，求∠ADC的度数．

3.（12月10日）如图，AD∥BC，AB∥CD，点E在CB的延

长线上，∠C=50°，求∠A的度数．

解：

如图

∵AB∥CD（已知）

∴∠C=_____（两直线平行，同位角相等）

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=_____（____________________）

∴____=____（等量代换）

∵∠C=50°（已知）

∴∠A=_____（等量代换）

4.（12月11日）已知：

如图，点E在四边形ABCD的边AD

的延长线上，∠1=∠2，∠A=50°，求∠3的度数．

5.（12月12日）请根据过程示范，完成下列题目．

例：

已知：

如图，D是△ABC的边AC上的一点，∠A=60°，

∠ABD=20°，求∠BDC的度数．

过程示范如下：

解：

如图

∵∠BDC是△ABD的一个外角

（外角的定义）

∴∠BDC=∠A+∠ABD

（三角形的一个外角等于和

它不相邻的两个内角的和）

∵∠A=60°，∠ABD=20°（已知）

∴∠BDC=∠A+∠ABD

=60°+20°

=80°（等量代换）

已知：

如图，D是△ABC的边AB上的一点，∠B=53°，

∠BCD=32°，求∠ADC的度数．

【参考答案】

1．

（1）AB∥CD

∠1=∠2；两直线平行，内错角相等

∠2=70°，等量代换

（2）AB∥CD

∠1=∠2；两直线平行，内错角相等

∠2=70°，等量代换

AB∥CD

∠3+∠4=180°；两直线平行，同旁内角互补

等式性质

70°，70°，140°

2．

（1）解：

如图

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）

∵∠1=110°（已知）

∴∠3=110°（等量代换）

∴∠2=70°（平角的定义）

（2）解：

如图

∵AD∥BC（已知）

∴∠1=∠ADB（两直线平行，内错角相等）

∵∠1=40°（已知）

∴∠ADB=40°（等量代换）

∵∠2=78°（已知）

∴∠ADC=∠ADB+∠2

=40°+78°

=118°（等式性质）

3．∠ABE

∠ABE；两直线平行，内错角相等

∠A，∠C

50°

4．解：

如图

∵∠1=∠2（已知）

∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）

∴∠3=∠A（两直线平行，同位角相等）

∵∠A=50°（已知）

∴∠3=50°（等量代换）

5．解：

如图

∵∠ADC是△BCD的一个外角（外角的定义）

∴∠ADC=∠B+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠B=53°，∠BCD=32°（已知）

∴∠ADC=53°+32°

=85°（等量代换）

角的相关计算和证明（讲义）

一、知识点睛

在证明的过程中，

由平行想到____________、____________、____________；

由垂直想到__________________、_____________________；

由外角想到________________________________________．

二、精讲精练

1.如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则

∠BCE=_________．

第1题图第2题图

2.如图，在正方形ABCD中，∠ADC=∠DCB=90°，G是BC边上一点，连接DG，AE⊥DG于E，CF⊥DG于F．若∠DAE=25°，则∠GCF=_________．

3.已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，在Rt△AFG中，∠G=90°，∠F=∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB=_________，∠ADC=_________．

第3题图第4题图

4.如图，ED⊥AB于D，EF∥AC，∠A=35°，则∠DEF=______．

5.如图，在△ABC中，∠B=60°，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠APD=________．

6.已知：

如图，直线BD交CF于点D，交AE于点B，连接AD，BC，∠1+∠2=180°，∠A=∠C．求证：

DA∥CB．

证明：

如图，

∵∠1+∠2=180°（__________________________）

∠2+∠CDB=180°（__________________________）

∴_______=_______（__________________________）

∴______∥________（__________________________）∴∠A+∠CDA=180°（__________________________）∵∠A=∠C（__________________________）∴______+______=180°（__________________________）∴DA∥CB（__________________________）

7.已知：

如图，E，F分别在AB，CD上，EC⊥AF，垂足为O，∠1+∠C=90°，∠2=∠D．求证：

AB∥CD．

8.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．

9.已知：

如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．

求证：

∠A=2∠P．

证明：

如图，设∠PBC=α，∠PCE=β

∵BP平分∠ABC（_______________________）

∴∠ABC=2∠PBC=2α（_______________________）

∵CP平分∠ACE（_______________________）∴∠ACE=______=_______（_______________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）

∴2β=2α+∠A（_______________________）∴∠A=2（β-α）（_______________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）

