高三一模数学理试题.docx
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高三一模数学理试题
2019-2020年高三一模数学理试题
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．
1．（5分）（2013•东莞一模）下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ）
A．
y=sinx
B．
y=﹣log2x
C．
y=
D．
y=
考点：
函数单调性的判断与证明．
专题：
综合题．
分析：
由正弦函数，对数函数，指数函数，幂函数的单调性很容易得到答案．
解答：
解：
∵y=sinx在上是增函数，（0，1）⊊
∴y=sinx在（0，1）上是增函数．
故答案为A
点评：
本题考查了常见函数单调性，以及函数单调性的判断与证明，是个基础题．
2．（5分）（2013•东莞一模）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（ ）
A．
﹣2
B．
1
C．
2
D．
1或﹣2
考点：
复数的基本概念．
分析：
纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b≠0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确．
解答：
解：
∵复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，
∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0，
∴a=﹣2，
故选A
点评：
复数中常出现概念问题，准确理解概念是解题的基础，和本题有关的概念问题同学们可以练习一遍，比如是实数、是虚数、是复数、还有本题的纯虚数，都要掌握．
3．（5分）（2013•东莞一模）已知是不共线的向量，若，则A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．
λ1=λ2=﹣1
B．
λ1=λ2=1
C．
λ1λ2﹣1=0
D．
λ1•λ2+1=1
考点：
向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
将三点共线转化成两个向量共线，利用向量共线的充要条件求出两参数的关系．
解答：
解：
A、B、C三点共线⇔共线
∴存在λ使
∴
∴∴λ1λ2﹣1=0
故选项为C
点评：
本题考查向量共线的充要条件及充要条件的求法．
4．（5分）（2013•滨州一模）如图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．
84，4.84
B．
84，1.6
C．
85，1.6
D．
85，4
考点：
茎叶图；极差、方差与标准差．
专题：
压轴题；图表型．
分析：
根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．
解答：
解：
由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；
方差为．
故选C．
点评：
茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．
5．（5分）（2013•东莞一模）已知函数的最小值为（ ）
A．
1
B．
C．
D．
考点：
基本不等式；反函数．
专题：
计算题．
分析：
求出函数y=2x的反函数是y=f﹣1（x），推出方程f﹣1（a）+f﹣1（b）=4，化简，利用基本不等式求的最小值．
解答：
解：
函数y=2x的反函数是y=f﹣1（x）=log2x，
所以f﹣1（a）+f﹣1（b）=4，就是log2a+log2b=4，
可得ab=16（a，b＞0）
≥2=，（当且仅当a=b时取等号）
故选B．
点评：
本题考查反函数的求法，基本不等式求最值，考查计算能力，是基础题．解答的关键是出现已知和待求一个为整式形式一个为分式形式，求最值将它们乘起后用基本不等式．
6．（5分）（2013•东莞一模）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为，母线长为1的圆锥．其侧面展开图是一扇形，所以利用公式求解即可．
解答：
解：
由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为，母线长为1的圆锥．其侧面展开图是一扇形，弧长为2πr=π，
∴这个几何体的侧面积为
故选D．
点评：
本题考查学生的空间想象能力，是基础题．
7．（5分）（2013•东莞一模）两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
双曲线的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据a、b的等差中项是，一个等比中项是，联立方程求得a和b，再根据c=求得c，进而根据离心率公式求得e．
解答：
解：
依题意得
解得a=5，b=4
∴c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=41
∴c=
∴e==
故选D
点评：
本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．
8．（5分）（2013•东莞一模）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（ ）
A．
[，1]
B．
[0，]
C．
[，1]
D．
[0，1]
考点：
直线和圆的方程的应用．
专题：
压轴题．
分析：
画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，
直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．
解答：
解：
画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），
圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，
它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，
点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，
当直线与x轴重合时，P（M）=1；
直线的斜率范围是[0，1]．
故选D．
点评：
本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大．
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）（2006•北京）在的展开式中，x3的系数是 84 ．（用数字作答）
考点：
二项式定理的应用．
专题：
计算题．
分析：
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得到x3的系数．
解答：
解：
，
令7﹣2r=3，
解得r=2，
故所求的系数为（﹣2）2C72=84
故答案为84
点评：
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题．
10．（5分）（2013•东莞一模）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率 ．
考点：
等可能事件的概率．
专题：
计算题．
分析：
由题意知本题是一个等可能事件发生的概率，试验包含的所有事件是一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，而满足条件的事件是向上的数之积为0，写出三种情况下的结果，得到概率．
解答：
解：
由题意知本题是一个等可能事件发生的概率，
∵试验包含的所有事件是一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，
一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，共有C61C61=36种结果，
而满足条件的事件是向上的数之积为0，包含C31C31+C31C31+C31C31=27种结果，
∴P==，
故答案为：
．
点评：
通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值．
11．（5分）（2013•东莞一模）如图，该程序运行后输出的结果为 45 ．
考点：
循环结构．
专题：
图表型．
分析：
经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．
解答：
解：
经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：
S=0A=1
S=3A=2
S=6A=3
S=10A=4
S=15A=5
S=21A=6
S=28A=7
S=36A=8
S=45A=9
当S=45不满足循环条件，跳出．
故答案为：
45．
点评：
本题考查当型循环结构，考查对程序知识的综合运用，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法．属于基础题．
12．（5分）（2013•东莞一模）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k= ﹣6 ．
考点：
简单线性规划．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．
解答：
解：
画出可行域
将z=x+3y变形为y=，
画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，
联立方程得，
代入，∴k=﹣6．
故答案为﹣6
点评：
本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值．
13．（5分）（2013•东莞一模）（几何证明选讲选做题）
如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，则AB= ．
考点：
与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．
专题：
直线与圆．
分析：
利用弦切角定理可得∠EAD=∠C，由角平分线的性质可得∠EAD=∠CAE，又∠C+∠CAD=90°即可得出∠EAD=30°，在Rt△EAD中，即可求出AB．
解答：
解：
∵AD是⊙O的切线，∴∠EAB=∠C，
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=∠CAE，
∵∠ABC=90°，∴∠CBD+∠C=90°，∴∠EAD=30°．
在Rt△EAD中，AB=AE•cos30°=．
故答案为．
点评：
熟练掌握弦切角定理、角平分线的性质、直角三角形的边角关系是解题的关键．
14．（5分）（2013•东莞一模）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为 ．
考点：
点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．
专题：
计算题．
分析：
根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果．
解答：
解：
直线ρ（cosθ+sinθ）=2
直线ρcosθ+ρsinθ=2
∴直线的一般是方程式是：
x+y﹣2=0
∴点（1，0）到直线的距离是
故答案为：
点评：
本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程，本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式方程．
15．（2013•东莞一模）函
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