五年级奥数容斥问题讲座及练习答案.doc

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五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除

包含与排除问题其实也叫容斥问题。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。

如：

集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：

C=A+B-AB

A AB B （韦恩图）

例1：

一个班有48人，班主任在班会上问：

“谁做完语文作业？

请举手！

”有37人举手。

又问：

‘谁做完数学作业？

请举手！

”有42人举手。

最后问：

“谁语文、数学作业没有做完？

”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】如图所示，完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37+42=79（人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数学作业都完成的有：

79－48=31（人）

37+42－48=31（人）

答：

语文、数学作业都完成的有31人。

想一想：

下面算式有何道理？

（l）37－（48－42）=31（人）

（2）42－（48－37）=31（人）

【疯狂操练】：

（1）五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？

解：

语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，那么总人数是：

65+87=152（人）

其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：

152－122=30（人）

答：

语文数学都优秀的有30人。

（2）四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

解：

根据两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：

54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：

13+9=22（人）

答：

订《数学大世界》的有22人。

（3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？

解：

24+17-8=33（人）

答：

这个文艺组一共有33人。

例2：

某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？

【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15＝10（人）。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10+23=33（人）。

所以，两题都答得不对的有36－33=3（人）。

36－［（25－15）+23］=3（人）

想一想：

下面算式有何道理。

（l）36－［（23－15）+25］=3（人）

（2）36－［（25－15）+（23－15）+15］＝3（人）

【疯狂操练】：

（l）五

（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？

解：

19人两个小组都参加

则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人

所以参加小组活动的为4+6+19=29人，两个小组都没参加的为40－29=11人

（2）一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？

解：

订《小学生数学报》的32人，订《中国少年报》的29人，两种报纸都订的有25人，实际上订阅的总人数是：

29+32－25=36人，

那么两种报纸都没订的有55－36=19人。

答：

两种报纸都没订的有19人。

（3）某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

解：

只获作文比赛奖的14-3=11人，只获数学比赛奖的12-3=9人。

获奖人数一共有11+9+3=23人，没获奖的就有50-23=27人。

例3：

某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

【思路导航】：

要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25=31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：

28+27－31=24（人）。

28+27－（56－25）=24（人）答：

同时参加语文、数学两科竞赛的有24人。

想一想：

下面算式有何道理

（l）28－（56－25－27）=24（人）

（2）27－（56－25－28）=24（人）

【疯狂操练】：

（1）一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？

解：

因为除了两样都不会的4人，有36－4=32人，这32人分为会英语的，会法语的，两样都会的，而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是：

24+18=42（人）比32人多的人数就是两样都会的人数，即42－32=10（人）。

综合列式：

24＋18－﹙36－4﹚＝10（人）

答：

两样都会的有10人.

（2）一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这两种棋都会下的有多少人？

解：

解法同上题：

即：

69+52－﹙103－12﹚=30（人）

答：

这两种棋都会下的有30人.

（3）三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。

这两队都没有参加的有10人。

请算一算，这个班共有多少人？

解：

参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，那么共40+20=60人，其中14个两个队都参加了，所以只有：

60－14=46人，再加上两个队都没参加的，一共有46+10=56人。

即：

40+20－14+10=56（人）

答：

这个班共有56人

例4：

光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？

【思路导航】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数；22幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。

24+22=46〔幅），这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的10幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数．再除以2，即可求出其它年级参展的作品。

（24+22－10）÷2=18（幅）

答：

其他年级参展的作品共有18幅。

练一练

（l）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

其他年级参展的作品共有多少件？

解：

由“有110件不是一年级的，有100件不是二年级的”可知二年级比一年级多10件，根据“一、二年级参展的作品共有32件”可得一年级展出科技作品数是（32－10）÷2=11件，则二年级展出作品数是32－11=21件，全校展出作品总数为：

11+110=121件或：

21+100=121件。

那么除了一二年级的展出作品数外，其它年级展出作品数为：

121－32=89件。

答：

其他年级参展的作品共有89件.

（2）六

（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有8幅，其他年级参展的画共有多少幅？

解：

25幅画不是三年级的，19幅画不是四年级的，那么四年级展出的图画作品比三年级多25－18=6幅.

由于三四年级共有8幅，所以三年级的作品有（8－6）÷2=1幅。

那么四年级的有8－1=7幅。

则展出作品总数为：

1+25=26，或7+19=26幅，

那么其它年级展出作品数为26－8=18幅。

答：

其他年级参展的画共有18幅。

（3）实验小学举办学生书法展。

学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。

一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

解：

28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅；24幅不是六年级的。

也就是五年级+其他年级=24幅；上述两个式子相加得：

（五年级+六年级）+2×其他年级=28+24，

因此其他年级的有：

（28+24-20）÷2=16幅，

又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅，因此一、二年级参展的书法作品共有：

（16－4）÷2=6幅。