∴β=______+_______（_______________________）

∴∠P=β-α（_______________________）

∴∠A=2∠P（_______________________）

10.已知：

如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为D．

求证：

∠A=2∠BCD．

【参考答案】

一、知识点睛

1.同位角、内错角、同旁内角

2.直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

二、精讲精练

1.20°

2.25°

3.65°，70°

4.125°

5.60°

6.已知

平角的定义

∠1，∠CDB；同角的补角相等

AB，CD；同位角相等，两直线平行

两直线平行，同旁内角互补

已知

∠C，∠CDA；等量代换

同旁内角互补，两直线平行

7.证明：

如图，

∵EC⊥AF（已知）

∴∠COF=90°（垂直的定义）

∴∠C+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）

∵∠1+∠C=90（已知）

∴∠1=∠2（同角的余角相等）

∵∠2=∠D（已知）

∴∠1=∠D（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

8.解：

如图，

∵∠B=35°，∠C=75°（已知）

∴∠BAC=180°-∠B-∠C

=180°-35°-75°

=70°（三角形的内角和是180°）

∵AE平分∠BAC（已知）

∴∠BAE=

∠BAC

=

×70°

=35°（角平分线的定义）

∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）

∴∠AED=∠B+∠BAE

=35°+35°

=70°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵AD⊥BC（已知）

∴∠ADE=90°（垂直的定义）

∴∠EAD=90°-∠AED

=90°-70°

=20°（直角三角形两锐角互余）

9.已知

角平分线的定义

已知

2∠PCE，2β；角平分线的定义

外角的定义

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

等式性质

外角的定义

α，∠P；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

等式性质

等量代换

10.证明：

如图，

在△ABC中，

∠A=180°-∠B-∠ACB（三角形的内角和是180°）

∵∠B=∠ACB（已知）

∴∠A=180°-2∠B

=2（90°-∠B）（等式性质）

∵CD⊥AB（已知）

∴∠BDC=90°（垂直的定义）

∴∠BCD=90°-∠B（直角三角形两锐角互余）

∴∠A=2∠BCD（等量代换）

角的相关计算和证明（随堂测试）

1.已知：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠F=130°．

求证：

EF∥AB．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．

求证：

∠1=∠2．

证明：

如图，

∵∠ACB=90°（__________________________）

∴∠CAF+∠2=90°（__________________________）

∵______________（__________________________）

∴∠ADE=90°（__________________________）

∴∠EAD+∠AED=90°（__________________________）

∵AF平分∠CAB（__________________________）

∴∠CAF=∠EAD（__________________________）

∴______________（__________________________）

∵∠1=∠AED（__________________________）

∴∠1=∠2（__________________________）

【参考答案】

1.证明：

如图，

∵CD∥AB（已知）

∴∠DCB=∠ABC（两直线平行，内错角相等）

∵∠DCB=70°（已知）

∴∠ABC=70°（等量代换）

∵∠CBF=20°（已知）

∴∠ABF=∠ABC-∠CBF

=70°-20°

=50°（等式性质）

∵∠F=130°（已知）

∴∠ABF+∠F=130°+50°=180°（等式性质）

∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）

2.已知

直角三角形两锐角互余

CD⊥AB，已知

垂直的定义

直角三角形两锐角互余

已知

角平分线的定义

∠2=∠AED，等角的余角相等

对顶角相等

等量代换

角的相关计算和证明（作业）

例1：

已知：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E．若∠ADE=80°，∠EAC=20°，则∠B=_______．

【思路分析】

①读题标注：

②梳理思路：

从条件出发，看到AE⊥BC想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE=10°，∠C=70°；

由AD平分∠BAC可知∠BAC=60°；

把∠B当作△ABC的一个内角，

则∠B=180°-60°-70°=50°．

（思路不唯一，也可将∠B作为△ABD的一个内角，则∠ADE是△ABD的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解）

1.已知：

如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD上一点．若AC⊥CE，∠A=30°，则∠E=______．

第1题图第2题图

2.已知：

如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=____________．

3.已知：

如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=（）

A．120°B．115°C．110°D．105°

第3题图第4题图

4.已知：

如图，在△ABC中，∠A:

∠B=1:

2，DE⊥AB于E，且∠FCD=60°，则∠D=（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

5.已知：

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．

求证：

．

证明：

如图，

设∠DBC=α，∠DCB=β

∵BD平分∠ABC（___________________________）

∴∠ABC=2∠DBC=2α（___________________________）

∵CD平分∠ACB（___________________________）

∴∠ACB=______=_____（___________________________）

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（________________________）

∴2α+2β+∠A=180°（等量代换）

∴α+β=_______________（等式性质）

∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（________________________）

∴____________________（___________________________）

∴α+β=______________（___________________________）

∴

（等量代换）

∴

（等式性质）

6.已知：

如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，AC平分∠BAD．

求证：

AD∥BC．

7.已知：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M的度数．

【参考答案】

1.60°

2.270°

3.B

4.A

5.已知

角平分线的定义

已知

2∠DCB，2β；角平分线的定义

三角形的内角和是180°

三角形的内角和是180°

α+β+∠D=180°，等量代换

180°-∠D，等式性质

6.证明：

如图，

∵AB∥DE（已知）

∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）

∵AC平分∠BAD（已知）

∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）

∴∠1=∠DAC（等量代换）

∵∠1=∠ACB（已知）

∴∠DAC=∠ACB（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

7.解：

如图，

在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B

=180°-70°-40°

=70°（三角形的内角和是180°）

∵AD平分∠BAC

∴∠DAC=

∠BAC=

×70°=35°（角平分线的定义）

∵EF⊥AD（已知）

∴∠APF=90°（垂直的定义）

∴∠AFP=90°-∠DAC

=90°-35°

=55°（直角三角形两锐角互余）

∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）

∴∠CFM=55°（等量代换）

∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）

∴∠M=∠ACB-∠CFM

=70°-55°

=15°（三角形的一个外角等于和它不相邻的

两个内角的和）