惠州市届高三第二次调研考试.docx
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惠州市届高三第二次调研考试
惠州市届高三第二次调研考试
文科数学
全卷满分分，时间分钟．
注意事项：
．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
．作答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。
．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：
本大题共小题，每小题分，共分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。
．设集合，，则（）
（）（）（）（）
．已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则（ ）
（）（）（）（）
．已知等差数列的前项和为，且，，则（）
（）（）（）（）
．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的
离心率为（）
（）（）（）（）
．若，，，则（）
（）（）（）（）
．已知，且，则（ ）
（）（）（）（）
．某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（℃）之间的关系，随机统计
了某个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温（℃）
月销售量（件）
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温
约为℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．
（）（）（）（）
．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，
且直角边长都等于，则该几何体的外接球的体积为（ ）
（）（）（）（）
．已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（）
（）（）（）（）
．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，
则的值为（）
（）（）（）（）
．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到
的图象，若，且，则的最大值为（）
（）（）（）（）
．已知函数，若函数的图象上关于原点对称的点有对，
则实数的取值范围是（）
（）（）（）（）
二．填空题：
本大题共小题，每小题分。
．已知函数，，则．
．已知实数、满足，则的最小值是．
．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又
朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我
们用近代术语解释为：
把阳爻“”当作数字“”，把阴爻“”当作数字“”，
则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
震
坎
兑
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是．
．数列的前项和为，若，则数列的前项和为．
三、解答题：
共分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第、题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
分。
．（本小题满分分）
中，是边的中点，,,.
（）求边的长；
（）求的面积.
．（本小题满分分）
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷
调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”．
常喝
不常喝
合计
肥胖
不肥胖
合计
已知在全部人中随机抽取人，抽到肥胖的学生的概率为．
（）请将上面的列联表补充完整；
（）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？
请说明你的理由；
（）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的
学生中随机抽取人参加一个电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
参考数据：
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
其中为样本容量．
．（本小题满分分）
如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，
，平面平面，平面，点为的中点．
（）求证：
∥平面；
（）若，求三棱锥的体积．
．（本小题满分分）
已知函数，其中．
（）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（）求函数的单调区间．
．（本小题满分分）
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，
设，.
（）求证：
为定值；
（）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？
如果存在，
求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．
（二）选考题：
共分。
请考生在第、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
．（本小题满分分）[选修―：
坐标系与参数方程]
已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、
右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（）求直线的极坐标方程；
（）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，
求的值．
．（本小题满分分）[选修―：
不等式选讲]
已知函数.
（）当时，求不等式的解集；
（）若二次函数与函数的图象恒有公共点，
求实数的取值范围.
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数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题分，共分）
题号
答案
．【解析】由题意,故选.
．【解析】，则，故选.
．【解析】由等差数列可知，得，所以，故选.
．【解析】双曲线的渐近线，得，又，得到
所以，，故选.
．【解析】依题意，，，而由得，故选.
．【解析】由，得，且，
所以，，又，故选.
．【解析】计算得，回归直线过点，且，代入得，则回归方程为
，则时，故选.
．【解析】还原几何体为一个三棱锥，放入棱长为的正方体中，如图所示，
外接球的半径为，则，故选.
．【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，
得重心,则向量，，
所以，故选.
（也可以，由向量数量积的定义计算得出）
．【解析】如图，设线段的中点在轴上，点是的中点，
所以，可得轴，，
，，故选.
．【解析】由题意可得，，所以，又，所以
，由，得，因为
，所以，故选.
．【解析】依题意，函数图象上存在关于原点对称的点，可作函数
关于原点对称的函数
的图象，使得它与直线的交点个数为即可，
当直线与的图象相切时，设切点为，
又的导数为，则，解得，可得切线的
斜率为，结合图象可知时函数与直线有两个交点，即原函
数图象上有两个点关于原点对称，故选.
二、填空题：
（每小题分，共分）
．...
【解析】由已知得，即，所以
，也可得出.
【解析】画出可行域平移直线可知在点取得最小值，代入目标函数得.
【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，
转化为十进制数的计算为.
【解析】当时，得，当时，得
，则数列为等比数列，公比为，，得，由错位相减法
求和得.
三、解答题：
本大题共小题，满分分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
.解：
（）设，则，由余弦定理，
在△中，有……………………分
在△中，有……………………分
且，即，得……………………分
∴……………………分
（）由（）可知，，，得……………………分
∴……………………分
．解：
（）设全部人中的肥胖学生共名，则，
∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有名．……………………分
列联表如下：
常喝
不常喝
合计
肥胖
不肥胖
合计
……………………分
（）∵，……………………分
又……………………分
∴有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．……………………分
（）设常喝碳酸饮料且肥胖的名男生为，名女生为，则从中随机抽取名的情形
有；；；；共种，…………………分
其中一名男生一名女生的情形共有种，……………………分
∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为．……………………分
.（）证明：
∵△是等腰直角三角形，
，点为的中点，∴．
∵平面平面，
平面平面，
平面，
∴平面．…………分
∵平面,∴∥．…………分
∵平面,平面,
∴∥平面．…………分
（）法：
由（）知∥平面,
∴点到平面的距离等于点到平面的距离．…………分
∵，△是等边三角形,点为的中点
∴…………分
∴…………分
…………分
法：
由（）知∥平面,
∴点到平面的距离等于点到平面的距离．…………分
过作，垂足为点，
∵平面,平面,∴．
∵平面,平面,，
∴平面．…………分
∵，△是等边三角形，
∴，，．…………分
∴．
∴三棱锥的体积为．…………分
.解:
（）由可知，函数定义域为，
且，依题意，
解得………………………………………分
（）依题意，
令，得
①当时，，由，得；由，得
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为………分
②当，即时，由，得或
由，得
则函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为…………………分
③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为
………………………………………分
④当，即时，由，得或，由，得
则函数的单调递增区间为，
函数的单调递增区间为…………………分
、解：
（Ⅰ）（解法）当直线垂直于轴时，,
因此（定值）……………………分
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为
由得
因此有为定值……………………分
（解法）设直线的方程为
由得
因此有为定值……………………（分）
（Ⅱ）设存在直线：
满足条件，则
的中点，
因此以为直径的圆的半径
点到直线的距离……………………分
所以所截弦长为
……………………分
当即时，弦长为定值，这时直线方程为……………………分
.
解：
（）曲线：
可化为，
其轨迹为椭圆，焦点为（﹣，），（，）．……………………分
经过（，）和（，）的直线方程为，即
∴直线的极坐标方程为：
.……………………分
（）由（）知，直线的斜率为，
因为⊥，所以的斜率为，倾斜角为°，
所以的参数方程为（为参数），
代入椭圆的方程中，得．……………………分
因为，在点的两侧，
所以﹣．……………………分
.
【解析】
解：
（）当时，，……………………分
由得不等式的解集为.……………………分
（）由二次函数，该函数在取得最小值，
因为，在处取得最大值，………分
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，
只需，即.……………分
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